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复变函数与积分变换
第一篇 复数的概念与表示
复数的代数表示法
最后
更新:
2025-06-05 21:36
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复数的代数表示法
## 复平面 在平面上建立一个直角坐标系, 用坐标为 $(x, y)$ 的点来表示复数 $z=x+i y$, 从而将全体复数和平面上的全部点一一对应起来, 这样表示复数 $\boldsymbol{z}$ 的平面称为复平面或者 $z$ 平面。此时, $x$ 轴称为实轴, $y$ 轴称为虚轴。  - 在复平面上, 从原点到点 $z=x+i y$所引的向量与该复数 $z$ 也构成一一对应关系 (复数零对应零向量)。  ○引进复平面后, 复数 $z$ 与点 $z$ 以及向量 $z$ 视为同一个概念。 - 比如，复数的加减法等同于向量的平行四边形法则。  ## 复数的模与辐角 将复数和向量对应之后, 除了利用实部与虚部来给定一个复数以外,还可以借助向量的长度与方向来给定一个复数。 定义 设 $z$ 的是一个不为 0 的复数, (1) 向量 $z$ 的长度 $r$ 称为复数 $z$ 的模, 记为 $|z|$. (2) 向量 $z$ 的 “方向角” $\theta$ 称为复数 $z$ 的辐角, 记为 $\operatorname{Arg} z$.  **两点说明** (1) 辐角是多值的, 相互之间可相差 $2 k \pi$, 其中 $k$ 为整数。 (2) 辐角的符号约定为:逆时针取正号，顺时针取负号。 例如 对于复数 $z=-1+i$, 则有 $|z|=\sqrt{2}$, $$ \operatorname{Arg} z=\frac{3 \pi}{4}+2 k \pi, k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots \cdots . $$ 注 复数 0 的模为 0 ，辐角无意义。 
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