空间曲线的切线和法平面

日期: 2022-12-31 10:31 查看: 70 次

在一元函数微分学中，我们介绍了平面曲线的切线和法线.
一元函数 $y=f(x), x \in D$ 在某一点 $x_0 \in D$ 的切线斜率为 $k=f^{\prime}\left(x_0\right)$ ，对 应的切线方程为 $y-y_0=f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$ ；
法线方程为 $\left(x-x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(y-y_0\right)=0$
若一元函数用参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)\end{array}, \quad t \in[\alpha, \beta]\right.$ 来表示，则有在点 $t_0 \in(\alpha, \beta)$ 处的切线斜率为 $\frac{\psi^{\prime}\left(t_0\right)}{\varphi^{\prime}\left(t_0\right)}$ ，对应的切线方程为 $\frac{y-y_0}{\psi^{\prime}\left(t_0\right)}=\frac{x-x_0}{\varphi^{\prime}\left(t_0\right)}$ ；
法线方程为 $\varphi^{\prime}\left(t_0\right)\left(x-x_0\right)+\psi^{\prime}\left(t_0\right)\left(y-y_0\right)=0$

类似于平面曲线切线的概念，一条空间曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right) \in \Gamma$ 处的切 线是这样定义的. 在曲线 $\Gamma$ 上任取一点 $M\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y, z_0+\Delta z\right)$ ，作割线 $M_0 M$ 则当点 $M$ 沿曲线 $\Gamma$ 趋近于 $M_0$ 时，割线的极限位置 $M_0 T$ 称为空间曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的切线，点 $M_0$ 为切点 (见图 6-12).
![图片](/uploads/2022-12/image_20221231e16b262.png)
过点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 并与空间 曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0$ 处的切线 $M_0 T$ 垂 直的平面称为空间曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0$ 处的法平面。

1. 空间曲线 $\Gamma:\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \text { 的切线和法平面 } \\ z=\omega(t)\end{array}\right.$ 设空间曲线 $\Gamma$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t), \\ z=\omega(t)\end{array} \quad t \in[\alpha, \beta]\right.$ ，其中 $\varphi(t), \psi(t), \omega(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上可导，且不同时为零.
   现在要求曲线 $\Gamma$ 上一点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的切线方程和法平面方程.
   设与点 $M_0$ 对应的参数为 $t_0 ， M\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y, z_0+\Delta z\right)$ 对应的参数为 $t_0+\Delta t$ 显然，当 $M \rightarrow M_0$ 时，有 $\Delta t \rightarrow 0$.
   割线上，于是割线的方程为 $\frac{x-x_0}{\Delta x}=\frac{y-y_0}{\Delta y}=\frac{z-z_0}{\Delta z}$
   上式各个分母同除以 $\Delta t$ ，得

$$
\frac{x-x_0}{\frac{\Delta x}{\Delta t}}=\frac{y-y_0}{\frac{\Delta y}{\Delta t}}=\frac{z-z_0}{\frac{\Delta z}{\Delta t}} ，
$$

令 $M \rightarrow M_0$ ，相应地 $\Delta t \rightarrow 0$ ，通过上式分母求极限，便得到空间曲线在点 $M_0$ 处的切线方程 $\frac{x-x_0}{\varphi^{\prime}\left(t_0\right)}=\frac{y-y_0}{\psi^{\prime}\left(t_0\right)}=\frac{z-z_0}{\omega^{\prime}\left(t_0\right)}$
向量 $\left.\tau\right|_{t=t_0}=\left(\varphi^{\prime}\left(t_0\right), \psi^{\prime}\left(t_0\right), \omega^{\prime}\left(t_0\right)\right)$ 是切线的方向向量，又叫做切向量.
由于曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0$ 处的切线与法平面垂直，可知此法平面的法向量正是切线的 方向向量 (切向量)，因此平面点法式方程可知法平面方程为

$$
\varphi^{\prime}\left(t_0\right) \cdot\left(x-x_0\right)+\psi^{\prime}\left(t_0\right) \cdot\left(y-y_0\right)+\omega^{\prime}\left(t_0\right) \cdot\left(z-z_0\right)=0 .
$$

注 求空间曲线的切线与法平面方程的关键在于求出其切向量.

