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无理数

## 无理数
**无理数**，也称为无限不循环小数，他不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的[连分数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=664)表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。

`例`证明 $\sqrt{2}$ 是无理数

证明：要证明$\sqrt{2}$是无理数，根据无理数的定义就是证明$\sqrt{2}$无法写成两个整数的整数比，我们可以用反证法

第一步，假设$\sqrt{2}$是有理数。

第二步，根据有理数的定义，如果$\sqrt{2}$是有理数，那么它可以表示为两个**互质的正整数的比**，即存在互质的正整数$p$和$q$（$q \neq 0$），使得$\sqrt{2} = \frac{p}{q}$。

第三步，将等式两边平方，得到$2 = \frac{p^2}{q^2}$，即$p^2 = 2q^2$。由此我们可以推断出$p^2$是偶数。

第四步，根据奇偶数的性质，一个整数的平方如果是偶数，那么这个整数本身也必定是偶数。所以，$p$是偶数。

第五步，由于$p$是偶数，我们可以设$p = 2s$，其中$s$是正整数。将$p = 2s$代入$p^2 = 2q^2$，得到$(2s)^2 = 2q^2$，即$4s^2 = 2q^2$，化简得$q^2 = 2s^2$。由此我们可以推断出$q^2$也是偶数。

第六步，同样根据奇偶数的性质，由于$q^2$是偶数，那么$q$也必定是偶数。

第七步，然而，我们在第二步假设$p$和$q$是互质的，即它们之间没有公共的因子（除了1）。但我们在第四步和第六步发现$p$和$q$都是偶数，这意味着它们有公共因子2，这与我们的假设矛盾。

第八步，由于我们找到了矛盾，所以我们的假设——$\sqrt{2}$是有理数，是错误的。因此，$\sqrt{2}$是无理数。

综上所述，我们证明了$\sqrt{2}$是无理数。

## 反证法
上面的证明方法被称为反证法。反证法是一种间接的数学证明方法，其基本原理是：为了证明某个命题P是正确的，我们首先假设它的反面命题（即非P，记作¬P）是正确的，然后通过逻辑推理，如果能够得到一个矛盾（比如与已知事实、已知公理、已知定理或假设本身相矛盾），那么说明我们的假设——反面命题¬P是错误的，从而原命题P是正确的。

## 无理数的制作
利用勾股定理和圆的特性，可以在坐标轴上做出无理数。
下图显示如何制作无理数：
（1）取$OA$长度为1，做$AB$垂直$oa$，连接$OB$
（2）以$o$为圆心，$OB$为半径，交$x$轴于点$C$
（3）根据勾股定理 $1^2+1^2=2$，$OC$的长度即为$\sqrt{2}$
 ![图片](/uploads/2024-04/4134c2.jpg){width=400px}

用同样的方法，因为$1^2+\sqrt{2}^2=3^2$，可以求的$\sqrt{3}$
同样的，可以做出 $ \sqrt{4},\sqrt{5}, \sqrt{6}...$等数。

## 无理数是稠密的

我们从简单前3个数谈起，
$\sqrt{4}=2,\sqrt{3}=1.732, \sqrt{2}=1.414$
因为 $2-1.732<1.732-1.414$
所以 $\sqrt{4}-\sqrt{3} < \sqrt{3}-\sqrt{2}$

> 事实上，我们可以证明 $\sqrt{m+1}-\sqrt{m}<\sqrt{m}-\sqrt{m-1}$ 这个结果说明，**两个无理数的间距越来越小**。

记住这个结论，可以在比较无理数大小时，快速判断。比如比较 $\sqrt{8}-\sqrt{7}$ 与 $\sqrt{7}-\sqrt{6}$ 的大小。  利用无理数两个数字越大，间距越小，就可以得到

$\sqrt{8}-\sqrt{7} < \sqrt{7}-\sqrt{6}$

## 分母有理化
利用公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$或 $(\sqrt{a})^2 = a$ 来消去分母中的根号。

`例`$\frac{5}{\sqrt{7}}$
解：分母是 $\sqrt{7}$，分子分母同乘 $\sqrt{7}$：

$$
\frac{5}{\sqrt{7}} = \frac{5 \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7}}{7}
$$

`例` $\frac{4}{\sqrt{5} - 1}$

解：分母是 $\sqrt{5} - 1$，它的共轭是 $\sqrt{5} + 1$。  
分子分母同乘 $\sqrt{5} + 1$：

$$
\frac{4}{\sqrt{5} - 1} 
= \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)}
$$

