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复变函数与积分变换
第二篇 复数的集合论
平面曲线的复数参数式
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2023-11-18 09:59
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平面曲线的复数参数式
**参数式** - 在直角平面上 $\left\{\begin{array}{l}x=x(t), \\ y=y(t),\end{array} \quad(\alpha \leq t \leq \beta)\right.$. - 在复平面上 $z=z(t)=x(t)+i y(t),(\alpha \leq t \leq \beta)$. 例如 考察以原点为圆心、以 $R$ 为半径的圆周的方程。 (1) 在直角平面上 $\left\{\begin{array}{l}x=x(\theta)=R \cos \theta, \\ y=y(\theta)=R \sin \theta,\end{array} \quad(0 \leq \theta \leq 2 \pi)\right.$. (2) 在复平面上 $z=z(\theta)=x(\theta)+i y(\theta)=R(\cos \theta+i \sin \theta)$, $$ \Rightarrow \quad z=R \mathrm{e}^{i \theta},(0 \leq \theta \leq 2 \pi) . $$ **曲线的分类** 考虑曲线 $z=z(t)=x(t)+i y(t),(\alpha \leq t \leq \beta)$. 简单曲线 $\forall t_1 \in(\alpha, \beta), t_2 \in[\alpha, \beta]$, 当 $t_1 \neq t_2$ 时, $z\left(t_1\right) \neq z\left(t_2\right)$. 简单闭曲线 简单曲线且 $z(\alpha)=z(\beta)$. 光滑曲线 在区间 $[\alpha, \beta]$ 上, $x^{\prime}(t)$ 和 $y^{\prime}(t)$ 连续且 $z^{\prime}(t) \neq 0$. 
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