最后更新: 2025-01-11 16:05 查看: 343 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

复数的几何意义

## 复平面

在平面上建立一个直角坐标系, 用坐标为 $(x, y)$ 的点来表示复数 $z=x+i y$, 从而将全体复数和平面上的全部点一一对应起来, 这样表示复数 $\boldsymbol{z}$ 的平面称为复平面或者 $z$ 平面。此时, $x$ 轴称为实轴, $y$ 轴称为虚轴。

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- 在复平面上, 从原点到点 $z=x+i y$所引的向量与该复数 $z$ 也构成一一对应关系 (复数零对应零向量)。

![图片](/uploads/2023-11/image_2023111886054bd.png)

○引进复平面后, 复数 $z$ 与点 $z$ 以及向量 $z$ 视为同一个概念。

- 比如，复数的加减法等同于向量的平行四边形法则。
 
 ![图片](/uploads/2023-11/image_2023111832dc532.png)

**复数的模与辐角**
将复数和向量对应之后, 除了利用实部与虚部来给定一个复数以外,还可以借助向量的长度与方向来给定一个复数。
定义 设 $z$ 的是一个不为 0 的复数,
(1) 向量 $z$ 的长度 $r$ 称为复数 $z$ 的模, 记为 $|z|$.
(2) 向量 $z$ 的 “方向角” $\theta$ 称为复数 $z$ 的辐角, 记为 $\operatorname{Arg} z$.
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**两点说明**
(1) 辐角是多值的, 相互之间可相差 $2 k \pi$, 其中 $k$ 为整数。
(2) 辐角的符号约定为:逆时针取正号，顺时针取负号。

例如 对于复数 $z=-1+i$, 则有 $|z|=\sqrt{2}$,

$$
\operatorname{Arg} z=\frac{3 \pi}{4}+2 k \pi, k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots \cdots .
$$

注 复数 0 的模为 0 ，辐角无意义。

![图片](/uploads/2023-11/image_202311188eba286.png)

## 主辐角与辐角
对于给定的复数 $z \neq 0$, 设有 $\alpha$ 满足:

$$
\alpha \in \operatorname{Arg} z \text { 且 }-\pi<\alpha \leq \pi,
$$

则称 $\alpha$ 为复数 $z$ 的主辐角, 记作 $\arg z$.

由此就有如下关系:

$$
\operatorname{Arg} z=\arg z+2 k \pi, k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots \cdots .
$$

## 例题
`例` 求复数 $z=\frac{2 i}{1-i}+\frac{2(1-i)}{i}$ 的模与主辐角。

$$
\begin{gathered}
\text { 解 } z=\frac{2 i}{1-i}+\frac{2(1-i)}{i}=-3-i . \\
|z|=\sqrt{(-3)^2+(-1)^2}=\sqrt{10} \\
\arg z=\arctan \left(\frac{-1}{-3}\right)-\pi \\
=\arctan \frac{1}{3}-\pi
\end{gathered}
$$

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