利用平方差公式：
$$
(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1) = (\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4
$$

所以：
$$
\frac{4(\sqrt{5} + 1)}{4} = \sqrt{5} + 1
$$

## 例题

`例`满足 $m>|\sqrt{10}-1|$ 的整数 $m$ 的值可能是？
解:$\because 9<10<16$
$$
\begin{aligned}
& \therefore 3<\sqrt{10}<4, \\
& \therefore 2<\sqrt{10}-1<3, \\
& \therefore 2<|\sqrt{10}-1|<3,
\end{aligned}
$$
$\therefore m$ 可能是 3 ,

`例`设 $a, b$ 分别表示 $\frac{1}{3-\sqrt{7}}$ 的整数部分和小数部分,求 $a^2+(1+\sqrt{7}) a b$ 的值.
解析: 把 $\frac{1}{3-\sqrt{7}}$ 分母有理化, 确定整数部分和小数部分。 $\because \frac{1}{3-\sqrt{7}}=\frac{(3+\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})}=\frac{(3+\sqrt{7})}{2}=2+\frac{\sqrt{7}-1}{2}$
其中 $2<\sqrt{7}<3$
$\therefore \frac{1}{2}<\frac{\sqrt{7}-1}{2}<1$
$\therefore a=2, b=\frac{\sqrt{7}-1}{2}$
$\therefore a^2+(1+\sqrt{7}) a b=4+(1+\sqrt{7}) * 2 * \frac{\sqrt{7}-1}{2}=4+7-1=10$

## 无理数比较大小
### 直接比较法
对于一些比较简单的、单一的无理数, 可以采用直接比较法进行比较。

`例`比较 $-\sqrt{38}$ 与 $-\sqrt{39}$ 大小;
解析：
$$
\begin{aligned}
& \because 38<39 \\
& \therefore \sqrt{38}<\sqrt{39} \\
& \therefore-\sqrt{38}>-\sqrt{39}
\end{aligned}
$$

### 分母有理化
对于分母含有无理数的式子, 我们可以采用分母有理化的方法。将两个数的分母统一, 再比较分子的大小。

`例` 比较 $\frac{1}{\sqrt{15}-\sqrt{13}}$ 与 $\frac{1}{\sqrt{17}-\sqrt{15}}$ 的大小。
解: $\because \frac{1}{\sqrt{15}-\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{13}}{(\sqrt{15}-\sqrt{13})(\sqrt{15}+\sqrt{13})}=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{13}}{2}$
 
而 $\frac{1}{\sqrt{17}-\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{17}+\sqrt{15}}{(\sqrt{17}-\sqrt{15})(\sqrt{17}+\sqrt{15})}=\frac{\sqrt{17}+\sqrt{15}}{2}$
又 $\because \sqrt{15}+\sqrt{13}<\sqrt{17}+\sqrt{15}$
$\therefore \frac{\sqrt{15}+\sqrt{13}}{2}<\frac{\sqrt{17}+\sqrt{15}}{2}$

`例` 比较 $\frac{1+\sqrt{2}}{3+2 \sqrt{2}}$ 与 $\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$ 的大小。

分析：比较两个分子或分母中含有二次根式的无理数大小时, 通常可先将分母有理化, 可将复杂无理数简单化, 易于比较。
$$
\begin{aligned}
& \text { 解: } \because \frac{1+\sqrt{2}}{3+2 \sqrt{2}}=\frac{(1+\sqrt{2})(3-2 \sqrt{2})}{(3+2 \sqrt{2})(3-2 \sqrt{2})}=(1+\sqrt{2})(3-2 \sqrt{2})=\sqrt{2}-1 \\
& \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=\frac{(2+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=(2+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)=\sqrt{2} \\
& \therefore \frac{1+\sqrt{2}}{3+2 \sqrt{2}}<\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}
\end{aligned}
$$

