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从图形变换的角度理解整个复变函数

##  从图形变换的角度理解整个复变函数
复数是实数的扩展，当把数从实数扩展到复数后，对复数的理解要发生本质的改变，即：对复数的理解要放到“图形变换”的角度去理解。一个常用的方法是把复数类别向量。我们在高中的向量和大学的《线性代数》里已经介绍了向量。这里看看如何从向量的角度理解复数。

在阅读本文前，建议已经了解了向量的[点积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=167)和[叉积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1537)。

## 向量的点积和叉积
给定两个向量 $a$ 和 $b$ 
**点乘**：就是一个向量的长乘以另一向量在此向量上的投影, 公式是
$$
a \cdot b =|a||b| \cos \theta= b \cdot a  ...(1),
$$

其中 $\theta$ 是 $a$ 与 $b$ 之间的夹角．

**叉乘** ：就是向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 为邻边所构成的平行四边形的有向面积，方向构成右手系，即当右手的四指从 $\vec{a}$ 以不超过 $\pi$ 的转角转向 $\vec{b}$ 时，竖起的大拇指的指向就是 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的方向，公式是

$a \times b=A =|a||b| \sin \theta  ...(2) $
 
 ![图片](/uploads/2025-05/25f571.jpg)

$a \times b$  叉乘本质上是三维的．这就提出了一个问题：如果 $a$ 和 $b$ 被看成了复数， $a \times b$ 就不可能是复数，因为它并不位于 $a$ 和 $b$ 所在的（复）平面 $C$ 内．对于点乘就不存在这个问题，因为 $a \cdot b$ 只是一个实数，但这也就为我们指出了一条出路．

因为我们所有的向量都在同一平面内，对此平面可以指定一个法线方向，于是，向量的叉乘要么与此法线有同样的方向，要么方向相反，所以一个叉乘与另一个叉乘的区别仅在 $A$ 的数值上

事实上考虑 $\sin$ 是奇函数，而 $\cos$ 是偶函数， 当角度在 $-\pi$ 到 $\pi$ 变化是

$$
a \cdot b = ( b \cdot a )  
$$

$$
a \times b = -( b \times a ) .
$$

**上式结果表明，点乘支持乘法交换律，但是叉乘不支持交换律。**

### 向量与复数
下图表明，若有两个复数 $a=|a| e ^{ i \alpha}$ 和 $b=|b| e ^{ i \beta}$ ， $a$ 到 $b$ 的角是 $\theta=(\beta-\alpha)$ 。

为了看出它们的点乘与叉乘怎样与复数乘法相关，先考虑用共轭复数 $\bar{a}$ 乘 $C$ 看一下效果

这就是旋转一个角 $-\alpha$ 再放大 $|a|$ 倍，如果再看斜边为 $b$ 的有阴影的直角三角形在此变换下的象，则我们可以立刻看到

$$
\bar{a} b= \boldsymbol{ a \cdot b } +i(  \boldsymbol{  a \times b} )
$$

![图片](/uploads/2025-05/8ab526.jpg)
 
当然也可以通过简单的计算得出这个结果：

$$
\b

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