最后更新: 2025-03-29 08:25 查看: 1531 次反馈同步训练

夹逼准则

## 夹逼准则

如果数列 $\left\{x_n\right\} 、\left\{y_n\right\}$ 及 $\left\{z_n\right\}$ 满足
(1) $\exists N_0 \in \mathbf{N}$ ，当 $n>N_0$ 时， $y_n \leq x_n \leq z_n$ ；
(2) $\lim _{n \rightarrow \infty} y_n=a ， \lim _{n \rightarrow \infty} z_n=a$ ，
那么数列 $\left\{x_n\right\}$ 的极限存在，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$

证明略

从几何图形上看，函数$f(x)$在$x_0$点值和$h(x),g(x)$一样,
![图片](/uploads/2022-12/image_202212271421.png)

>夹逼准则通俗解释，假设$A=1，C=1$,而$A \le B \le C$ ,那么$B=1$

## 例题

`例` $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+n)^2}\right]$
解 设 $x_n=\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+n)^2}$ ， 则可知 $x_n$ 为 $n+1$ 项之和. 我们需要先对数列 $\left\{x_n\right\}$ 的通项进行适当的 “放缩" .
即有

$$
\frac{n+1}{4 n^2}=\frac{n+1}{(n+n)^2}<\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+n)^2}<\frac{n+1}{n^2}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}
$$

因为 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{4 n^2}=0 ， \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right]=0$, 由夹逼准则得

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+n)^2}\right]=0
$$

`例`求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} x\left[\frac{1}{x}\right]$.
解 当 $x \neq 0$ 时, $\frac{1}{x}-1<\left[\frac{1}{x}\right] \leq \frac{1}{x}$ ，
因此，当 $x>0$ 时, $1-x<x\left[\frac{1}{x}\right] \leq 1$ ，由夹逼定理可得 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x\left[\frac{1}{x}\right]=1$ ， 当 $x<0$ 时，有 ${ }_{1-x>x}\left[\frac{1}{x}\right] \geq 1$ ， 由夹逼定理可得 $\lim _{x \rightarrow 0} x\left[\frac{1}{x}\right]=1 ，$. 从而

$$
\lim _{x \rightarrow 0} x\left[\frac{1}{x}\right]=1 .
$$

`例` 求 $ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{n+1}}{\sqrt{n^2+2}}+\frac{\sqrt[n]{n+2}}{\sqrt{n^2+4}}+\cdots+\frac{\sqrt[n]{n+n}}{\sqrt{n^2+2 n}}\right) $

解：
$$
\begin{aligned} & \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n \cdot \sqrt[n]{n+1}}{\sqrt{n^2+2 n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{\frac{1}{n}}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}}=1 \\ & \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n \cdot \sqrt[n]{n+n}}{\sqrt{n^2+2}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+n)^{\frac{1}{n}}}{\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}}=1\end{aligned}
$$
所以其值为1.

`例`求 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^n+4^n+...+20^n}$

解：$20 \le \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^n+4^n+...+20^n}  \le \sqrt[n]{10} \cdot 20 \le 20$ 所以极值为 20

## 夹逼准则使用技巧
夹逼准则最大的难度是找到缩放的比例，对这个问题，将以六道经典例题来分析一下这类题目的难点和相同点，进而让你掌握一把万能钥匙。

> 核心思想是通过改变最小影响量的值来放大缩小求和形式，放缩后的求和形式必须是定积分定义的形式（一般情况是定积分定义表达式子×一个仅包括n且极限值为1的极限或者是一个标准的定积分定义表达式）

`例` $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{i+1}+\sqrt{i}}$;

我们初步的尝试（说句实话，没有一道数学题不是通过尝试来做的，谁又能保证自己—定不犯错呢？）是通过去掉1和增加1这个对通式影响最小的因素，来配定积分定义形式。

令人高兴的是，增加1和去掉1，会导致整个求和式子变小和变大，变大的时候可以直接配成一个定积分形式，而变小也可以配成一个一样的定积分形式乘上一个仅包含 $n$ 的极限。

如果这个极限存在且为 1 那么，左右就相等了〈不用怀疑，肯定相等〉。
放大（去掉1）： $\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{i+1}+\sqrt{i}} \leq \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2 \sqrt{i}}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^0 \frac{1}{2 \sqrt{\frac{i}{n}}}$ ；

缩小（增加1）：

$$
\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{i+1}+\sqrt{i}} \geq \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2 \sqrt{i+1}}=\left(\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2 \sqrt{\frac{i+1}{n+1}}}\right) \sqrt{\frac{n+1}{n}}
$$

取极限有

$$
\begin{aligned}
& \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^0 \frac{1}{2 \sqrt{\frac{i}{n}}}=\int_0^1 \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x \\
& \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2 \sqrt{\frac{i+1}{n+1}}}\right) \sqrt{\frac{n+1}{n}}=\lim _{n \rightarrow

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