### 分子有理化法
和分母有理化类似, 只要找到它们的有理化因子, 并转化为分子相同的形式,然后根据 “分子相同分母大的反而小” 即可比较出大小.

`例` 比较 $\sqrt{8}-\sqrt{7}$ 与 $\sqrt{7}-\sqrt{6}$ 的大小。
解: $\because \sqrt{8}-\sqrt{7}=\frac{(\sqrt{8}-\sqrt{7})(\sqrt{8}+\sqrt{7})}{\sqrt{8}+\sqrt{7}}=\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{7}}$
$$
\begin{aligned}
& \sqrt{7}-\sqrt{6}=\frac{(\sqrt{7}-\sqrt{6})(\sqrt{7}+\sqrt{6})}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}} \\
& \text { 又 } \because \sqrt{8}+\sqrt{7}>\sqrt{7}+\sqrt{6} \\
& \therefore \frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{7}}<\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}
\end{aligned}
$$

即 $\sqrt{8}-\sqrt{7}<\sqrt{7}-\sqrt{6}$

`例` 比较 $\sqrt{17}-4$ 与 $4-\sqrt{15}$ 的大小。

分析：整数可以看作是分母为 1 的分数, 因此无理数较 $\sqrt{17}-4$ 与 $4-\sqrt{15}$ 可分别看做分母为 1 , 然后将其分子有理化, 进而化成分子部分相同的无理数, 进行比较得出结论
$$
\begin{aligned}
& \because \sqrt{17}-4=\frac{\sqrt{17}-4}{1}=\frac{(\sqrt{17}-4)(\sqrt{17}+4)}{\sqrt{17}+4}=\frac{1}{\sqrt{17}+4} \\
& 4-\sqrt{15}=\frac{4-\sqrt{15}}{1}=\frac{(4-\sqrt{15})(4+\sqrt{15})}{4+\sqrt{15}}=\frac{1}{4+\sqrt{15}} \\
& \because \sqrt{17}+4>\sqrt{15}+4 \\
& \text { 故 } \frac{1}{\sqrt{17}+4}<\frac{1}{4+\sqrt{15}} \\
& \therefore \sqrt{17}-4<4-\sqrt{15}
\end{aligned}
$$

### 平方法
对于两个正无理数, 我们可以通过比较这两个数的平方的大小, 即 “谁的平方大, 它就大”的方法来确定这两个无理数的大小。这种方法是我们最常用的一种方法。

`例` 比较 $\sqrt{2}+\sqrt{7}$ 与 $\sqrt{3}+\sqrt{6}$ 的大小。
$$
\begin{aligned}
& \text { 解: } \because(\sqrt{2}+\sqrt{7})^2=2+7+2 \sqrt{14}=9+2 \sqrt{14} \\
& (\sqrt{3}+\sqrt{6})^2=3+6+2 \sqrt{18}=9+2 \sqrt{18} \\
& \therefore \sqrt{2}+\sqrt{7}<\sqrt{3}+\sqrt{6} .
\end{aligned}
$$

`例` 比较 $\sqrt{3+\sqrt{8}}+\sqrt{3-\sqrt{8}}$ 与 $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ 的大小。
分析: 这两个无理数直接作比较比较困难, 尝试分别将其平方, 这样就比较容易了。
$$
\begin{aligned}
& \text { 解: } \because(\sqrt{3+\sqrt{8}}+\sqrt{3-\sqrt{8}})^2 \\
& =(\sqrt{3+\sqrt{8}})^2+2 \cdot \sqrt{3+\sqrt{8}} \cdot \sqrt{3-\sqrt{8}}+(\sqrt{3-\sqrt{8}})^2=8 \\
& (\sqrt{3}+\sqrt{5})^2=(\sqrt{3})^2+(\sqrt{5})^2+2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}=8+2 \sqrt{15} \\
& \because \sqrt{3+\sqrt{8}}+\sqrt{3-\sqrt{8}}>0 \\
& \sqrt{3}+\sqrt{5}>0 \\
& \text { 且 } 8<8+2 \sqrt{15} \\
& \therefore \sqrt{3+\sqrt{8}}+\sqrt{3-\sqrt{8}}<\sqrt{3}+\sqrt{5}
\end{aligned}
$$

`例`：比较 $ \sqrt{2}+\sqrt{8}$和$\sqrt{3}+\sqrt{7}$ 大小
把 $\sqrt{2}+\sqrt{8}$ 与 $\sqrt{3}+\sqrt{7}$ 分别平方, 再根据完全平方公式去括号后, 即可比较大小.
$$
\begin{aligned}
& \because(\sqrt{2}+\sqrt{8})^2=10+2 \sqrt{16}, \quad(\sqrt{3}+\sqrt{7})^2=10+2 \sqrt{21} \\
& \therefore \sqrt{2}+\sqrt{8}<\sqrt{3}+\sqrt{7}
\end{aligned}
$$

本题的关键是熟练掌握完全平方公式: $(a \pm b)=a^2 \pm 2 a b+b^2$. 同时注意二次根式的比较往往是比较它们的平方.

