最后更新: 2025-03-29 08:25 查看: 1319 次反馈刷题

夹逼准则

## 夹逼准则

如果数列 $\left\{x_n\right\} 、\left\{y_n\right\}$ 及 $\left\{z_n\right\}$ 满足
(1) $\exists N_0 \in \mathbf{N}$ ，当 $n>N_0$ 时， $y_n \leq x_n \leq z_n$ ；
(2) $\lim _{n \rightarrow \infty} y_n=a ， \lim _{n \rightarrow \infty} z_n=a$ ，
那么数列 $\left\{x_n\right\}$ 的极限存在，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$

证明略

从几何图形上看，函数$f(x)$在$x_0$点值和$h(x),g(x)$一样,
![图片](/uploads/2022-12/image_202212271421.png)

>夹逼准则通俗解释，假设$A=1，C=1$,而$A \le B \le C$ ,那么$B=1$

## 例题

`例` $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+n)^2}\right]$
解 设 $x_n=\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+n)^2}$ ， 则可知 $x_n$ 为 $n+1$ 项之和. 我们需要先对数列 $\left\{x_n\right\}$ 的通项进行适当的 “放缩" .
即有

$$
\frac{n+1}{4 n^2}=\frac{n+1}{(n+n)^2}<\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+n)^2}<\frac{n+1}{n^2}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}
$$

因为 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{4 n^2}=0 ， \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right]=0$, 由夹逼准则得

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+n)^2}\right]=0
$$

`例`求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} x\left[\frac{1}{x}\right]$.
解 当 $x \neq 0$ 时, $\frac{1}{x}-1<\left[\frac{1}{x}\right] \leq \frac{1}{x}$ ，
因此，当 $x>0$ 时, $1-x<x\left[\frac{1}{x}\right] \leq 1$ ，由夹逼定理可得 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x\left[\frac{1}{x}\right]=1$ ， 当 $x<0$ 时，有 ${ }_{1-x>x}\left[\frac{1}{x}\right] \geq 1$ ， 由夹逼定理可得 $\lim _{x \rightarrow 0} x\left[\frac{1}{x}\right]=1 ，$. 从而

$$
\lim _{x \rightarrow 0} x\left[\frac{1}{x}\right]=1 .
$$

`例` 求 $ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{n+1}}{\sqrt{n^2+2}}+\frac{\sqrt[n]{n+2}}{\sqrt{n^2+4}}+\cdots+\frac{\sqrt[n]{n+n}}{\sqrt{n^2+2 n}}\right) $

解：
$$
\begin{aligned} & \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n \cdot \sqrt[n]{n+1}}{\sqrt{n^2+2 n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{\frac{1}{n}}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}}=1 \\ & \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n \cdot \sqrt[n]{n+n}}{\sqrt{n^2+2}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+n)^{\frac{1}{n}}}{\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}}=1\end{aligned}
$$
所以其值为1.

`例`求 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^n+4^n+...+20^n}$

解：$20 \le \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^n+4^n+...+20^n}  \le \sqrt[n]{10} \cdot 20 \le 20$ 所以极值为 20

## 夹逼准则使用技巧
夹逼准则最大的难度是找到缩放的比例，对这个问题，将以六道经典例题来分析一下这类题目的难点和相同点，进而让你掌握一把万能钥匙。

> 核心思想是通过改变最小影响量的值来放大缩小求和形式，放缩后的求和形式必须是定积分定义的形式（一般情况是定积分定义表达式子×一个仅包括n且极限值为1的极限或者是一个标准的定积分定义表达式）

`例` $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{i+1}+\sqrt{i}}$;

我们初步的尝试（说句实话，没有一道数学题不是通过尝试来做的，谁又能保证自己—定不犯错呢？）是通过去掉1和增加1这个对通式影响最小的因素，来配定积分定义形式。

令人高兴的是，增加1和去掉1，会导致整个求和式子变小和变大，变大的时候可以直接配成一个定积分形式，而变小也可以配成一个一样的定积分形式乘上一个仅包含 $n$ 的极限。

如果这个极限存在且为 1 那么，左右就相等了〈不用怀疑，肯定相等〉。
放大（去掉1）： $\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{i+1}+\sqrt{i}} \leq \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2 \sqrt{i}}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^0 \frac{1}{2 \sqrt{\frac{i}{n}}}$ ；

缩小（增加1）：

$$
\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{i+1}+\sqrt{i}} \geq \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2 \sqrt{i+1}}=\left(\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2 \sqrt{\frac{i+1}{n+1}}}\right) \sqrt{\frac{n+1}{n}}
$$

