最后更新: 2025-04-14 09:29 查看: 398 次反馈刷题

平行线与内角和定理

## 角平分线的性质

### 平行线
定义
平面上两条直线被第三条直线所截, 截得八个角, 如图 3.26, 其中的 $\angle 1$和 $\angle 5, \angle 4$ 和 $\angle 8, \angle 2$ 和 $\angle 6, \angle 3$ 和 $\angle 7$, 都叫做同位角, $\angle 4$ 和 $\angle 6, \angle 3$ 和 $\angle 5$ 都叫内错角, $\angle 4$ 和 $\angle 5, \angle 3$ 和 $\angle 6$ 都叫做同旁内角.
 ![图片](/uploads/2024-09/4daec3.jpg)
 
 由平行线定义可知, 两条直线平行的充要条件是这两条直线被第三条直线所截出的同位角相等. 这就是说:
1. 如果同位角相等, 则两条直线平行;
2. 如果已知两条直线平行, 则同位角相等.

这就是平行线的判定方法和平行线的性质. 以此为根据又可推知以下定理：
定理
两条直线被第三条直所线截, 如果内错角相等, 或同旁内角互补, 那么这两条直线平行.

证明：在图 3.27 中，设直线 $A B 、 C D$ 被直线 $P Q$ 所截. $\angle 2 、 \angle 3$ 是内错角， $\angle 1 、 \angle 2$ 是同旁内角.
1. 如果已知 $\angle 2=\angle 3$.
$\because \angle 3=\angle 4$ (对顶角相等),
 
 $\therefore \angle 2=\angle 4$ (等量代换).
$\therefore A B / / C D$ (同位角相等, 则两条直线平行).
2. 如果已知 $\angle 1+\angle 2=180^{\circ}$, 则 $\angle 2=180^{\circ}-\angle 1$ (等量减等量差相等).
$\because P Q$ 是直线（已知）
$\therefore \quad \angle 4+\angle 1=180^{\circ}$.
$\therefore \quad \angle 4=180^{\circ}-\angle 1$.
$\therefore \angle 2=\angle 4$ (等量代换).
$\therefore A B / / C D$ (同位角相等, 则两条直线平行).
定理
平面上两条不相交的直线是这两条直线互相平行的充要条件.

但是这个定理的证明比较麻烦, 我们在这里就不证了, 有兴趣的同学可以自己去证明它.

推论 1
平行于同一直线的两条直线平行.

已知：直线 $a / /$ 直线 $c$, 直线 $b / /$ 直线 $c$ (图 3.28). 求证： $a / / b$.证明：若 $a$ 不平行 $b, a$ 与 $b$ 一定相交, 设交点为 $P$, 那么过 $P$ 点就有两条直线 $a 、 b$ 平行于直线 $c$, 但根据平行公理, 这是不可能的, 所以 $a / / b$.
 
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上面这种证明方法, 叫做反证法. 我们先否定要证明的结论, 然后引出不合理的结果, 从而说明结论非成立不可. 请同学们回想一下, 我们在第二章讲基本逻辑语句的命题时, 若原命题是 "若 $\alpha$, 则 $\beta$ ", 那么它的逆否命题是 "若非 $\beta$, 则非 $\alpha$." 我们知道这两个互为逆否的命题是同义的, 上面的反证法就是当我们证明原命题有困难时, 我们可去证它的逆否命题.

推论 2
过已知直线外一点, 只可以引一条直线和已知直线垂直.

请同学们用反证法证明这个推论.
例 3.13 已知：在图 3.29 中， $\angle B E D=\angle B+\angle D$.
求证: $A B / / C D$.
分析：若能证明 $A B 、 C D$ 都与第三条直线平行，则 $A B / / C D$ 。
证明: 引直线 $E F$, 使得 $\angle 1=\angle B$, 则 $A B / / E F$ (内错角相等, 则两条直线平行).

又: $\because \angle B E D=\angle B+\angle D$ (已知),
$\therefore \angle B E D-\angle 1=\angle D$ (等量减等量差相等). 即: $\angle F E D=\angle D$.
$\therefore C D / / E F$ (内错角相等, 则两条直线平行).
$\therefore A B / / C D$ (平行于第三条直线的两条直线平行).

![图片](/uploads/2024-09/57b8d5.jpg)
 
 例 3.14 在图 3.30 中, 已知 $\overline{C D}=\overline{A B}, A D$ 是直线. $\angle A=\angle D$, 并且 $\overline{A E}=$ $\overline{D E}$.

求证: $E C / / B F$.
分析: 要证 $E C / / B F$, 只需证明 $\angle 1=\angle 2$ 即可, 要证明 $\angle 1=\angle 2$, 只需证明 $\triangle A E C \cong \triangle D F B$ 即可.
证明: $\because \overline{A B}=\overline{C D}$ (已知) $\therefore \overline{A B}+\overline{B C}=\overline{B C}+\overline{C D}$ (等量加等量和相等). 即: $\overline{A C}=\overline{B D}$.

