最后更新: 2025-01-11 15:56 ● 参与者查看: 344 次纠错分享参与项目词条搜索

共轭复数

## 共轭复数的定义
设 $z=x+i y$ 是一个复数, 称 $z=x-i y$ 为 $z$ 的共轭复数, 记作 $\bar{z}$ 。

例如$1-5i$的共轭复数是$1+5i$

从几何图形上看，共轭复数是关于$x$轴对称的两个点。
 ![图片](/uploads/2025-01/c3a6aa.jpg){width=300px}

共轭复数有许多用途。比如

$$
\begin{aligned}
z=\frac{z_1}{z_2} & =\frac{z_1 \cdot \bar{z}_2}{z_2 \cdot \bar{z}_2}=\frac{\left(x_1+i y_1\right)\left(x_2-i y_2\right)}{\left(x_2+i y_2\right)\left(x_2-i y_2\right)} \\
& =\frac{x_1 x_2+y_1 y_2}{x_2^2+y_2^2}+i \frac{x_2 y_1-x_1 y_2}{x_2^2+y_2^2}
\end{aligned}
$$

### 共轭复数的性质

(1) $\overline{\bar{z}}=z$;
(2) $\overline{z_1 \circ \bar{z}_2}=\bar{z}_1 \circ \bar{z}_2$,
其中, “$\circ$” 可以是 $+,-, \times, \div$
(3) $z \cdot \bar{z}=[\operatorname{Re} z]^2+[\operatorname{Im} z]^2=x^2+y^2$;

(4) $\frac{z+\bar{z}}{2}=\operatorname{Re} z=x$
$ \frac{z-\bar{z}}{2 i}=\operatorname{Im} z=y$

`例`证明两个复数的乘积的共轭等于它们的共轭的乘积．
证 只需证明

$$
\left(\overline{z_1 z_2}\right)=\overline{z_1} \overline{z_2}
$$

设 $z_1=a_1+b_1 i , z_2=a_2+b_2 i$ ．那么

$$
\begin{aligned}
\left(\overline{z_1 z_2}\right) & =\overline{a_1 a_2-b_1 b_2+\left(a_1 b_2+a_2 b_1\right) i} \\
& =a_1 a_2-b_1 b_2-\left(a_1 b_2+a_2 b_1\right) i
\end{aligned}
$$

另一方面，

$$
\begin{aligned}
\overline{z_1} \overline{z_2} & =\left(a_1-b_1 i\right)\left(a_2-b_2 i\right)=a_1 a_2-b_1 b_2-a_1 b_2 i-a_2 b_1 i \\
& =a_1 a_2-b_1 b_2-\left(a_1 b_2+a_2 b_1\right) i
\end{aligned}
$$

因此成立．

最后值得一提的是，上面的证明结论可用一种或许更有启发性的方法来理解．注意到我们表示一个复数时需要两个实数和记号 i ，例如 $z=a+b i$ ，对它取共轭相当于改变 i 项的符号。现在回忆一下 i 在计算中所扮演的角色，除了出现它的平方时用 -1 代替外，其余情况下 i 都不参与计算，仅是作为一个记号保留了下来。因此，我们也可以用 $j , ~ \lambda, \sqrt{-1}$ 或其他任何符号的平方去代替 -1 。实际上，由于 - i 的平方也是 -1 ，所以用 - i 代替 i 也不会影响到计算的合理性。例如，在乘积 $\left(a_1+b_1 i \right)\left(a_2+b_2 i \right)$ 中用 - i 代替 i 后再做乘法，其结果的不同之处仅是 i 都换成了 －i．用共轭的语言表达，正好是上例 的结论

`例` 已知 $z_1=5-5 i, z_1=-3+4 i$, 求 $\frac{z_1}{z_2}, \frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2}$.

解 (1)

$$
\begin{aligned}
\frac{z_1}{z_2} & =\frac{5-5 i}{-3+4 i}=\frac{(5-5 i)(-3-4 i)}{(-3+4 i)(-3-4 i)} \\
& =\frac{-35-5 i}{25}=-\frac{7}{5}-\frac{1}{5} i
\end{aligned}
$$

(2) $\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}=\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=-\frac{7}{5}+\frac{1}{5} i$.

`例`证明 $z_1 \bar{z}_2+\bar{z}_1 z_2=2 \operatorname{Re}\left(z_1 \bar{z}_2\right)$.

证明

$$
\begin{aligned}
z_1 \bar{z}_2+\bar{z}_1 z_2 & =z_1 \overline{z_2}+\overline{z_1} \overline{\bar{z}_2} \\
& =z_1 \overline{z_2}+\overline{z_1 \bar{z}_2} \\
& =2 \operatorname{Re}\left(z_1 \overline{z_2}\right)
\end{aligned}

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