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高等数学
第一章 函数、连续与极限
无穷小与无穷大的关系
日期:
2023-10-01 11:28
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无穷小与无穷大的关系
无穷小和无穷大之间存在密切的关系. 定理 2 在自变量的同一变化过程中， $(1)$ 如果 $f(x)$ 为无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷小； $(2)$ 如果 $f(x)$ 为无穷小，且 $f(x) \neq 0$ ，则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷大. 证明 我们仅就 $x \rightarrow x_0$ 的情形进行证明，其他情形类似. $\forall \varepsilon>0$ ，由于 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\infty$ ，取 $M=\frac{1}{\varepsilon}>0$ ，则 $\exists \delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时， $|f(x)|>M$ ， 即 $\left|\frac{1}{f(x)}\right|<\frac{1}{M}=\varepsilon$ ，故 $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{1}{f(x)}=0$ 反之， $\forall M>0$ ，若 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=0 ， f(x) \neq 0$ ，则取 $\varepsilon=\frac{1}{M}$ ， 那么 $\exists \delta>0$ ， 当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时， $|f(x)|<\varepsilon$ 即 $\left|\frac{1}{f(x)}\right|>\frac{1}{\varepsilon}=M$ ，故 $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{1}{f(x)}=\infty$ 例4 求 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x+5}{3 x^2-2 x-1}$. 解 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{3 x^2-2 x-1}{2 x+5}=\frac{3 \cdot 1^2-2 \cdot 1-1}{2 \cdot 1+5}=0$. 由无穷小与于穷大的关系，有 $$ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x+5}{3 x^2-2 x-1}=\infty . $$
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