最后更新: 2025-01-11 15:42 查看: 305 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

复数及其四则运算

## 复数及其运算

1.复数的基本概念

### 定义
(1) 设 $x$ 和 $y$ 是任意两个实数, 将形如

$$
z=x+i y(\text { 或者 } z=x+y i)
$$

的数称为复数。其中 $i$ 称为虚数单位, 即 $i=\sqrt{-1}$.
(2) $x$ 和 $y$ 分别称为复数 $z$ 的实部与虚部, 并分别表示为:

$$
x=\operatorname{Re} z, y=\operatorname{Im} z .
$$

(3) 当 $x=0$ 时, $z=0+i y=i y$ 称为纯虚数;
当 $y=0$ 时, $z=x+i 0=x$ 就是实数。
因此, 实数可以看作是复数的特殊情形。

### 复数的相等
设 $z_1=x_1+i y_1$ 与 $z_2=x_2+i y_2$ 是两个复数,如果 $x_1=x_2, y_1=y_2$, 则称 $z_1$ 与 $z_2$ 相等。特别地, $z=x+i y=0$ 当且仅当 $x=y=0$.

注 复数与实数不同, 两个复数 (虚部不为零) 不能比较大小,它们之间只有相等与不相等的关系。

例如 $ i>0 $ 大 吗？
假设$ i>0 $, 根据一个正数乘以正数，方向不变可以知道
$i * i >0 $  也就是 $ -1>0$ 显然不对。

假设$ i<0 $, 根据一个负数乘以复数，不等式方向变号得
$i * i >0 $  也就是 $ -1>0$ 显然也不对。
所以，复数不能比较大小。

##  复数的四则运算
设 $z_1=x_1+i y_1$ 与 $z_2=x_2+i y_2$ 是两个复数,
(1) 复数的加减法
加法 $z_1+z_2=x_1+x_2+i\left(y_1+y_2\right)$;
减法 $z_1-z_2=x_1-x_2+i\left(y_1-y_2\right)$.
(2) 复数的乘除法
乘法 $z_1 \cdot z_2=\left(x_1 x_2-y_1 y_2\right)+i\left(x_1 y_2+x_2 y_1\right)$;
除法 如果存在复数 $z$, 使得 $z_1=z_2 \cdot z$, 则 $z=\frac{z_1}{z_2}$.

## 复数的运算法则
交换律

$$
\begin{aligned}
& z_1+z_2=z_2+z_1 ; \\
& z_1 \cdot z_2=z_2 \cdot z_1 .
\end{aligned}
$$

结合律

$$
\begin{aligned}
& \left(z_1+z_2\right)+z_3=z_1+\left(z_2+z_3\right) ; \\
& \left(z_1 \cdot z_2\right) \cdot z_3=z_1 \cdot\left(z_2 \cdot z_3\right)
\end{aligned}
$$

分配律 $z_1 \cdot\left(z_2+z_3\right)=z_1 \cdot z_2+z_1 \cdot z_3$.

`例` 计算 $\frac{(6+2 i)-(1+3 i)}{(-1+i)-2}$
解：
$$
\begin{aligned}
\frac{(6+2 i)-(1+3 i)}{(-1+i)-2} & =\frac{5-i}{-3+i}=\frac{(5-i)(-3-i)}{(-3+i)(-3-i)}=\frac{-15-1-5 i+3 i}{9+1} \\
& =-\frac{8}{5}-\frac{1}{5} i .
\end{aligned}
$$

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