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高等数学
第一章 函数、连续与极限
无穷小与无穷大比较与等价无穷小
最后
更新:
2025-03-29 08:55
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无穷小与无穷大比较与等价无穷小
## 无穷小和无穷大之间存在密切的关系 定理: $(1)$ 如果 $f(x)$ 为无穷大,则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷小; $(2)$ 如果 $f(x)$ 为无穷小,且 $f(x) \neq 0$ ,则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷大. 证明略。 通过$y=\dfrac{1}{x}$ 可以很容易理解,当$x \to 0$ 其值无穷大,当 $x \to \infty$,其值为0. {width=300px} `例` 求 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x+5}{3 x^2-2 x-1}$. 解 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{3 x^2-2 x-1}{2 x+5}=\frac{3 \cdot 1^2-2 \cdot 1-1}{2 \cdot 1+5}=0$. 由无穷小与于穷大的关系,有 $$ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x+5}{3 x^2-2 x-1}=\infty . $$ ## 无穷小的比较 一般情况下,两个无穷小的商的极限由于不遵循极限的运算法则,且不能 立刻判断其极限是否存在, 因此, 这类极限通常称为末定式极限. 末定式极限各不相同,反映了作为分子、分母的两个无穷小于零的 “快慢” 程 度不同. 当 $x \rightarrow 0$ 时, $x^2$ 趋于零的速度比 $x$ "快" , $x$ 趋于零的速度比 $x^2$ "慢" ,而 $\sin x$ 与 $x$ 趋于零的速度 “差不多" . 如果用精确的数学语言来描述这 “快” 与 “慢” 的程度,则有 ### 定义 设 $\alpha 、 \beta$ 为自变量的同一变化过程中的无穷小,且 $\alpha \neq 0$. 若 $\lim \frac{\beta}{\alpha}=0$ ,则称 $\beta$ 是比 $\alpha$ **高阶的无穷小**,记作 $\beta=o(\alpha)$ ; 若 $\lim \frac{\alpha}{\alpha}=\infty ,$ 则称 $\beta$ 是比 $\alpha$ **低阶的无穷小**; 若 $\lim \frac{\beta}{\alpha}=C \neq 0$ , 则称 $\beta$ 是 $\alpha$ 的**同阶无穷小**; 特别当 $C=1$ 时,则称 $\beta$ 和 $\alpha$ 是**等价无穷小**,记作 $\alpha \sim \beta$; 若 $\lim \frac{\beta}{\alpha^k}=C \neq 0(k>0)$ ,则称 $\beta$ 是 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小. ### 常见无穷小比较 由此定义可以得到一些常见的无穷小比较的例子. 例如,由 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{3 x}=0$ 知,当 $x \rightarrow 0$ 时, $x^2$ 是比 $3 x$ 高阶的无穷小,记作 $x^2=o(3 x)(x \rightarrow 0)$ ; 由 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$ 知,当 $x \rightarrow 0$ 时, $\sin x$ 与 $x$ 是等价无穷小,记作 $\sin x \sim x(x \rightarrow 0)$ ; 由 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1}(x+1)=2$ 知,当 $x \rightarrow 1$ 时, $x^2-1$ 是 $x-1$ 的同阶无穷小; 由 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$ 知,当 $x \rightarrow 0$ 时, $1-\cos x$ 是关于 $x$ 的二阶无穷小,也称 $1-\cos x$ 和 $x^2$ 是同阶无穷小. `例` 证明: 当 $x \rightarrow 0$ 时, $\sqrt{x+1}-1 \sim \frac{1}{2} x$. 证明 $$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{\frac{1}{2} x} & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)} \\ & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2[(1+x)-1]}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2}{\sqrt{1+x}+1}=1 \end{aligned} $$ 我们还可以得到一个更一般的结论: $$ x \rightarrow 0 \text { 时, }(1+x)^\alpha-1 \sim \alpha x \quad(\alpha \in \mathrm{R}, \alpha \neq 0) \text {. } $$ ## 等价无穷小应用 `例` $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x^2+2 x}$ 解 当 $x \rightarrow 0$ 时, $\sin x \sim x$ , 所以 $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x^2+2 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{x^2+2 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{x(x+2)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x+2}=\frac{1}{2} ; $$ `例`) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln ^2(1+x)}{1-\cos x}$ 解 当 $x \rightarrow 0$ 时, $\ln (1+x) \sim x , 1-\cos x \sim \frac{1}{2} x^2$ ,所以 $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln ^2(1+x)}{1-\cos x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{\frac{x^2}{2}}=2 $$ `例` $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{\arctan x}$ 题 当 $x \rightarrow 0$ 时, $\sqrt{1+x} \sim \frac{1}{2} x , \arctan x \sim x$ ,所以 $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{\arctan x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x}{\frac{2}{x}}=\frac{1}{2} $$ `例`求 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^a}{x-a}$. 解 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^a}{x-a}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{\mathrm{e}^a\left(\mathrm{e}^{x-a}-1\right)}{x-a}=\mathrm{e}^a \lim _{x \rightarrow a} \frac{\mathrm{e}^{x-a}-1}{x-a}=\mathrm{e}^a \cdot 1=\mathrm{e}^a$ 其中 $\mathrm{e}^{x-a}-1 \sim x-a \quad(x \rightarrow a)$. `例` 当 $x \rightarrow 0$ 时, $\left(1+\alpha x^2\right)^{\frac{1}{3}}-1$ 与 $\cos x-1$ 为等价无穷小,求常数 $\alpha$ 的值. 解 由 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+\alpha x^2\right)^{\frac{1}{3}}-1}{\cos x-1}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{3} \alpha x^2}{-\frac{1}{2} x^2}=-\frac{2}{3} \alpha=1$ , 得 $\alpha=-\frac{3}{2}$. >注意:等价无穷小只能用于乘除,不能用于加减 ## 常见等价无穷小列表 http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1274
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