最后更新: 2024-11-17 21:21 查看: 2166 次反馈刷题

椭圆的切线方程

## 椭圆的切线方程
若 $M\left(x_0, y_0\right)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上, 则过 $M$ 的椭圆的切线方程是 $\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}=1$.且斜率为 ${K}=-\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$.

![图片](/uploads/2024-09/8d6da4.jpg){width=300px}
下面给与简单证明。

### 证法一：导数法
在[导数](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1396) 一节，我们增加说过，导数的本质就是求切线的斜率，此时就可以排上用场。
 
证明：首先说一下，在对 ${x}$在求导时，因为$y$是$x$的函数，因此，这里$y$要看成复合函数。还记得复函函数求导吗？比如$(xe^x)'=e^x+xe^x$,所以，这里$(y^2)'=2yy'$, 其中$y'$就是该点的导数，也就是斜率。
现在对椭圆的标准方程$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$  两边对$x$求导可得（右侧是常数1所以导数为0），所以

$ {\dfrac{2 x}{a^2}+\dfrac{2 y y^{\prime}}{b^2}=0}$
这就是椭圆的导数方程，化简一下的：
$ {{y}^{\prime}=-\dfrac{x b^2}{y a^2}}$, 现在要求$M\left(x_0, y_0\right)$ 这一点的斜率，带入这一点的坐标值得：

$\boxed{k={y}^{\prime}=-\frac{x_0 b^2}{y_0 a^2}}$,

$k$这就是$M$点处切线的斜率。

已经知道了斜率$k$和要过的点坐标$M\left(x_0, y_0\right)$，可以很容易写出他的切线方程：

${y}-{y}_0=-\frac{x_0 b^2}{y_0 a^2}\left({x}-{x}_0\right)$,

即 ${y}_0 {ya}^2-{y}_0{ }^2 {a}^2=-{xx}_0 {~b}^2+{x}_0{ }^2 {~b}^2$,

又$M\left(x_0, y_0\right)$在椭圆上，所以满足 $\frac{x_0{ }^2}{a^2}+\frac{y_0{ }^2}{b^2}=1$,

即 ${y}_0 {ya}^2+{xx}_0 {~b}^2={y}_0{ }^2 {a}^2+{x}_0{ }^2 {~b}^2={a}^2 {~b}^2$, 由 ${y}_0 {ya}^2+{xx}_0 {~b}^2={a}^2 {~b}^2$ 两边同除以$a^2b^2$

即 $\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}=1$ ，

所以过 $M$ 的椭圆的切线方程是 
$ \boxed{\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}=1}$.

### 证法二：斜率法(设而不求)
设直线的方程为: $y-y_0=k\left(x-x_0\right)$ 联立方程组有:

$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
y-y_0=k\left(x-x_0\right) \\
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
\end{array} \Rightarrow\left(a^2+k^2 b^2\right) x^2+2 k b^2\left(y_0-k x_0\right) x+b^2\left(\left(y_0-k x_0\right)^2-a^2\right)=0\right. \\
& \Delta_1=4 k^2 b^4\left(y_0-k x_0\right)^2-4 b^2\left(\left(y_0-k x_0\right)^2-a^2\right)\left(a^2+k^2 b^2\right)=0 \Rightarrow b^2+k^2 a^2=\left(y_0-k x_0\right)^2 \\
& \Rightarrow\left(x_0^2-a^2\right) k^2-2 x_0 y_0 k+y_0^2-b^2=0 \\
& \because \Delta_2=4 x_0^2 y_0^2-4\left(x_0^2-a^2\right)\left(y_0^2-b^2\right)=4\left(b^2 x_0^2+a^2 y_0^2-a^2 b^2\right)=0 \\
& \therefore k=\frac{x_0 y_0}{x_0^2-a^2}=\frac{b^2 x_0 y_0}{b^2 x_0^2-a^2 b^2}=-\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}
\end{aligned}
$$

$\therefore$ 过 $P$ 点的切线方程为: $\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}=1$

> 在证法二的斜率法里， $\triangle_1$ 的化简, 如果学生没有整体的意识, 盲目全部展开, 导致运算过于复杂。证法二核心在于整体带入，设而不求，这是一种常用的技巧。

## 推论
如下图, 连接 OP , 椭圆$P$点的切线$l$ 的斜率为 $k_{\text {切线 }}$,  直线 $O P$ 的斜率为 $k_{O P}$, 求证 $k_{o p} \cdot k_{\text {切线 }}=-\frac{b^2}{a^2}$（为定值）；

