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高中数学
第十章：解析几何与圆锥曲线
椭圆的参数方程
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2025-02-07 21:54
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椭圆的参数方程
## 椭圆的参数方程 椭圆的标准方程为： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 在我们学过三角函数后，可以采用三角函数来表示椭圆： 如果令 $$ \boxed{ \left\{\begin{array}{l} x=a \cos \varphi \\ y=b \sin \varphi \end{array}\right. } ...(1) $$ 则(1)称为椭圆的参数方程。 证明：把（1）变形为 $$ \left\{\begin{array}{l} \frac{x}{a}= \cos \varphi \\ \frac{y}{b}= \sin \varphi \end{array}\right. $$ 上式两边平方相加，并且利用 $\cos \varphi ^2+ \sin \varphi^2=1$ 即可得到 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 可以发现这就是椭圆的标准方程。因此，(1)称为椭圆的**参数方程**。其中$\varphi$ 叫做离心角，通过参数方程，可以把一些求值问题转换为三角函数问题，利用三角函数公式的灵活性解决问题。 > 注意：三角函数的万能公式旨在把三角函数转换为$x$代数式，这里把$x$代数式转换为三角函数，三角函数在带来方便的同时因为公式太灵活，可能部分学生不适应，因此，不管是代数式还是三角函数式，要根据自己的熟悉程度进行适当转换。 ## 例题 `例`已知点 $A$ 在椭圆 $\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{36}=1$ 上运动, 点 $B(0,9)$ 、点 $M$ 在线段 $A B$ 上, 且 $\frac{A M}{M B}=\frac{1}{2}$, 试求动点 M 的轨迹方程。 解:由题意知 $B(0,9)$ ，设 $A(12 \cos \alpha, 6 \sin \alpha)$ ，并且设 $M(x, y)$ 。 $$ \begin{aligned} & x=\frac{x_{A}+\frac{1}{2} x_{B}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{12 \cos \alpha+\frac{1}{2} \times 0}{1+\frac{1}{2}}=8 \co
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