最后更新: 2025-05-29 07:23 查看: 344 次反馈同步训练

从图形变换的角度理解整个复变函数

##  从图形变换的角度理解整个复变函数
复数是实数的扩展，当把数从实数扩展到复数后，对复数的理解要发生本质的改变，即：对复数的理解要放到“图形变换”的角度去理解。一个常用的方法是把复数类别向量。我们在高中的向量和大学的《线性代数》里已经介绍了向量。这里看看如何从向量的角度理解复数。

在阅读本文前，建议已经了解了向量的[点积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=167)和[叉积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1537)。

## 向量的点积和叉积
给定两个向量 $a$ 和 $b$ 
**点乘**：就是一个向量的长乘以另一向量在此向量上的投影, 公式是
$$
a \cdot b =|a||b| \cos \theta= b \cdot a  ...(1),
$$

其中 $\theta$ 是 $a$ 与 $b$ 之间的夹角．

**叉乘** ：就是向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 为邻边所构成的平行四边形的有向面积，方向构成右手系，即当右手的四指从 $\vec{a}$ 以不超过 $\pi$ 的转角转向 $\vec{b}$ 时，竖起的大拇指的指向就是 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的方向，公式是

$a \times b=A =|a||b| \sin \theta  ...(2) $
 
 ![图片](/uploads/2025-05/25f571.jpg)

$a \times b$  叉乘本质上是三维的．这就提出了一个问题：如果 $a$ 和 $b$ 被看成了复数， $a \times b$ 就不可能是复数，因为它并不位于 $a$ 和 $b$ 所在的（复）平面 $C$ 内．对于点乘就不存在这个问题，因为 $a \cdot b$ 只是一个实数，但这也就为我们指出了一条出路．

因为我们所有的向量都在同一平面内，对此平面可以指定一个法线方向，于是，向量的叉乘要么与此法线有同样的方向，要么方向相反，所以一个叉乘与另一个叉乘的区别仅在 $A$ 的数值上

事实上考虑 $\sin$ 是奇函数，而 $\cos$ 是偶函数， 当角度在 $-\pi$ 到 $\pi$ 变化是

$$
a \cdot b = ( b \cdot a )  
$$

$$
a \times b = -( b \times a ) .
$$

**上式结果表明，点乘支持乘法交换律，但是叉乘不支持交换律。**

### 向量与复数
下图表明，若有两个复数 $a=|a| e ^{ i \alpha}$ 和 $b=|b| e ^{ i \beta}$ ， $a$ 到 $b$ 的角是 $\theta=(\beta-\alpha)$ 。

为了看出它们的点乘与叉乘怎样与复数乘法相关，先考虑用共轭复数 $\bar{a}$ 乘 $C$ 看一下效果

这就是旋转一个角 $-\alpha$ 再放大 $|a|$ 倍，如果再看斜边为 $b$ 的有阴影的直角三角形在此变换下的象，则我们可以立刻看到

$$
\bar{a} b= \boldsymbol{ a \cdot b } +i(  \boldsymbol{  a \times b} )
$$

![图片](/uploads/2025-05/8ab526.jpg)
 
当然也可以通过简单的计算得出这个结果：

$$
\begin{aligned}
\bar{a} b & =\left(|a| e^{-i \alpha}\right)\left(|b| e^{i \beta}\right)=|a||b| e^{i(\beta-\alpha)} \\
& =|a||b| e^{i \theta}=|a||b|(\cos \theta+i \sin \theta)
\end{aligned}
$$

当我们把点乘和叉乘说成是＂向量运算＂时，这意味着它们是几何地加以定义的，而与坐标轴的任意特定的选取无关。然而，一旦选定了笛卡儿坐标系，（1．20）就很容易用笛卡儿坐标来表示这些运算．写出 $a=x+ i y, b=x^{\prime}+ i y^{\prime}$ ，则

$$
\bar{a} b=(x-i y)\left(x^{\prime}+i y^{\prime}\right)=\left(x x^{\prime}+y y^{\prime}\right)+i\left(x y^{\prime}-x^{\prime} y\right)
$$

所以

$$
\binom{x}{y} \cdot\binom{x^{\prime}}{y^{\prime}}=x x^{\prime}+y y^{\prime}, \quad\binom{x}{y} \times\binom{ x^{\prime}}{y^{\prime}}=x y^{\prime}-x^{\prime} y
$$

## 图形变换
考虑下面3个图形

考虑下图中的三个三角形, 设想它们都是可以捡起来的纸片. 
（1）要问$T$ 否全等于$T'$,只要捡起$T$来,把$T$平移然后旋转,看看能否重合即可。
（2）要问$T$是否全等于$\tilde{T}$,就要把$T$翻转，然后平行和旋转，看看能否和$\tilde{T}$重合。
从这里看，这里设计到3中运动：平行、旋转和翻转。

![图片](/uploads/2025-05/1a8a2f.jpg){width=500px}
 
 我们试着把这一点一般化：如果有两个图形F和F',而且存在一个经过三维空间的运动使F 与F'重合,则二者全等. 
 
 很清楚但多少有点令人感到不满意的是，在试图定义平面上的几何学时，却必须求助于经过三维空间的运动。我们现在来改正这一点。回到上图，想象 $T$ 和 $T^{\prime}$都是画在透明胶片上的。现在我们不是捡起三角形 $T$ ，而是捡起画着 $T$ 的整张胶片，然后把它放在第二张胶片上使 $T$ 恰好与 $T^{\prime}$ 重合。经过这一运动，$T$ 的胶片上的每一点 $A$ 都落在 $T^{\prime}$ 的胶片的一点 $A^{\prime}$ 上，而我们可定义运动 $M$ 就是平面本身的一个映射：$A \mapsto A^{\prime}= M (A

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