例 1 在曲线 $\left\{\begin{array}{c}x=a \cos t \\ y=a \sin t(a, b \in R, a \neq 0, b \neq 0) \text {, 在点 } M_0(a, 0,0) \text { 的切线和法平 } \\ z=b t\end{array}\right.$
面方程.
解 点 $M_0(a, 0,0)$ 对应的参数为 $t=0$ ，由于

$$
\begin{aligned}
& \left.\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=-\left.a \sin t\right|_{t=0}=0 \\
& \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=\left.a \cos t\right|_{t=0}=a \\
& \left.\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=b ;
\end{aligned}
$$

例 1 在曲线 $\left\{\begin{array}{c}x=a \cos t \\ y=a \sin t(a, b \in R, a \neq 0, b \neq 0) \text { ，在点 } M_0(a, 0,0) \text { 的切线和法平面方程. } \\ z=b t\end{array}\right.$

$$
\left.\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=\left.0 ； \quad \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=\left.a ； \quad \frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{d} t}\right|_{t=0}=b ；
$$

所以，曲线在点 $M_0(a, 0,0)$ 处的切线方程为 $\frac{x-a}{0}=\frac{y}{a}=\frac{z}{b}$ ，
即 $\left\{\begin{array}{c}x-a=0, \\ \frac{y}{a}=\frac{z}{b} .\end{array}\right.$
法平面方程为 $a y+b z=0$.
解 $\tau=\left.(a \sin 2 t, b \cos 2 t,-c \sin 2 t) ， \tau\right|_{t=\frac{\pi}{4}}=(a, 0,-c)$ ， $t=\frac{\pi}{4}$ 对应点为 $\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right)$ ， 因此所求切线方程为 $\frac{x-\frac{a}{2}}{a}=\frac{y-\frac{b}{2}}{0}=\frac{z-\frac{c}{2}}{-c}$ ； 法平面方程为 $a\left(x-\frac{a}{2}\right)+0\left(y-\frac{b}{2}\right)-c\left(z-\frac{c}{2}\right)=0$ ，即 $a x-c z-\frac{a^2-c^2}{2}=0$.
例 3 在曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=t^2 \\ z=t^3\end{array}\right.$ 上求出一点，使此点的切线平行于平面 $x+2 y+z-4=0$
解 曲线的切向量为 $\tau=\left(x_t, y_t, z_t\right)=\left(1,2 t, 3 t^2\right)$ ，已知平面的法向量为 $n=(1,2,1)$ ， 由 $\tau \perp n$ ，即 $\tau \cdot n=1+4 t+3 t^2=0$ ，得 $t_1=-\frac{1}{3} ， t_2=-1$ ，因此所求点为 $\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{9},-\frac{1}{27}\right)$ 和 $(-1,1,-1)$.
2.空间曲线 $\Gamma$ : $\left\{\begin{array}{l}y=\psi(x), \\ z=\omega(x)\end{array}\right.$ 的切线和法平面
若空间曲线 $\Gamma$ (是以两个柱面的交线) 的形式给出，比如 $\Gamma:\left\{\begin{array}{l}y=\psi(x), \\ z=\omega(x),\end{array}\right.$ 则
可取 $x$ 为参数，则有 $\left\{\begin{array}{l}x=x, \\ y=\psi(x), \text { 其任一点处的切向量为 } \tau=\left(1, \psi^{\prime}(x), \omega^{\prime}(x)\right) \text {. } \\ z=\omega(x),\end{array}\right.$
因此，空间曲线在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的切线方程为 $\frac{x-x_0}{1}=\frac{y-y_0}{\psi^{\prime}\left(x_0\right)}=\frac{z-z_0}{\omega^{\prime}\left(x_0\right)}$
法平面方程为 $\quad\left(x-x_0\right)+\psi^{\prime}\left(x_0\right) \cdot\left(y-y_0\right)+\omega^{\prime}\left(x_0\right) \cdot\left(z-z_0\right)=0$
例 4 求曲线 $\Gamma:\left\{\begin{array}{l}y=2 x^3, \\ z=x+3\end{array}\right.$ 在点 $M(1,2,4)$ 处的切线及法平面方程.
解 $\tau=\left.\left(1,6 x^2, 1\right) ， \tau\right|_{x=1}=(1,6,1)$ ，
因此所求切线方程为 $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{6}=\frac{z-4}{1}$ ；
法平面方程为 $(x-1)+6(y-2)+(z-4)=0$ ，
即 $x+6 y+z-17=0$.

