最后更新: 2025-06-02 20:38 查看: 1299 次反馈同步训练

椭圆的离心率

## 椭圆离心率的定义

椭圆离心率的定义为：椭圆的焦距和长轴长的比，即 
$$ 
\boxed{
e=\frac{c}{a}
}
$$

>离心率很多同学记不住，记忆方法是把abcde倒过来背：edcba，即e等c比a

$a$:椭圆半长轴长
$b$:椭圆半短轴长
$c$:椭圆的焦点长

![](../uploads/2022-10/38fe86.svg)

因 $a>c>0$ 所以， $0<e<1$ ，且 $e$ 越接近1，则 $c$ 越接近 $a$ ，此时椭圆就越扁。 反之， $e$ 越接近 0 ，从而 $b$ 就越接近于 $a$ ，此时椭圆就越接近于圆。

当且仅当 $a=b$ 时，此时 $c=0$ ，椭圆就变成了圆。

参考上图，可以得到离心率的另外一个变形：
$$
\boxed{
e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} 
}
$$

### 如何理解椭圆离心率

看到“率”，就表示除法，例如速率 $v=s/t$ 表示速度的大小，斜率 $k=y/x$  表示直线倾斜的程度，离心率$e=c/a$表示椭圆“扁”的程度，$e$越大椭圆越扁。$e$越小椭圆越圆。 极端的，如果 $e=0$，那么椭圆就变成了圆。

### 椭圆离心率反映椭圆的形状
在上面定义可以看到，椭圆离心率反映的是椭圆“扁平”程度，我们可以证明，如果椭圆的离心率相同，那么他们的形状相似（类比相似三角形），如下图，利用这个性质可以简化计算。

![图片](/uploads/2024-09/589766.jpg){width=300px}
 
 
`例` 求经过点 $M(1,2)$, 且与椭圆 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{6}=1$ 有相同离心率的椭圆的标准方程.

解：设 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{6}=k$ ，带入 $M(1,2)$ 的 $a=\frac{3}{4}$  即： $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{6}=\frac{3}{4}$ ，
化简为：
$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4.5}=1$

> 在本题里，关键是设置新椭圆的方程是： $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{6}=k$

`例` 设 $F_1, F_2$ 是椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，过点 $F_1$ 且斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 的直线交椭圆于点 $P$ ，若 $2 \angle P F_1 F_2=\angle P F_2 F_1$ ，则椭圆 $E$ 的离心率为
解：因为过点 $F_1$ 且斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 的直线交椭圆于点 $P$ ，且 $2 \angle P F_1 F_2=\angle P F_2 F_1$ ，则有 $\angle P F_1 F_2=30^{\circ}, \angle P F_2 F_1=60^{\circ}$ ，
因此，在 $\triangle P F_1 F_2$ 中，$\angle F_1 P F_2=90^{\circ}$ ，令椭圆半焦距为 $c$ ，于是得 $\left|P F_1\right|$ $=\left|F_1 F_2\right| \cos 30^{\circ}=\sqrt{3} c,\left|P F_2\right|=\left|F_1 F_2\right| \cdot \sin 30^{\circ}=c$ ，
由椭圆定义得 $2 a=\left|P F_1\right|+\left|P F_2\right|=(\sqrt{3}+1) c$ ，则 $e=\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$ ，所以栯圆 $E$ 的离心率为 $\sqrt{3}-1$ ．

## 两个有用的公式
关于椭圆离心率还有两个个公式：

① 设椭圆：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ，若 $\angle PF _2 F_1= \alpha , \angle PF _1 F_2= \beta$ ，那么椭圆的离心率 e 的秒杀公式为：

$$
\boxed{
e=\dfrac{\sin (\alpha+\beta)}{\sin \alpha+\sin \beta}
}
$$

![图片](/uploads/2025-05/30e751.jpg){width=300px}

证明：$e=\frac{c}{a}=\frac{2 c}{2 a}=\frac{F_1 F_2}{P

其他版本
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