最后更新: 2025-02-07 21:39 查看: 1083 次反馈刷题

椭圆的离心率

## 椭圆离心率的定义

椭圆离心率的定义为：椭圆的焦距和长轴长的比，即 $ e=\frac{c}{a}$

![](../uploads/2022-10/38fe86.svg)

因 $a>c>0$ 所以， $0<e<1$ ，且 $e$ 越接近1，则 $c$ 越接近 $a$ ，此时椭圆就越扁。 反之， $e$ 越接近 0 ，从而 $b$ 就越接近于 $a$ ，此时椭圆就越接近于圆。

当且仅当 $a=b$ 时，此时 $c=0$ ，椭圆就变成了圆。

参考上图，可以得到离心率的另外一个变形：
$$
\boxed{
e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} 
}
$$

### 如何理解椭圆离心率

看到“率”，就表示除法，例如速率 $v=s/t$ 表示速度的大小，斜率 $k=y/x$  表示直线倾斜的程度，离心率$e=c/a$表示椭圆“扁”的程度，$e$越大椭圆越扁。$e$越小椭圆越圆。 极端的，如果 $e=0$，那么椭圆就变成了圆。

### 椭圆离心率反映椭圆的形状
在上面定义可以看到，椭圆离心率反映的是椭圆“扁平”程度，我们可以证明，如果椭圆的离心率相同，那么他们的形状相似（类比相似三角形），如下图，利用这个性质可以简化计算。

![图片](/uploads/2024-09/589766.jpg){width=300px}
 
 
`例` 求经过点 $M(1,2)$, 且与椭圆 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{6}=1$ 有相同离心率的椭圆的标准方程.

解：设 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{6}=k$ ，带入 $M(1,2)$ 的 $a=\frac{3}{4}$  即： $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{6}=\frac{3}{4}$ ，
化简为：
$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4.5}=1$

> 在本题里，关键是设置新椭圆的方程是： $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{6}=k$

## 两个公式
关于椭圆离心率还有两个个公式：

① 设椭圆：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1( a > b >0)$ 的左，右两个焦点分别是 $F _1, ~ F_2$ ，点 P 为椭圆上的任意一点，若 $\angle PF _2 F_1= \alpha , \angle PF _1 F_2= \beta$ ，那么椭圆的离心率 e 的秒杀公式为：

$e=\dfrac{\sin (\alpha+\beta)}{\sin \alpha+\sin \beta}$

② 设椭圆：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左，右焦点分别是 $F _1, ~ F_2$ ，点 P 为椭圆上的任意一点，那么椭圆的离心率 e 的秒杀公式为：
$e=\dfrac{\left|F_1 F_2\right|}{\left|P F_1\right|+\left|P F_2\right|}$

关于这两个公式，我们不给与证明，能记住就记，记不住可以考试时自己推导。

`例`(利用公式①)在平面直角坐标系 $x 0 y$ 中，已知 $\triangle A B C$ 顶点 $A(-4,0)$ 和 $C(4,0)$ ，顶点 B 在椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ 上，则 $\dfrac{\sin \angle B A C+\sin \angle A C B}{\sin \angle A B C}=$
 
解：如图，
![图片](/uploads/2025-02/c4a027.jpg){width=300px}
 
$$
\because a=5, \quad c=4
$$

由秒杀公式得：$e=\frac{\sin (\angle B A C+\angle A C B)}{\sin \angle B A C+\sin \angle A C B}=\frac{\sin \angle A B C}{\sin \angle B A C+\sin \angle A C B}$

$$
\therefore \frac{\sin \angle B A C+\sin \angle A C B}{\sin \angle A B C}=\frac{1}{e}=\frac{5}{4}
$$

`例`(利用公式②)在 $\triangle A B C$ 中，$A B=B C, \cos \angle A B C=-\frac{7}{18}$ ，若以 $A, ~ B$ 为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆的离心率 $e =$ $\qquad$
解：如图，
 ![图片](/uploads/2025-02/386a6c.jpg){width=300px}
设 $A B=B C=2 c$

$$
\begin{aligned}
& \because \cos \angle ABC=\frac{A B^2+C B^2-A C^2}{2 A B \times B C}=-\frac{7}{18} \\
& \therefore A C=\frac{10}{3} c \\
& \therefore e=\frac{|A B|}{|A C|+|C B|}=\frac{2 c}{\frac{10}{3} c+2 c}=\frac{3}{8}
\end{aligned}
$$
 
 
 
## 椭圆离心率为什么用c/a 而不是 b/a
在双曲线中b是虚轴，不能直接看出来。但是c/a在椭圆和双曲线都能直观地看出来。另外还要考虑到[椭圆的第二定义](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1417)，就是曲线上的点到焦点距离和到准线的距离比刚好等于c/a

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【高中数学】圆的离心率【高中数学】抛物线的离心率【高中数学】双曲线离心率【高中数学】为什么引入离心率【高中数学】课外阅读：圆锥曲线的终极统一

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