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复变函数与积分变换
第二篇 复变函数
区域与单连通域和多连通域
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2025-01-11 20:50
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区域与单连通域和多连通域
## 区域与闭区域 **区域** 平面点集 $\boldsymbol{D}$ 称为一个区域, 如果它满足下列两个条件: (1) $D$ 是一个开集; (2) $D$ 是连通的, 即 $D$ 中任何两点都可以用完全属于 $\boldsymbol{D}$的一条折线连接起来。  **闭区域** 区域 $ \boldsymbol{D}$ 与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作 $ \overline{\boldsymbol{D}}$ **有界区域与无界区域**：有界的区域为有界区域，反之为无界区域。 **内区域与外区域** 定义一条 “简单闭曲线”把整个复平面分成两个区域,其中有界的一个称为该简单闭曲线的内部 (内区域), 另一个称为该简单闭曲线的外部 (外区域)。 ## 单连通域与多连通域 单连通域与多连通域定义 设 $D$ 为区域, 如果 $D$ 内的任何一条简单闭曲线的内部仍属于 $\boldsymbol{D}$, 则 $\boldsymbol{D}$ 称为单连通域, 否则称为多连通域。 多连通域又可具体分为二连域、三连域、...$\cdot$ 。 单连通域与多连通域举例  ## 例题 (1) $z+\bar{z}>0, \Rightarrow x>0$; (2) $|z+2-i| \geq 1, \Rightarrow|z-(-2+i)| \geq 1$; (3) $0<\arg z<\pi / 3$.  `例`$z$ 平面上以原点为圆心，$R$ 为半径的圆（即圆形区域）： $|z|<R$ 以及 $z$ 平面上以原点为圆心，$R$ 为半径的闭圆（即圆形闭域）： $$ |z| \leqslant R $$ 都以圆周 $|z|=R$ 为边界，且都是有界的。我们称 $|z|<1$ 为**单位圆**； $|z|=1$ 为**单位圆周**．
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