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二维连续型随机变量及其联合密度函数

> 本文基础定义已经整合到 联合分布函数里，详见 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=537)

## 二维连续型随机变量及其联合密度函数
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布函数为 $F(x, y)$ ，如果存在二元非负实值函 数 $f(x, y)$ ，使得对任意的 $(x, y) \in R^2$ 有

$$
F(x, y)=P(X \leq x, Y \leq y)=\int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f(u, v) d u d v=\iint_{D_y} f(u, v) d u d v
$$

则称 $(X, Y)$ 为二维连续型随机变量，称 $f(x, y)$ 为二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的联合 (概率) 密度函数.

## 定义n维随机变量与联合密度
设 $n$ 维随机变量 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 的联合分布函数为 $F\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ ，如果存在一个 $n$ 元非负 函数 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ ，使得对任意的 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \in R^n$ 有

$$
F\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\int_{-\infty}^{x_1} \int_{-\infty}^{x_2} \cdots \int_{-\infty}^{x_n} f\left(u_1, u_2, \cdots, u_n\right) d u_1 d u_2 \cdots d u_n
$$

成立，则称 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为 $n$ 维连续型随机变量， $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 为 $n$ 维连续型随机变量 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 的联合 (概率) 密度函数。

### 联合密度函数的性质
设 $f(x, y)$ 为二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数，则
（1） 非负性 $f(x, y) \geq 0,-\infty<x, y<+\infty$;
（2）规范性 $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=1$.

（3）任意一条平面曲线 $L$ ，有 $P((X, Y) \in L)=0$ ；
（4）$ F(x, y)$ 为连续函数，在 $f(x, y)$ 的连续点处有

$$
\frac{\partial^2 F(x, y)}{\partial x \partial y}=f(x, y) ;
$$

（5）对 $xoy$ 平面上任意一区域 $D$ ，有

$$
P((X, Y) \in D)=\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$

##  联合分布的几何解释

我们容易给出分布函数的几何解释：如果把二维随机变量 $(X, Y)$ 看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数 $F(x, y)$ 在 $(x, y)$ 处的函数值就是随机点 $(X, Y)$ 落在直线 $X=x$ 的左侧和直线 $Y=y$ 的下方的无穷矩形域内的概率，如下图3-1所示．
 
  ![图片](/uploads/2025-02/0c7343.jpg)
 
> **对于联合分布，用通俗语言理解是，例如用$X$表示学生的身高，用$Y$表示学生的体重，那么联合分布  $F(170,60)=P(X \leqslant 170, Y \leqslant 60)$ 表示的是：身高低于170cm，体重低于60kg的学生的分布。这句话还可以正面解释为求：身高在$(-\infty,170)$ 与 体重在 $(-\infty,60)$ 的学生的分布。**

因此，给出一个点$(X,Y)$，求他的联合分布，其实表示的该点“**左边下边**”所围成的面积（参考图3-1阴影部分面积）。
 
 
根据以上的几何解释，借助于图3-2，我们可以计算出随机点 $(X, Y)$ 落在矩形域 $\left\{(x, y) \mid x_1<x \leqslant x_2, y_1<y \leqslant y_2\right\}$ 内的概率为

![图片](/uploads/2025-02/ce31ce.jpg)
 
$$
P\left\{x_1<X \leqslant x_2, y_1<Y \leqslant y_2\right\}=F\left(x_2, y_2\right)-F\left(x_2, y_1\right)-F\left(x_1, y_2\right)+F\left(x_1, y_1\right) .
$$

> **对于图3-2，也可以用学生身高体重解释。用$X$表示学生的身高，用$Y$表示学生的体重，那么联合分布  $P\left\{ 160<X \leqslant 170, 50<Y \leqslant 60\right\}=F\left(170, 60\right)-F\left(170, 50\right)-F\left( 160, 60\right)+F\left( 160, 50\right)$ 等式左边表示的是求学生身高在$160 \sim 170$ 和  体重在$ 50 \sim 60$ 之间的人数，他等于身高体重在 $(170,60)$以下的人数减去 身高$170$以下的人数，再减去体重$60$以下的人数，注意此时对$(160,50)$以下的人数减了两次，所以还要再补上一次，因此最后加上$(160,50)$**

## 看懂联合密度的密度图
我们在一维平面里说过，概率密度$(a,b)$曲线下的面积是事件发生在$(a,b)$间的频率，详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=523), 那么如何理解二维概率密度呢？

首先，我们要明白，二维概率事件是由3个参数决定：比如射靶，我们说“射在(1,2)的概率为0.01”，那么这里就有$X=1,Y=2,Z=0.01$三个参数
因此，如果把密度函数画在坐标系里，他需要是三维空间，如下图：
 ![图片](/uploads/2024-11/f3636f.jpg){width=400px}

这个图形很像农民带的草帽，我们通常称呼这个图形为“草帽”图形。因为密度函数必须大于等于零，所以这个草帽可以认为为平底的，又因为所有射靶所有的概率最多为1，因此，这个概率的体积最大只能为1.