取极限有

$$
\begin{aligned}
& \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^0 \frac{1}{2 \sqrt{\frac{i}{n}}}=\int_0^1 \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x \\
& \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2 \sqrt{\frac{i+1}{n+1}}}\right) \sqrt{\frac{n+1}{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2 \sqrt{\frac{i+1}{n+1}}}\right) \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{n+1}{n}}= \\
& \int_0^1 \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x \cdot 1
\end{aligned}
$$

再求积分即可!
`例` $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{n^2+i}$;

需要注意的是，并不是所有的都是放缩为定积分。
对通式影响最小的因素是 $i$ ，那么我们尝试将其放缩为 0 和n（记住，要形成思维惯性，放缩要以其变化的最大最小值左右放缩）。接下来是放大后与放小后的结果相差一个仅包含 $n$ 的极限值为 1 的极限，有夹逼准则即可。

放大（令 i 为 0 ）： $\sum_{i=1}^n \frac{1}{n^2+i} \leq \frac{1}{n}$ ；
缩小（令i为 $n$ ）： $\sum_{i=1}^n \frac{1}{n^2+i} \geq \frac{n}{n^2+n}=\frac{1}{n+1}$ ；
两边去极限为0.

`例` $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sum_{i=1}^n \frac{i^2}{n^3+n^2+n+i}\right)$ ；

对通式影响最小的因素是 i ！
放大（令i为0）： $\sum_{i=1}^n \frac{i^2}{n^3+n^2+n+i} \leq \sum_{i=1}^n \frac{i^2}{n^3+n^2+n}=\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(\frac{i}{n}\right)^2\right) \cdot \frac{n^3}{n^3+n^2+n}$ ；
缩小（令i为 $n$ ）： $\sum_{i=1}^n \frac{i^2}{n^3+n^2+n+i} \leq \sum_{i=1}^n \frac{i^2}{n^3+n^2+2 n}=\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(\frac{i}{n}\right)^2\right) \cdot \frac{n^3}{n^3+n^2+2 n}$ ；
取极限结果均为 $\int_0^1 x^2 d x \cdot 1$

`例` $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{4 n^2+i^2}}$;

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{4 n^2+i^2}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{4+\left(\frac{i}{n}\right)^2}}=\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{4+x^2}} d x
$$

`例` $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac{\sin \frac{i \pi}{n}}{n+\frac{1}{i}}$;

对通式影响最小的因素是 $\frac{1}{i}$ !
放大（令 $\frac{1}{i}$ 为 0 ）： $\sum_{i=1}^n \frac{\sin \frac{i \pi}{n}}{n+\frac{1}{i}} \leq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sin \pi\left(\frac{i}{n}\right)$ ；
缩小（令 $\frac{1}{i}$ 为1）： $\sum_{i=1}^n \frac{\sin \frac{i \pi}{n}}{n+\frac{1}{i}} \geq \frac{1}{\varepsilon+1} \sum_{i=1}^n \sin \frac{i \pi}{n}=\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sin \pi\left(\frac{i}{n}\right)\right) \cdot \frac{n}{n+1}$
取极限分别为 $\int_0^1 \sin (\pi x) d x$ 和 $\int_0^1 \sin (\pi x) d x \cdot 1$

求积分即可。

`例` $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{n+\frac{i^2+1}{n}}$;

对通式影响最小的因素是1！
tips：在进行放缩之前，请整理分式！
即 $\sum_{i=1}^n \frac{1}{n+\frac{i^2+1}{n}}=\sum_{i=1}^n \frac{n}{n^2+i^2+1}$ ；
放大（去掉1）： $\sum_{i=1}^n \frac{n}{n^2+i^2+1} \leq \sum_{i=1}^n \frac{n}{n^2+i^2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+\left(\frac{i}{n}\right)^2}$ ；
缩小 (加上1) : $\sum_{i=1}^n \frac{n}{n^2+i^2+1} \geq \sum_{i=1}^n \frac{n}{(n+1)^2+(i+1)^2}=\left(\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+\left(\frac{i+1}{n+1}\right)^2}\right)\left(\frac{n}{n+1}\right)$

两边取极限分别式 $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} d x$ 和 $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} d x \cdot 1$
求积分即可!

### 总结

通过以上例题分析，我们提炼出一种针对这种题型的方法，可简称为三段法(万能钥匙)：

1.写成求和形式；

2.从通式中找出影响最小的因素，这个因素一般是i，常数。

3.通过放缩这个最小因素来进行放大或缩小。（需要注意的是，这个放缩形式一般是比较简单的，比如化为0，最小值，最大值，甚至去第六题，需要将其放置在n和i中。）

在考研范围内，针对夹逼准则的数列极限类型的求解 ，学会以上三段乘积法，将没有任何问题！

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