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定积分举例
日期:
2022-12-30 08:47
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例 1 求 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\int_0^x \cos ^2 t \mathrm{~d} t\right]$. 解 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\int_0^x \cos ^2 t \mathrm{~d} t\right]=\cos ^2 x$. 例 2 求 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\int_1^{x^3} \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t\right]$. 解 根据定理 2 推论, 有 $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\int_1^{x^3} \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t\right]=\mathrm{e}^{\left(x^3\right)^2} \cdot\left(x^3\right)^{\prime}=3 x^2 \mathrm{e}^{x^6} . $$ 例 3 求下列函数的导数: (1) $y=\int_0^{x^2} \sin (t+1) \mathrm{d} t$; (2) $y=\int_{x^3}^2 \frac{\mathrm{e}^t}{t} \mathrm{~d} t(x>0)$. 解 (1) $y^{\prime}=\sin \left(x^2+1\right) \cdot\left(x^2\right)^{\prime}=2 x \sin \left(x^2+1\right)$; (2) $y^{\prime}=-\left(\frac{\mathrm{e}^{x^3}}{x^3}\right) \cdot\left(x^3\right)^{\prime}=-3 \cdot \frac{\mathrm{e}^{x^3}}{x}$. 例 4 设 $f(x)$ 是连续函数, 试求以下函数的导数: (1) $F(x)=\int_{\cos x}^{\sin x} \mathrm{e}^{f(t)} \mathrm{d} t$ (2) $F(x)=\int_0^x x f(t) \mathrm{d} t$. (1) $F^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{f(\sin x)} \cos x+\mathrm{e}^{f(\cos x)} \sin x$. (2) 因为 $F(x)=x \int_0^x f(t) \mathrm{d} t$, 所以 $F^{\prime}(x)=x f(x)+\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$. 例 5 设函数 $y=f(x)$ 由方程 $\int_0^{y^2} \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t+\int_x^0 \sin t \mathrm{~d} t=0$ 所确定. 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$. 解 在方程两边同时对 $x$ 求导, 得 于是 $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\int_0^{y^2} \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t\right)+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\int_x^0 \sin t \mathrm{~d} t\right)=0, $$ 即 $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y}\left(\int_0^{y^2} \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t\right) \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\int_x^0 \sin t \mathrm{~d} t\right)=0, $$ $$ \mathrm{e}^{y^4} \cdot(2 y) \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+(-\sin x)=0, $$ 故 $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\sin x}{2 y \mathrm{e}^{y^4}} . $$ 例 6 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{\cos x}^1 \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{~d} t}{x^2}$. 分析: 这是 $\frac{0}{0}$ 型不定式, 应用洛必达法则. 解 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{\cos x}^1 \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{~d} t=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_1^{\cos x} \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{~d} t=-\mathrm{e}^{-\cos ^2 x} \cdot(\cos x)^{\prime}=\sin x \cdot \mathrm{e}^{-\cos ^2 x}$, 故 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{\cos x}^1 \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{~d} t}{x^2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-(-\sin x) \mathrm{e}^{-\cos ^2 x}}{2 x}=\frac{1}{2 \mathrm{e}}$. 例 7 求定积分 $\int_0^1 \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x$. 解 $\mathrm{e}^x$ 是 $\mathrm{e}^x$ 的一个原函数, 由牛顿莱布尼茨公式得 $$ \int_0^1 \mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{d} x=\left.\mathrm{e}^x\right|_0 ^1=\mathrm{e}^1-\mathrm{e}^0=\mathrm{e}-1 . $$ 注 上一节我们曾经用定积分的定义求过此积分的值, 很明显, 用牛顿莱布尼兹公式计算简便的多. 例 8 求 $\int_{-2}^{-1} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$. 