最后更新: 2025-05-31 11:48 查看: 2392 次反馈同步训练

椭圆的切线方程

## 椭圆的切线方程
若 $M\left(x_0, y_0\right)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上, 则过 $M$ 的椭圆的切线方程是 $\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}=1$.且斜率为 ${K}=-\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$.

![图片](/uploads/2024-09/8d6da4.jpg){width=300px}
下面给与简单证明。

### 证法一：导数法
在[导数](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1396) 一节，我们增加说过，导数的本质就是求切线的斜率，此时就可以排上用场。
 
证明：首先说一下，在对 ${x}$在求导时，因为$y$是$x$的函数，因此，这里$y$要看成复合函数。还记得复函函数求导吗？比如$(xe^x)'=e^x+xe^x$,所以，这里$(y^2)'=2yy'$, 其中$y'$就是该点的导数，也就是斜率。
现在对椭圆的标准方程$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$  两边对$x$求导可得（右侧是常数1所以导数为0），所以

$ {\dfrac{2 x}{a^2}+\dfrac{2 y y^{\prime}}{b^2}=0}$
这就是椭圆的导数方程，化简一下的：
$ {{y}^{\prime}=-\dfrac{x b^2}{y a^2}}$, 现在要求$M\left(x_0, y_0\right)$ 这一点的斜率，带入这一点的坐标值得：

$\boxed{k={y}^{\prime}=-\frac{x_0 b^2}{y_0 a^2}}$,

$k$这就是$M$点处切线的斜率。

已经知道了斜率$k$和要过的点坐标$M\left(x_0, y_0\right)$，可以很容易写出他的切线方程：

${y}-{y}_0=-\frac{x_0 b^2}{y_0 a^2}\left({x}-{x}_0\right)$,

即 ${y}_0 {ya}^2-{y}_0{ }^2 {a}^2=-{xx}_0 {~b}^2+{x}_0{ }^2 {~b}^2$,

又$M\left(x_0, y_0\right)$在椭圆上，所以满足 $\frac{x_0{ }^2}{a^2}+\frac{y_0{ }^2}{b^2}=1$,

即 ${y}_0 {ya}^2+{xx}_0 {~b}^2={y}_0{ }^2 {a}^2+{x}_0{ }^2 {~b}^2={a}^2 {~b}^2$, 由 ${y}_0 {ya}^2+{xx}_0 {~b}^2={a}^2 {~b}^2$ 两边同除以$a^2b^2$

即 $\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}=1$ ，

所以过 $M$ 的椭圆的切线方程是 
$ \boxed{\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}=1}$.

### 证法二：斜率法(设而不求)
设直线的方程为: $y-y_0=k\left(x-x_0\right)$ 联立方程组有:

$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
y-y_0=k\left(x-x_0\right) \\
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
\end{array} \Rightarrow\left(a^2+k^2 b^2\right) x^2+2 k b^2\left(y_0-k x_0\right) x+b^2\left(\left(y_0-k x_0\right)^2-a^2\right)=0\right. \\
& \Delta_1=4 k^2 b^4\left(y_0-k x_0\right)^2-4 b^2\left(\left(y_0-k x_0\right)^2-a^2\right)\left(a^2+k^2 b^2\right)=0 \Rightarrow b^2+k^2 a^2=\left(y_0-k x_0\right)^2 \\
& \Rightarrow\left(x_0^2-a^2\right) k^2-2 x_0 y_0 k+y_0^2-b^2=0 \\
& \because \Delta_2=4 x_0^2 y_0^2-4\left(x_0^2-a^2\right)\left(y_0^2-b^2\right)=4\left(b^2 x_0^2+a^2 y_0^2-a^2 b^2\right)=0 \\
& \therefore k=\frac{x_0 y_0}{x_0^2-a^2}=\frac{b^2 x_0 y_0}{b^2 x_0^2-a^2 b^2}=-\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}
\end{aligned}
$$

$\therefore$ 过 $P$ 点的切线方程为: $\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}=1$

> 在证法二的斜率法里， $\triangle_1$ 的化简, 如果学生没有整体的意识, 盲目全部展开, 导致运算过于复杂。证法二核心在于整体带入，设而不求，这是一种常用的技巧。

## 推论
如下图, 连接 OP , 椭圆$P$点的切线$l$ 的斜率为 $k_{\text {切线 }}$,  直线 $O P$ 的斜率为 $k_{O P}$, 求证 $k_{o p} \cdot k_{\text {切线 }}=-\frac{b^2}{a^2}$（为定值）；

![图片](/uploads/2024-11/240794.jpg)
 
证明： 由上述解法中可知: 切线的斜率 $ k=-\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$
又因为 $\frac{y_0}{x_0}=\frac{y_0-0}{x_0-0}=k_{O P}$, 所以 $k_{O P} \cdot k_{A B}=-\frac{b^2}{a^2}=$ 定值

提示

其他版本
【高中数学】直线与圆的切线

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