又: $\because \angle A=\angle D, \overline{A E}=\overline{D F}$ (已知),
$\therefore \triangle A E C \cong \triangle D F B$ (SAS).
$\therefore \angle 1=\angle 2$ (全等三角形的对应角相等).
$\therefore C E / / B F$ (内错角相等, 则两条直线平行).
定理
如果两条平行直线被一条直线所截, 那么截出的内错角相等; 同旁内角互补。

这个定理同学们可以根据 "两条直线平行则同位角相等" 这一性质推出.
例 3.15 在图 3.31 中, 已知: $O A / / O^{\prime} A^{\prime}, O B / / O^{\prime} B^{\prime}$ 。
求证： $\angle A O B=\angle A^{\prime} O^{\prime} B^{\prime}$.
证明：反向延长 $O^{\prime} A^{\prime}$ 交 $O B$ 于 $C$ 点,
$\because O B / / O^{\prime} B^{\prime}$ (已知),
$\therefore \angle A^{\prime} O^{\prime} B^{\prime}=\angle A^{\prime} C B$ (两条直线平行, 同位角相等).
又 $\because O A / / O^{\prime} A^{\prime}$ (已知),
$\therefore \angle A^{\prime} C B=\angle A O B$ (两条直线平行, 同位角相等).
$\therefore \angle A O B=\angle A^{\prime} O^{\prime} B^{\prime}$ (等量代换).
 ![图片](/uploads/2024-09/14098f.jpg)
 
 
 定理
如果一个角的两条边和另一个角的两条边分别同向平行, 那么这两个角相等.

例 3.16 图 3.32 中, 已知: $A D / / B C, \overline{A D}=\overline{B C}$.
求证: $A B / / C D$.
分析: 要证明 $A B / / C D$, 只要证明 $\angle 3=\angle 4$ 就行了, 为此需要证明 $\triangle A B C \cong$ $\triangle C D A$.
 
证明: $\because A D / / B C$ (已知),
$\therefore \angle 1=\angle 2$ (两条直线平行, 则内错角相等).
又: $\because \overline{A D}=\overline{B C}$ (已知) $\overline{A C}=\overline{A C}$ (公共边)
$\therefore \triangle A B C \cong \triangle C D A(\mathrm{SAS})$
$\therefore \angle 3=\angle 4$ (全等三角形的对应角相等).
$\therefore A B / / C D$ (内错角相等, 则两条直线平行).

## 本章总结
![图片](/uploads/2023-10/3a2d41.svg)

1.角平分线可以得到两个相等的角。
2.角平分线上的点到角两边的距离相等。
3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。
4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。

## 外角平分线

上述介绍的角平分线通常成为“内叫平分线”，三角形一个外叫也可以有平分线，称为外角平分线，如下图

内角平分线定理及逆定理：$ \angle \alpha =\angle \beta \Leftrightarrow {\tfrac {DB}{DC}}={\tfrac {AB}{AC}} $

外角平分线定理及逆定理： $ \angle \gamma =\angle \delta \Leftrightarrow {\tfrac {EB}{EC}}={\tfrac {AB}{AC}}$

![图片](/uploads/2023-10/7adbd3.svg)

## 内角平分线

在 $\triangle A B C$ 中，在 $B C$ 边上任取一点 $D$ 。过点 $C$ 做 $A D$ 的平行线，与 $\overline{B A}$ 的延长线相交于点 $E$

$$
\begin{aligned}
& \angle B A D=\angle A E C \\
& \angle C A D=\angle A C E \\
& \triangle D B A \sim \triangle C B E \Rightarrow \frac{D B}{D C}=\frac{A B}{A E}
\end{aligned}
$$

**证内角平分线定理**

$$
\begin{aligned}
& \angle B A D=\angle C A D \Rightarrow \angle A E C=\angle A C E \Rightarrow \triangle A C E \text { 为等腰三角形 } \Rightarrow A C=A E \Rightarrow \\
& \frac{D B}{D C}=\frac{A B}{A E}=\frac{A B}{A C}
\end{aligned}
$$

**证内角平分线逆定理**

$$
\begin{aligned}
& A C=\frac{A B \cdot D C}{D B}=A E \Rightarrow \triangle A C E \text { 为等腰三角形 } \Rightarrow \angle A E C=\angle A C E \Rightarrow \\
& \angle B A D=\angle C A D
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2023-10/741f94.svg)

## 外角平分线证明

在 $\triangle A B C$ 中，令 $A B>A C$ 。在 $\overline{B C}$ 的延长线上取一点 $D$ 。过点 $C$ 做 $A D$ 的平行线，与 $B A$边相交于点 $E$ 。在 $B A$ 的延长线上任取一点 $F$ 。

$$
\begin{aligned}
& \angle F A D=\angle A E C \\
& \angle C A D=\angle A C E \\
& \triangle D B A \sim \triangle C B E \Rightarrow \frac{D B}{D C}=\frac{A B}{A E}
\end{aligned}
$$

**证外角平分线定理**
易证得，三角形外角平分线与对边直线的交点，必定落在较短的邻边的一侧。

$$
\begin{aligned}
& \angle F A D=\angle C A D \Rightarrow \angle A E C=\angle A C E \Rightarrow \triangle A C E \text { 为等腰三角形 } \Rightarrow A C=A E \Rightarrow \\
& \frac{D B}{D C}=\frac{A B}{A E}=\frac{A B}{A C}
\end{aligned}
$$

证外角平分线逆定理
易证得，三角形一边所在直线上符合要求的点，必定落在较短的邻边的一侧。

$$
A C=\frac{A B \cdot D C}{D B}=A E \Rightarrow \triangle A C E \text { 为等腰三角形 } \Rightarrow \angle A E C=\angle A C E \Rightarrow \angle F A D=\angle C A D
$$

![图片](/uploads/2023-10/4f57ec.svg)

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