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高中数学
第十章:解析几何与圆锥曲线
椭圆的切线方程
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2025-05-31 11:48
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椭圆的切线方程
## 椭圆的切线方程 若 $M\left(x_0, y_0\right)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上, 则过 $M$ 的椭圆的切线方程是 $\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}=1$.且斜率为 ${K}=-\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$. {width=300px} 下面给与简单证明。 ### 证法一:导数法 在[导数](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1396) 一节,我们增加说过,导数的本质就是求切线的斜率,此时就可以排上用场。 证明:首先说一下,在对 ${x}$在求导时,因为$y$是$x$的函数,因此,这里$y$要看成复合函数。还记得复函函数求导吗?比如$(xe^x)'=e^x+xe^x$,所以,这里$(y^2)'=2yy'$, 其中$y'$就是该点的导数,也就是斜率。 现在对椭圆的标准方程$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 两边对$x$求导可得(右侧是常数1所以导数为0),所以 $ {\dfrac{2 x}{a^2}+\dfrac{2 y y^{\prime}}{b^2}=0}$ 这就是椭圆的导数方程,化简一下的: $ {{y}^{\prime}=-\dfrac{x b^2}{y a^2}}$, 现在要求$M\left(x_0, y_0\right)$ 这一点的斜率,带入这一点的坐标值得: $\boxed{k={y}^{\prime}=-\frac{x_0 b^2}{y_0 a^2}}$, $k$这就是$M$点处切线的斜率。 已经知道了斜率$k$和要过的点坐标$M\left(x_0, y_0\right)$,可以很容易写出他的切线方程: ${y}-{y}_0=-\frac{x_0 b^2}{y_0 a^2}\left({x}-{x}_0\right)$, 即 ${y}_0 {ya}^2-{y}_0{ }^2 {a}^2=-{xx}_0 {~b}^2+{x}_0{ }^2 {~b}^2$, 又$M\left(x_0, y_0\right)$在椭圆上,所以满足 $\frac{x_0{ }^2}{a^2}+\frac{y_0{ }^2}{b^2}=1$, 即 ${y}_0 {ya}^2+{xx}_0 {~b}^2={y}_0{ }^2 {a}^2+{x}_0{ }^2 {~b}^2={a}^2 {~b}^2$, 由 ${y}_0 {ya}^2+{xx}_0 {~b}^2={a}^2 {~b}^2$ 两边同除以$a^2b^2$ 即 $\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}=1$ , 所以过 $M$ 的椭圆的切线方程是 $ \boxed{\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}=1}$. ### 证法二:斜率法(设而不求) 设直线的方程为: $y-y_0=k\left(x-x_0\right)$ 联立方程组有: $$ \begin{aligned} & \left\{\begin{array}{l} y-y_0=k\left(x-x_0\right) \\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \end{array} \Rightarrow\left(a^2+k^2 b^2\right) x^2+2 k b^2\left(y_0-k x_0\right) x+b^2\left(\left(y_0-k x_0\right)^2-a^2\right)=0\right. \\ & \Delta_1=4 k^2 b^4\left(y_0-k x_0\right)^2-4 b^2\left(\left(y_0-k x_0\right)^2-a^2\right)\left(a^2+k^2 b^2\right)=0 \Rightarrow b^2+k^2 a^2=\left(y_0-k x_0\right)^2 \\ & \Rightarrow\left(x_0^2-a^2\right) k^2-2 x_0 y_0 k+y_0^2-b^2=0 \\ & \because \Delta_2=4 x_0^2 y_0^2-4\left(x_0^2-a^2\right)\left(y_0^2-b^2\right)=4\left(b^2 x_0^2+a^2 y_0^2-a^2 b^2\right)=0 \\ & \therefore k=\frac{x_0 y_0}{x_0^2-a^2}=\frac{b^2 x_0 y_0}{b^2 x_0^2-a^2 b^2}=-\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0} \end{aligned} $$ $\therefore$ 过 $P$ 点的切线方程为: $\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}=1$ > 在证法二的斜率法里, $\triangle_1$ 的化简, 如果学生没有整体的意识, 盲目全部展开, 导致运算过于复杂。证法二核心在于整体带入,设而不求,这是一种常用的技巧。 ## 推论 如下图, 连接 OP , 椭圆$P$点的切线$l$ 的斜率为 $k_{\text {切线 }}$, 直线 $O P$ 的斜率为 $k_{O P}$, 求证 $k_{o p} \cdot k_{\text {切线 }}=-\frac{b^2}{a^2}$(为定值);  证明: 由上述解法中可知: 切线的斜率 $ k=-\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$ 又因为 $\frac{y_0}{x_0}=\frac{y_0-0}{x_0-0}=k_{O P}$, 所以 $k_{O P} \cdot k_{A B}=-\frac{b^2}{a^2}=$ 定值 提示
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