最后更新: 2025-04-12 17:04 查看: 870 次反馈刷题

椭圆的第二定义

## 椭圆的第二定义
**椭圆定义** 动点到定点$F$的距离与到定直线$l$的距离之比为一个共同常数，这个动点形成的轨迹为**椭圆**。这个定点称为**焦点**，这条定直线就称为椭圆的**准线**。

> 椭圆第二定义简单的说就是：到**定点**与到**定直线**的比值是常数的点的轨迹是椭圆。

如下图，两条平行于短轴的直线，距离为 $d=\dfrac{a^2}{c}=\dfrac{a}{e}$  的 $l_2$和$l_1$分别被称作椭圆的**左准线**和**右准线**。 其方程分别为 $l_1=\dfrac{a}{e}$ 和 $l_2=-\dfrac{a}{e}$ 参考下图坐标系

![图片](/uploads/2023-05/7a4143.svg){width=400px}

下面给出简单的证明：

设 $P\left(x_1, y_1\right)$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上任一点, 我们在前面曾得到公式

$$
\begin{aligned}
& \overline{P F_1}=a+\frac{c}{a} x_1 ...(6.10) \\
& \overline{P F_2}=a-\frac{c}{a} x_1 ...(6.11)
\end{aligned}
$$

把 (6.10) 式右边变形可得

$$
\overline{P F_1}=\frac{c}{a}\left(x_1+\frac{a^2}{c}\right)=e\left(x_1+\frac{a^2}{c}\right)
$$

即: $\frac{\overline{P F_1}}{d_1}=e$, 其中 $d_1=x_1+\frac{a^2}{c}$.

同样 (6.11) 式也可化为 $\frac{\overline{P F_2}}{d_2}=e$, 其中 $d_2=-x_1+\frac{a^2}{c}$.

由计算点 $P\left(x_1, y_1\right)$ 分别到直线 $\ell_1: x+\frac{a^2}{c}=0$ 和 $\ell_2: x-\frac{a^2}{c}=0$ 的距离可知, $d_1, d_2$ 正好分别是 $P\left(x_1, y_1\right)$ 到 $\ell_1$ 与 $\ell_2$ 的距离, 这说明椭圆上任一点 $P\left(x_1, y_1\right)$ 到焦点 $F_1(-c, 0)\left(F_2(c, 0)\right)$ 的距离与它到定直线 $\ell_1\left(\ell_2\right)$ 的距离的比是一个常数 (等于离心率 $e$ ), 两条直线

$$
\ell_1: x=-\frac{a^2}{c}, \quad \ell_2: x=\frac{a^2}{c}
$$

分别叫做椭圆的左准线和右准线 (图 6.14).

![图片](/uploads/2024-09/ff7d17.jpg)
 
 反过来, 我们也可证明: 与定点 $F_1(-c, 0)\left(F_2(c, 0)\right)$ 的距离和定直线 $\ell_1$ : $x=-\frac{a^2}{c}\left(\ell_2: x=\frac{a^2}{c}\right)$ 的距离的比等于常数 $e(0<e<1)$ 的点必在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上.

`例` 求椭圆 $x+4 y^2=100$ 的准线方程.
解: 已知椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{25}=1$, 因此:

$$
a=10, \quad b=5, \quad c=\sqrt{c^2-b^2}=5 \sqrt{3}
$$

所以已知椭圆的准线方程为

$$
\ell_1: x=-\frac{a^2}{c}=-\frac{20 \sqrt{3}}{3}, \quad \ell_2: x=\frac{20 \sqrt{3}}{3}
$$

`例`在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1( a > b >0)$ 中， $F _1, ~ F_2$ 分别为左，右焦点，过 $F _2$ 且垂直于长轴的弦 $A B$ 长为 $\sqrt{2}$ ，焦点 $F_2$ 到相应准线距离为 1 ，则该椭圆的离心率为

解：如图，$|A D|=1,|A B|=\sqrt{2}$

![图片](/uploads/2025-02/cf191a.jpg)

$\because AF _2 \perp F_1 F_2$
$\therefore\left|A F_2\right|=\frac{1}{2}|A B|=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\therefore$ 由椭圆的第二定义得：$e=\frac{\left|A F_2\right|}{|A D|}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

## 准线的意义
如果说离心率决定的椭圆的扁平程度，那么准线就用来确定椭圆的大小。
准线相当于一个紧箍咒，限制了椭圆无限往左右延伸。

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