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集合与逻辑
日期:
2024-04-15 07:43
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集合与逻辑
## 集合概述 在数学中,集合是一个基本概念,也是集合论的主要研究对象。它指的是具有某种共性的事物或对象的整体,这些对象称为集合的元素。例如,全中国人的集合,它的元素就是每一个中国人。集合中的元素可以是数字、字母、符号、其他集合,甚至可以是各种不同的非数学概念。通常用大写字母表示一个集合,集合中的元素用小写字母表示,用大括号{}括起来表示集合。 ## 集合的产生与第三次数学危机 某村的理发师宣布了这样一个原则:**他为且只为村里所有不给自己刮胡子的人刮胡子. 那么, 这个理发师是否应该为自己刮胡子呢?** 如果理发师不为自己刮胡子, 那么他是不给自己刮胡子的人, 所以按照他的原则, 他必须为自己刮胡子; 反之, 如果他为自己刮胡子, 因为他只为不给自己刮胡子的人刮胡子,所以他不应该为自己刮胡子。 看完上面这段话后是不是觉得有些困惑? 这是数学上有名的 “理发师困境”, 是著名数学家罗素于 20 世纪初提出的“罗素悖论”的简化版本. 罗素悖论与集合论知识有关. 事实上, 我们所学习的集合, 也能以集合作为元素. 例如, 若记集合 $A=\{1,2\}$的所有子集组成的新集合为 $B$, 则 $$ B=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}, $$ $B$ 中的元素都是集合 ( $B$ 一般称为类). 以集合作为元素在直观上是容易理解的: 如果把一个集合理解为一个袋子, 元素理解为袋子里的东西, 则以集合为元素的集合, 就相当于袋子里的东西还是袋子. 这也可以用电脑中的文件夹来理解, 文件夹中可以是文件, 也可以是文件夹, 如图所示. ![图片](/uploads/2024-04/8d3b80.jpg) 罗素认为, 任何一个集合都可以考虑它是否属于自身的问题, 有些集合属于它自身, 有些集合不属于它自身. 随后, 罗素构造了集合 $S$ : 由所有不是自身元素的集合组成的集合. 问题是: $S$ 是否属于 $S$ ? 继续往下分析就会出现类似上述 “理发师困境” 的两难局面. 罗素悖论提出时, 集合论的知识已经成为数学的基础. 这一悖论的出现引发了人们对数学基础的质疑, 从而导致了“第三次数学危机”. 但是数学家们通过对集合论进行公理化成功地解决了这一危机, 为了避免出现罗素悖论, **公理中规定集合不能以它自身为元素**,即理发师不能为自己理发. 这跟我们的日常经验一致: 一个袋子不能把自己装起来, 一个文件夹也不能包括它自己. ## 集合的作用 集合在数学领域具有无可比拟的特殊重要性。集合论的基础是由德国数学家康托尔在19世纪70年代奠定的,经过一大批科学家半个世纪的努力,到20世纪20年代已确立了其在现代数学理论体系中的基础地位,可以说,现代数学各个分支的几乎所有成果都构筑在严格的集合理论上
子目录
1. 集合(高中)
2. 开区间与闭区间
3. 集合的关系
4. 集合的运算
5. 命题与量词
6. 充分条件与必要条件
7. 考点复习1:补集与充要条件
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方程与等式
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