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几何
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角平分线定理
角平分线定理
日期:
2023-10-28 07:35
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**角平分线的性质：‸**  1.角平分线可以得到两个相等的角。 2.角平分线上的点到角两边的距离相等。 3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。 4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。 ## 外角平分线 上述介绍的角平分线通常成为“内叫平分线”，三角形一个外叫也可以有平分线，称为外角平分线，如下图 内角平分线定理及逆定理：$ \angle \alpha =\angle \beta \Leftrightarrow {\tfrac {DB}{DC}}={\tfrac {AB}{AC}} $ 外角平分线定理及逆定理： $ \angle \gamma =\angle \delta \Leftrightarrow {\tfrac {EB}{EC}}={\tfrac {AB}{AC}}$  ## 内角平分线 在 $\triangle A B C$ 中，在 $B C$ 边上任取一点 $D$ 。过点 $C$ 做 $A D$ 的平行线，与 $\overline{B A}$ 的延长线相交于点 $E$ $$ \begin{aligned} & \angle B A D=\angle A E C \\ & \angle C A D=\angle A C E \\ & \triangle D B A \sim \triangle C B E \Rightarrow \frac{D B}{D C}=\frac{A B}{A E} \end{aligned} $$ **证内角平分线定理** $$ \begin{aligned} & \angle B A D=\angle C A D \Rightarrow \angle A E C=\angle A C E \Rightarrow \triangle A C E \text { 为等腰三角形 } \Rightarrow A C=A E \Rightarrow \\ & \frac{D B}{D C}=\frac{A B}{A E}=\frac{A B}{A C} \end{aligned} $$ **证内角平分线逆定理** $$ \begin{aligned} & A C=\frac{A B \cdot D C}{D B}=A E \Rightarrow \triangle A C E \text { 为等腰三角形 } \Rightarrow \angle A E C=\angle A C E \Rightarrow \\ & \angle B A D=\angle C A D \end{aligned} $$  ## 外角平分线证明 在 $\triangle A B C$ 中，令 $A B>A C$ 。在 $\overline{B C}$ 的延长线上取一点 $D$ 。过点 $C$ 做 $A D$ 的平行线，与 $B A$边相交于点 $E$ 。在 $B A$ 的延长线上任取一点 $F$ 。 $$ \begin{aligned} & \angle F A D=\angle A E C \\ & \angle C A D=\angle A C E \\ & \triangle D B A \sim \triangle C B E \Rightarrow \frac{D B}{D C}=\frac{A B}{A E} \end{aligned} $$ **证外角平分线定理** 易证得，三角形外角平分线与对边直线的交点，必定落在较短的邻边的一侧。 $$ \begin{aligned} & \angle F A D=\angle C A D \Rightarrow \angle A E C=\angle A C E \Rightarrow \triangle A C E \text { 为等腰三角形 } \Rightarrow A C=A E \Rightarrow \\ & \frac{D B}{D C}=\frac{A B}{A E}=\frac{A B}{A C} \end{aligned} $$ 证外角平分线逆定理 易证得，三角形一边所在直线上符合要求的点，必定落在较短的邻边的一侧。 $$ A C=\frac{A B \cdot D C}{D B}=A E \Rightarrow \triangle A C E \text { 为等腰三角形 } \Rightarrow \angle A E C=\angle A C E \Rightarrow \angle F A D=\angle C A D $$ 
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