**理解二维密度函数图像**
如果我们从俯视图的视角从下看这个草帽，可以发现他的定义域D就是一个二维平面。
 ![图片](/uploads/2024-11/a7e9be.jpg){width=400px}
 
 
想想一下我们用一把刀沿着$X,Y$ 切开草帽，因为分布函数的定义为 $F(x, y)=P(X \leqslant x, Y \leqslant y)=\int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} p(x, y) d x d y$ ,所以，我们取的西瓜就是左边下边的那一部分。

如果把二维随机变量 $(X, Y)$ 视为平面上随机点的坐标, 那么, 分布函数 $F(x, y)$在点 $(x, y)$ 处的函数值就是随机点 $(X, Y)$ 落在直线 $X=x$ 的左侧和直线 $Y=y$ 的下方以 $(x, y)$ 为顶点的无穷直角区域内的概率, 如图所示.
 ![图片](/uploads/2024-11/6d86ba.jpg)

## 例题
`例` 设二维连续型随机变量 $\left(X_1, X_2\right)$ 与 $\left(Y_1, Y_2\right)$ 的联合密度分别为 $p(x, y)$ 和 $g(x, y)$ ，令 $f(x, y)=a p(x, y)+b g(x, y)$ 。要使函数 $f(x, y)$ 是某个二维随机变量的联合密度，则 $a, b$ 应满足
（A）$a+b=1$
（B）$a>0, \quad b>0$
（C） $0 \leqslant a \leqslant 1, \quad 0 \leqslant b \leqslant 1$
（D）$a \geqslant 0, b \geqslant 0$ ，且 $a+b=1$
解 $f(x, y)$ 为密度函数 $\Leftrightarrow f(x, y) \geqslant 0$ 且 $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x d y=1$ ，
由此可推得， $1=a+b$ ，且 $a p(x, y)+b g(x, y) \geqslant 0 \quad(\forall x, y \in R )$ ．
所以选择（D）．
对于 $a \geqslant 0, b \geqslant 0$ ，由 $p(x, y) \geqslant 0, g(x, y) \geqslant 0$ 得

$$
a p(x, y)+b g(x, y) \geqslant 0 \quad(\forall x, y \in R ) .
$$

如果 $a<0$（或 $b<0$ ），则对一切 $x, y$ 有

$$
b g(x, y) \geqslant(-a) p(x, y) \text { 或 } a p(x, y) \geqslant(-b) g(x, y)
$$

此式未必成立。
故应选（D）

`例` 设二维随机变量 $(X, Y)$ 具有概率密度

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
2 e^{-(2 x+y)}, & x>0, y>0 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array} .\right.
$$

(1) 求分布函数 $F(x, y)$;
(2) 求概率 $P(Y \leqslant X)$.

解 (1) $F(x, y)=\int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f(s, t) d s d t=\left\{\begin{array}{ll}\int_0^x \int_0^y 2 e ^{-(2 s+t)} d s d t, & x>0, y>0 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$,即有

$$
F(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
\left(1-e^{-2 x}\right)\left(1-e^{-y}\right), & x>0, y>0 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array} .\right.
$$

(2) 将 $(X, Y)$ 视为平面上随机点的坐标，即有 $(Y \leqslant X)=\{(Y \leqslant X) \in G\}$ ，其中 $G$ 为 $x O y$ 平面上直线 $y=x$ 及其下方的部分，于是

$$
\begin{aligned}
P(Y \leqslant X) & =P((Y \leqslant X) \in G)=\iint_G f(x, y) d x d y=\int_0^{+\infty} d y \int_y^{+\infty} 2 e^{-(2 x+y)} d x \\
& =\left.\int_0^{+\infty} e^{-y}\left[-e^{-2 x}\right]\right|_y ^{+\infty} d y=\int_0^{+\infty} e^{-3 y} d y=\frac{1}{3}
\end{aligned}
$$

`例` 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数为

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{clc}
c y^2, & 0<x<2 y, & 0<y<1, \\
0, & \text { 其他. } & \text { 其余 }
\end{array}\right.
$$

求
（1）常数 $c$
（2） 联合分布函数 $F(x, y)$
（3）$P(|X| \leq Y)$

解：（1）
 由密度函数性质
$1=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x d y=\int_0^1 d y \int_0^{2 y} c y^2 d x=\frac{1}{2} c \quad$ 所以 $c=2$

![图片](/uploads/2024-10/820358.jpg)
 
（2）由已知得
当 $x<0$ 或 $y<0$ 时， $F(x, y)=0$

$$
\begin{aligned}
& \text { 当 } 0 \leq x<2 y \text { 且 } 0 \leq y<1 \text { 时， } \quad F(x, y)=\int_0^x d x \int_{\frac{x}{2}}^y 2 y^2 d y=\frac{2}{3} x\left(y^3-\frac{x^3}{32}\right) \\
& \text { 当 } 0 \leq x<2 \text { 且 } y \geq 1 \text { 时， } \quad F(x, y)=\int_0^x d x \int_{\frac{x}{2}}^1 2 y^2 d y=\frac{2}{3} x\left(1-\frac{x^3}{32}\right) \\
& \text { 当 } x \geq 2 y \text { 且 } 0 \leq y<1 \text { 时， } \quad F(x, y)=\int_0^y d y \int_0^{2 y} 2 y^2 d x=y^4 \\
& \text { 当 } x \geq 2 \text { 且 } y \geq \text { 时， } \quad F(x, y)=1
\end{aligned}
$$

$$
F(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
0, & x<0 \text { 或 } y<0 ; \\
\frac{2}{3} x\left(y^3-\frac{x^3}{32}\right), & 0 \leq x<2 y, \quad 0 \leq y<1 ; \\
\frac{2}{3} x\left(1-\frac{x^3}{32}\right), & 0 \leq x<2, y \geq 1 ; \\
y^4, & x \geq 2 y, 0 \leq y<1 ; \\
1, & x \geq 2, y \geq 1 .
\end{array}\right.
$$

(3)如右图所示
$$
\begin{aligned}
& P(|X| \leq Y)=\iint_{|x| \leq y} f(x, y) d x d y \\
& =\int_0^1 d y \int_0^y 2 y^2 d x=\int_0^1 2 y^3 d x=\frac{1}{2}
\end{aligned}
$$ 
 ![图片](/uploads/2024-10/43f804.jpg)
 
 
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