最后更新: 2025-04-12 17:04 查看: 1495 次反馈同步训练

椭圆的第二定义

## 椭圆的第二定义
**椭圆定义** 动点到定点$F$的距离与到定直线$l$的距离之比为一个共同常数，这个动点形成的轨迹为**椭圆**。这个定点称为**焦点**，这条定直线就称为椭圆的**准线**。

> 椭圆第二定义简单的说就是：到**定点**与到**定直线**的比值是常数的点的轨迹是椭圆。

如下图，两条平行于短轴的直线，距离为 $d=\dfrac{a^2}{c}=\dfrac{a}{e}$  的 $l_2$和$l_1$分别被称作椭圆的**左准线**和**右准线**。 其方程分别为 $l_1=\dfrac{a}{e}$ 和 $l_2=-\dfrac{a}{e}$ 参考下图坐标系

![图片](/uploads/2023-05/7a4143.svg){width=400px}

下面给出简单的证明：

设 $P\left(x_1, y_1\right)$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上任一点, 我们在前面曾得到公式

$$
\begin{aligned}
& \overline{P F_1}=a+\frac{c}{a} x_1 ...(6.10) \\
& \overline{P F_2}=a-\frac{c}{a} x_1 ...(6.11)
\end{aligned}
$$

把 (6.10) 式右边变形可得

$$
\overline{P F_1}=\frac{c}{a}\left(x_1+\frac{a^2}{c}\right)=e\left(x_1+\frac{a^2}{c}\right)
$$

即: $\frac{\overline{P F_1}}{d_1}=e$, 其中 $d_1=x_1+\frac{a^2}{c}$.

同样 (6.11) 式也可化为 $\frac{\overline{P F_2}}{d_2}=e$, 其中 $d_2=-x_1+\frac{a^2}{c}$.

由计算点 $P\left(x_1, y_1\right)$ 分别到直线 $\ell_1: x+\frac{a^2}{c}=0$ 和 $\ell_2: x-\frac{a^2}{c}=0$ 的距离可知, $d_1, d_2$ 正好分别是 $P\left(x_1, y_1\right)$ 到 $\ell_1$ 与 $\ell_2$ 的距离, 这说明椭圆上任一点 $P\left(x_1, y_1\right)$ 到焦点 $F_1(-c, 0)\left(F_2(c, 0)\right)$ 的距离与它到定直线 $\ell_1\left(\ell_2\right)$ 的距离的比是一个常数 (等于离心率 $e$ ), 两条直线

$$
\ell_1: x=-\frac{a^2}{c}, \quad \ell_2: x=\frac{a^2}{c}
$$

分别叫做椭圆的

其他版本
【高中数学】椭圆的定义与标准方程

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：椭圆的切线方程

下一篇：椭圆的参数方程

本文对您是否有用？有用 (3) 无用 (0)