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高等数学
第一章 函数、连续与极限
单调有界收敛准则
最后
更新:
2024-11-23 08:55
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单调有界收敛准则
## 单调有界收敛准则 如果数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足条件 $$ x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n \leq x_{n+1} \leq \cdots, $$ 则称数列 $\left\{x_n\right\}$ 是单调增加的; 如果数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足条件 $$ x_1 \geq x_2 \geq \cdots \geq x_n \geq x_{n+1} \geq \cdots , $$ 则称数列 $\left\{x_n\right\}$ 是单调减少的; 单调增加或单调减少的数列简称单调数列. >在讨论数列极限的性质时曾指出,收敛数列必有界, 但有界数列末必收敛, 有界是数列收敛的必要条件,但如果是单调有界数列呢? 这就得到了单调有界 收敛准则. **准则** 单调有界数列必有极限. 如果详细地说, 则有下列性质. (1) 如果数列 $\left\{x_n\right\}$ 单调增加且有上界, 即存在数 $M$ ,使得 $x_n \leq M \quad(n=1,2,3, \cdots) \quad$ , 那么 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 必存在(且极限 $\leq M$ ). (2) 如果数列 $\left\{x_n\right\}$ 单调减少且有下界,即存在数 $m$ ,使得 $x_n \geq m \quad(n=1,2,3, \cdots) \quad$ , 那么 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 必存在(且极限 $\geq m$ ). 对准则 我们不予证明,仅给出其几何解释. 在数轴上看(见图1-48),  由于数列 $\left\{x_n\right\}$ 为单调的,故对应数列的点 $x_n$ 只可能向一个方向移动 (单调增 加数列只向右方移动, 单调减少数列只向左方移动),所以只有两种可能: 点 $x_n$ 或移向无穷远处,或趋于某个确定的值. 但又由于数列有界, 因此数列不能趋于 无穷,这样,只能使数列 $\left\{x_n\right\}$ 趋于某个确定的值,也就是数列的极限. ## 例题 `例` 设 $x_n=\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{\cdots+\sqrt{3}}}}\left(n\right.$ 根式),证明数列 $\left\{x_n\right\}$ 的极限存在,并求出极限. 证明 由 $x_n$ 的表达式可知 $x_{n+1}=\sqrt{3+x_n}$ 且 $x_{n+1}=\sqrt{3+x_n}>\sqrt{3+x_{n-1}}=x_n$, 即 $x_{n+1}>x_n$ ,因此可知 $\left\{x_n\right\}$ 是单调递增的. 因为 $x_1=\sqrt{3}<3$ ,假定 $x_k<3$ , 则 $x_{k+1}=\sqrt{3+x_k}<\sqrt{3+3}<3$ , 所以 $\left\{x_n\right\}$ 是有界的. 从而 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在,设 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=A$. 由递推关系 $x_{n+1}=\sqrt{3+x_n}$, 得 $x_{n+1}^2=3+x_n$. 等式两边取极限,故 即 $A^2=3+A$ , $$ \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n+1}^2=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(3+x_n\right) \text {, } $$ 解得 $A=\frac{1+\sqrt{13}}{2} A=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$ (舍) 所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$.
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