3. 空间曲线 $\Gamma:\left\{\begin{array}{l}F(x, y, z)=0, \\ G(x, y, z)=0\end{array}\right.$ 的切线和法平面
   若空间曲线 $\Gamma$ 是以一般方程形式 (两个曲面的交线) $\left\{\begin{array}{l}F(x, y, z)=0, \\ G(x, y, z)=0\end{array}\right.$ 给出.
   这里与隐函数存在定理的条件一样，仍要求: $F 、 G$ 在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处具有 连续偏导数， $\left\{\begin{array}{l}F\left(x_0, y_0, z_0\right)=0, \\ G\left(x_0, y_0, z_0\right)=0,\end{array}\right.$ 且 $\left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}\right|_{M_0} \neq 0$ ，因此由隐函数存在定理知 $\left\{\begin{array}{l}F(x, y, z)=0, \\ G(x, y, z)=0,\end{array}\right.$ 必在点 $M_0$ 的某个邻域内能唯一地确定具有连续导数的函数 $y=\psi(x)$ 和 $z=\omega(x)$.
   这样空间曲线 $\Gamma$ 的表达式可认为是

$$
\left\{\begin{array}{c}
x=x, \\
y=\psi(x), \\
z=\omega(x)
\end{array}\right.
$$

切向量为 $\tau=\left(1, \psi^{\prime}(x), \omega^{\prime}(x)\right)=\left(1, \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}\right)$. 而 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ 可用下列方法获得:

$$
\text { 由 }\left\{\begin{array} { l } 
{ F ( x , y , z ) = 0 , } \\
{ G ( x , y , z ) = 0 , }
\end{array} \text { 等式两边同时对 } x \text { 求导数，得 } \left\{\begin{array}{l}
F_x+F_y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+F_z \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=0, \\
G_x+G_y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+G_z \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=0,
\end{array}\right.\right.
$$

解方程组求得 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ 的表达式:
从而 $\left.\tau_1\right|_{x=x_0}=\left(1, \psi^{\prime}\left(x_0\right), \omega^{\prime}\left(x_0\right)\right)$ 是曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的一个切向量，这里
分子分母带下标 $M_0$ 的行列式表示行列式在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 的值.
把上面的切向量乘以 $\left|\begin{array}{ll}F_y & F_z \\ G_y & G_z\end{array}\right|_{M_0}$ ，得到的向量

$$
\left.\tau\right|_{M_0}=\left(\left|\begin{array}{ll}
F_y & F_z \\
G_y & G_z
\end{array}\right|_{M_0},\left|\begin{array}{ll}
F_z & F_x \\
G_z & G_x
\end{array}\right|_{M_0},\left|\begin{array}{ll}
F_x & F_y \\
G_x & G_y
\end{array}\right|_{M_0}\right)
$$

也是曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的一个切向量.
继而得到对应曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的切线方程

$$
\frac{x-x_0}{\left|\begin{array}{ll}
F_y & F_z \\
G_y & G_z
\end{array}\right|_{M_0}}=\frac{y-y_0}{\left|\begin{array}{ll}
F_z & F_x \\
G_z & G_x
\end{array}\right|_{M_0}}=\frac{z-z_0}{\left|\begin{array}{cc}
F_x & F_y \\
G_x & G_y
\end{array}\right|_{M_0}}
$$

法平面方程为

$$
\left|\begin{array}{ll}
F_y & F_z \\
G_y & G_z
\end{array}\right|_{M_0}\left(x-x_0\right)+\left|\begin{array}{ll}
F_z & F_x \\
G_z & G_x
\end{array}\right|_{M_0}\left(y-y_0\right)+\left|\begin{array}{ll}
F_x & F_y \\
G_x & G_y
\end{array}\right|_{M_0}\left(z-z_0\right)=0 .
$$

注 1 由行列式的定义可知，借助于三阶行列式，我们可以把上述的切向量 表示为

$$
\left.\tau\right|_{M_0}=\left|\begin{array}{ccc}
i & j & k \\
F_x & F_y & F_z \\
G_x & G_y & G_z
\end{array}\right|
$$

这样比较方便记忆.
注2 若 $\left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}\right|_{M_0}=0$ ，而 $\left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(x, y)}\right|_{M_0}$ 或 $\left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(z, x)}\right|_{M_0}$ 中至少有一个不为零时 我们同样可得到结果.
比如， $\left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(x, y)}\right|_{M_0} \neq 0$ (其它条件不变)，则可唯一确定 $x=x(z) ， y=y(z)$.
例 5 求曲线 $\left\{\begin{array}{c}x^2+y^2+z^2=6 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ 在点 $(1,-2,1)$ 处的切线及法平面方程.
解法一 设 $F(x, y, z)=x^2+y^2+z^2-6 ， G(x, y, z)=x+y+z$ ， 则

$$
\begin{aligned}
& \left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}\right|_{M_0}=\left.\left|\begin{array}{ll}
F_y & F_z \\
G_y & G_z
\end{array}\right|\right|_{M_0}=\left.\left|\begin{array}{cc}
2 y & 2 z \\
1 & 1
\end{array}\right|\right|_{(1,-2,1)}=-4-2=-6 \\
& \left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(z, x)}\right|_{M_0}=\left.\left|\begin{array}{ll}
F_z & F_x \\
G_z & G_x
\end{array}\right|\right|_{M_0}=\left.\left|\begin{array}{cc}
2 z & 2 x \\
1 & 1
\end{array}\right|\right|_{(1,-2,1)}=2-2=0 \\
& \left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(x, y)}\right|_{M_0}=\left|\begin{array}{ll}
F_x & F_y \\
G_x & G_y
\end{array}\right|_{M_0}=\left.\left|\begin{array}{cc}
2 x & 2 y \\
1 & 1
\end{array}\right|\right|_{(1,-2,1)}=2-(-4)=6
\end{aligned}
$$