![图片](/uploads/2024-11/240794.jpg)
 
证明： 由上述解法中可知: 切线的斜率 $ k=-\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$
又因为 $\frac{y_0}{x_0}=\frac{y_0-0}{x_0-0}=k_{O P}$, 所以 $k_{O P} \cdot k_{A B}=-\frac{b^2}{a^2}=$ 定值

提示： (可与圆的 $k_{o p} \cdot k_{\text {切线 }}=-1$ 做类比, 可以用极限的思想理解, 当椭圆中的 $a=b$时, 椭圆加强为了圆, 所以 $k_{O P} \cdot k_{A B}=-\frac{b^2}{a^2} \rightarrow-1$ )

## 例题

`例`已知椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ ，点 $M\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ 为椭圆上一点，求过点 $M$ 的切线.
**解法1**：利用上面推导处的切线公式法：
$ \boxed{\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}=1}$.

这里$a=2,b=1, x_0=\sqrt{3}, y_0=\frac{1}{2}$

可以直接套用上面得到的结果 
得到切线方程为 $\frac{\sqrt{3} x}{4}+\frac{1}{2}y=1$.

这里要清楚：哪个是$a$，哪个是$b$, 哪个是$x_0$,哪个是$y_0$

**解法2:** 利用推论
设切线斜率为 $k$. 由推论可得 $k_{O M} \cdot k=-\frac{b^2}{a^2}=-\frac{1}{4}$ ，易求得 $k_O M=\frac{1}{2 \sqrt{3}}$, 因此可求出 $k=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

因此切线方程为: $y-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}(x-\sqrt{3})$.
化简可得： $\frac{\sqrt{3} x}{4}+\frac{1}{2}y=1$.

`例`(重庆12月模考题)已知以 $F_1(-2,0), F_2(2,0)$ 为焦点的椭圆与直线 $x+\sqrt{3} y+4=0$ 有且仅有一个交点, 则椭圆的长轴长为（）
A. $3 \sqrt{2}$
B. $2 \sqrt{6}$
C. $2 \sqrt{7}$
D. $4 \sqrt{2}$

解：此题标准解答过程为：
设椭圆方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$, 和直线 $x+\sqrt{3} y+4=0$ 
联立可得: $\frac{3 y^2+8 \sqrt{3} y+16}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$,

化简可得: $\left(a^2+3 b^2\right) y^2+8 \sqrt{3} b^2 y+16 b^2-a^2 b^2=0$,

令 $\Delta=0$, 可得: $192 b^4-4 b^2\left(a^2+3 b^2\right)\left(16-a^2\right)=0$,

化简可得: $a^2-16+3 b^2=4 a^2-28=0$, 即 $a=\sqrt{7}$, 所以选 $C$.

这个解法看起来是很简单的，不过“**化简可得**”这四个字背后的艰辛是谁化谁知道呀，如果一个同学计算能力不强，在考场上这道题放弃的可能性是很大的，因为他怕辛辛苦苦算出来之后没有选项，还不如猜个答案.

而且高考中我们很少在一道小题中就联立直线和二次曲线，因为大题已经考了，小题一般是不重复考察的，所以这道题是不是就有一些别的方法呢？

此时注意审题：“有且仅有一个交点”意思是这个直线和椭圆相切。
 ![图片](/uploads/2024-11/bc3eb1.jpg){width=300px}
 
 在上面推导切线斜率里，得到切线的直线公式： 
 $\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}=1 ...(1)$ 
 而现在题目告诉我们的切线直线公式是
 $x+\sqrt{3} y+4=0...(2)$ 
 我们要采用**逆向思维**，把(2)写成（1）的模式，就是
 $\frac{x}{-4}+\frac{\sqrt{3} y}{-4}=1$。
 
由此，设 $\frac{x}{-4}+\frac{\sqrt{3} y}{-4}=1$ 和椭圆的切点坐标为 $\left(x_0, y_0\right)$, 所以该方程也是 $\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}=1$,

比较他们的系数应该相等，所以 $\frac{x_0}{a^2}=-\frac{1}{4}, \frac{y_0}{b^2}=-\frac{\sqrt{3}}{4}$,

将 $\left(x_0, y_0\right)$ 带入椭圆方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 可得: $\frac{a^2}{16}+\frac{3 b^2}{16}=1$ （一定要化成椭圆标准形式才容易知道a,b的值。）,

由 $a^2-4=b^2$ 可以解得 $a=\sqrt{7}$.
答案选C

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