解 当 $x<0$ 时, $\frac{1}{x}$ 的一个原函数是 $\ln |x|$, $$ \int_{-2}^{-1} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\ln \mid x \|_{-2}^{-1}=\ln 1-\ln 2=-\ln 2 . $$ 例 9 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x & 0 \leq x \leq 1 \\ 5 & 1<x \leq 2\end{array}\right.$, 求 $\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x$. 解 如图 3-14 所示, 在 $[1,2]$ 上规定: 当 $x=1$ 时, $f(x)=5$, 则由定积分性质得 $$ \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x+\int_1^2 f(x) \mathrm{d} x=\int_0^1 2 x \mathrm{~d} x+\int_1^2 5 \mathrm{~d} x=6 . $$  例 10 计算 $\int_0^1|2 x-1| \mathrm{d} x$. 解 因为 $|2 x-1|=\left\{\begin{array}{ll}1-2 x, & x \leq \frac{1}{2} \\ 2 x-1, & x>\frac{1}{2}\end{array}\right.$ (见图 3-15), 所以 $$ \int_0^1|2 x-1| \mathrm{d} x=\int_1^{\frac{1}{2}}(1-2 x) \mathrm{d} x+\int_{\frac{1}{2}}^1(2 x-1) \mathrm{d} x=\left.\left(x-x^2\right)\right|_0 ^{\frac{1}{2}}+\left.\left(x^2-x\right)\right|_{\frac{1}{2}} ^1=\frac{1}{2} . $$  例 11 求定积分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{1-\cos ^2 x} \mathrm{~d} x$. $$ \text { 解 } \begin{aligned} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{1-\cos ^2 x} \mathrm{~d} x & =\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{\sin ^2 x} \mathrm{~d} x \\ & =\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi^2}{3}} \sin x \mid \mathrm{d} x \\ & =-\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \sin x \mathrm{~d} x+\int_0^{\frac{\pi}{3}} \sin x \mathrm{~d} x \\ & =\left.\cos x\right|_{-\frac{\pi}{2}} ^0-\left.\cos x\right|_0 ^{\frac{\pi}{3}}=\frac{3}{2} \text { (见图 3-16). } \end{aligned} $$  例 12 求 $\int_{-2}^2 \max \left\{x, x^2\right\} \mathrm{d} x$. 解 由图 3-17 可知 $$ \begin{gathered} f(x)=\max \left\{x, x^2\right\}= \begin{cases}x^2, & -2 \leq x<0 \\ x, & 0 \leq x<1 \\ x^2, & 1 \leq x \leq 2\end{cases} \\ \text { 所以 } \int_{-2}^2 \max \left\{x, x^2\right\} \mathrm{d} x=\int_{-2}^0 x^2 \mathrm{~d} x+\int_0^1 x \mathrm{~d} x+\int_1^2 x^2 \mathrm{~d} x=\frac{11}{2} . \end{gathered} $$  例 13 计算由曲线 $y=x^3$ 在 $x=-1, x=1$ 之间及 $x$ 轴所围成的图形的面积. 解 根据定积分的几何意义(见图 3-18), 所求面积为 $$ S=\int_{-1}^1\left|x^3\right| \mathrm{d} x=\int_{-1}^0\left(-x^3\right) \mathrm{d} x+\int_0^1 x^3 \mathrm{~d} x=-\left.\frac{x^4}{4}\right|_{-1} ^0+\left.\frac{x^4}{4}\right|_0 ^1=\frac{1}{2} . $$  例 14 汽车以每小时 $36 \mathrm{~km}$ 速度行驶, 到某处需要减速停车. 设汽车以等加 速度 $\alpha=-5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 刹车. 问从开始刹车到停车, 汽车驶过了多少距离? 解 首先要算出从开始刹车到停车经过的时间. 设开始杀车的时刻为 $t=0$, 此时汽车速度为 $v_0=36 \mathrm{~km} / \mathrm{h}=\frac{36 \times 1000}{3600} \mathrm{~m} / \mathrm{s}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$. 杀车后汽车减速行驶, 其速度为 $v(t)=v_0+a t=10-5 t$. 当汽车停住时, 速度 $v(t)=0$, 故由 $$ v(t)=10-5 t=0 \Rightarrow t=10 / 5=2 \mathrm{~s} . $$ 于是这段时间内, 汽车所驶过的距离为 $$ s=\int_0^2 v(t) \mathrm{d} t=\int_0^2(10-5 t) \mathrm{d} t=\left[10 t-5 \times \frac{t^2}{2}\right]_0^2=10 m . $$ 即在杀车后, 汽车需驶过 $10 \mathrm{~m}$ 才能停住. *例 15 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}\right)$. 解 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+\frac{i}{n}} \cdot \frac{1}{n}$, 取函数 $f(x)=\frac{1}{1+x}, f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续, 则 $\int_0^1 \frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x$ 存在, 故 $$ \int_0^1 \frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+\xi_i} \Delta x_i, $$ 对 $[0,1] n$ 等分 $\Delta x_i=\frac{1}{n}$, 取 $\xi_i=\frac{i}{n}$, 则 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+\frac{i}{n}} \cdot \frac{1}{n}=\int_0^1 \frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x=\left.\ln (1+x)\right|_0 ^1=\ln 2 . $$
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