故切向量 $\left.\tau\right|_{(1-2,1)}=(1,0,-1)$ ， 因此所求切线方程
因此所求切线方程 $\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{0}=\frac{z-1}{-1}$ ，
即 $\left\{\begin{array}{c}x+z-2=0 \\ y+2=0\end{array}\right.$ ；
法平面方程为 $1 \cdot(x-1)+0 \cdot(y+2)-1 \cdot(z-1)=0$ ， 即 $x-z=0$.
解法二 $\left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}\right|_{M_0}=\left.\left|\begin{array}{ll}F_y & F_z \\ G_y & G_z\end{array}\right|\right|_{M_0}=\left.\left|\begin{array}{cc}2 y & 2 z \\ 1 & 1\end{array}\right|\right|_{(1,-2,1)}=-4-2=-6 \neq 0$ ，
因此可唯一确定 $y=y(x) ， z=z(x)$ ，对方程组两端关于 $x$ 求导:

$$
\left\{\begin{array} { c } 
{ 2 x + 2 y \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } + 2 z \frac { \mathrm { d } z } { \mathrm { d } x } = 0 } \\
{ 1 + \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } + \frac { \mathrm { d } z } { \mathrm { d } x } = 0 }
\end{array} ， \text { 将点 } ( 1 , - 2 , 1 ) \text { 代入得 } \left\{\begin{array}{c}
1-2 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=0 \\
1+\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=0
\end{array}\right.\right.
$$

解得 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=0 ， \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=-1$ ， 因此所求切线方程 $\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{0}=\frac{z-1}{-1}$ ，
法平面方程为 $\quad x-z=0$.
例 6 求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+2 y^2+z^2=7 \\ 2 x+5 y-3 z=-4\end{array}\right.$ 在点 $(2,-1,1)$ 处的切线及法平面方程.
解法一 设 $F(x, y, z)=x^2+2 y^2+z^2-7 ， G(x, y, z)=2 x+5 y-3 z+4$ ，
则在点 $(2,-1,1)$ 处有 $F_x=4, F_y=-4, F_z=2 ; G_x=2, G_y=5, G_z=-3$.
故切向量 $\left.\tau\right|_{(2,-1,1)}=\left|\begin{array}{ccc}i & j & k \\ 4 & -4 & 2 \\ 2 & 5 & -3\end{array}\right|=2 i+16 j+28 k$ ，因此所求切线方程为

$$
\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{8}=\frac{z-1}{14} \text {; }
$$

法平面方程为 $(x-2)+8(y+1)+14(z-1)=0$ ， 即 $x+8 y+14 z-8=0$.
解法二 我们也可以依照推导出切向量的表达式的方法来求解，为此视方程 组中 $y=y(x) ， z=z(x)$ ，对方程组两端关于 $x$ 求导，得

$$
\left\{\begin{array}{l}
2 y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+z \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=-x, \\
5 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-3 \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=-2,
\end{array}\right.
$$

解得

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\left|\begin{array}{cc}
-x & z \\
-2 & -3
\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}
2 y & z \\
5 & -3
\end{array}\right|}=\frac{3 x+2 z}{-6 y-5 z} ; \quad \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=\frac{\left|\begin{array}{cc}
2 y & -x \\
5 & -2
\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}
2 y & z \\
5 & -3
\end{array}\right|}=\frac{-4 y+5 x}{-6 y-5 z} .
$$

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{3 x+2 z}{-6 y-5 z} ; \quad \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=\frac{-4 y+5 x}{-6 y-5 z} .
$$

故有 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{(2,-1,1)}=8,\left.\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{d} x}\right|_{(2,-1,1)}=14$, 从而得到切向量 $\left.\tau\right|_{(2,-1,1)}=(1,8,14)$ ， 因此所求切线方程为

$$
\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{8}=\frac{z-1}{14},
$$

法平面方程为

$$
(x-2)+8(y+1)+14(z-1)=0 \text { ， 即 } x+8 y+14 z-8=0 \text {. }

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