## 求整数值

`例`已知 $a, b$ 分别是 $6-\sqrt{13}$ 的整数部分与小数部分，则 $2 a-b=$ $\_\_\_\_$ ．
解相 因为 $9<13<16$ ，所以 $3<\sqrt{13}<4$ ，即 $\sqrt{13}$ 在 3和 4 之间，所以 $6-\sqrt{13}$ 的整数部分是 2 ，
用$6-\sqrt{13}$ 减去它的整数部分 2 ，剩下的是小数部分，所以小数部分是 $6-\sqrt{13}-2=4-\sqrt{13}$ ，所以 $a=2$ ， $b=4-\sqrt{13}$ ．故 $2 a-b=2 \times 2-(4-\sqrt{13})=4-4+\sqrt{13} =\sqrt{13}$ ．

`例`求不超过 $(\sqrt{7}+\sqrt{5})^6$ 的值的最大整数。
提示: 设 $a=\sqrt{7}+\sqrt{5}, b=\sqrt{7}-\sqrt{5}$, 于是
$a^6+b^6=\left(a^2+b^2\right)^3-3 a^2 b^2\left(a^2+b^2\right)=24^3-3 * 4 * 24=13536$
即 $(\sqrt{7}+\sqrt{5})^6+(\sqrt{7}-\sqrt{5})^6={1 3 5 3 6}$,
$\because 0<(\sqrt{7}-\sqrt{5})^6<1$
$\therefore(\sqrt{7}+\sqrt{5})^6$ 的整数部分为 13535 , 即不超过 $(\sqrt{7}+\sqrt{5})^6$ 的值的最大整数为 13535

`例`若 $\sqrt{a-1}$ 与 $|b+\sqrt{2}|$ 互为相反数，则 $a+b$ 的绝对值为 
A． $1-\sqrt{2}$
B．$\sqrt{2}-1$
C．$\sqrt{2}+1$
D．$\sqrt{2}$
解 互为相反数的两个实数之和等于 0 ，则 $\sqrt{a-1}+|b+\sqrt{2}|=0$ ，又 $\sqrt{a-1} \geqslant 0,|b+\sqrt{2}| \geqslant 0$ ，故 $\sqrt{a-1}=0,|b+\sqrt{2}|=0$ ，则 $a=1, b=-\sqrt{2}$ ．故 $a+b$ 的值为 $1-\sqrt{2}$ ，故 $a+b$ 的绝对值为 $\sqrt{2}-1$ ．

## 无理数估算
`例`已知 $m=\sqrt{27}-\sqrt{3}$ ，则实数 $m$ 的范围是

解：$\because m=\sqrt{27}-\sqrt{3}=3 \sqrt{3}-\sqrt{3}=2 \sqrt{3}=\sqrt{12}$ ，

$$
\begin{aligned}
& \because 3<\sqrt{12}<4, \\
& \therefore 3<m<4,
\end{aligned}
$$

`例` 先化简 $\left(\frac{3}{a+1}-a+1\right) \div \frac{a-2}{a+1}$, 再求值, 其中 $a$ 是 $3-\sqrt{2}$ 的小数部分.
解: $\left(\frac{3}{a+1}-a+1\right) \div \frac{a-2}{a+1}$

$$
\begin{aligned}
& =\frac{3-\left(a^2-1\right)}{a+1} \frac{a+1}{a-2} \\
& =\frac{(2+a)(2-a)}{a-2}=-2-a, \\
& \because 1<\sqrt{2}<2, \\
& \therefore-2<-\sqrt{2}<-1,
\end{aligned}
$$

$\therefore 1<3-\sqrt{2}<2$, 而 $a$ 是 $3-\sqrt{2}$ 的小数部分,

$$
\therefore a=3-\sqrt{2}-1=2-\sqrt{2} \text {, }
$$

$\therefore$ 原式 $=-2-(2-\sqrt{2})=-2-2+\sqrt{2}=\sqrt{2}-4$.

`例`若 $\sqrt{26}$ 的整数部分为 $a$, 小数部分为 $b$, 则 $a-b$ 的值为

解: $\because \sqrt{25}<\sqrt{26}<\sqrt{36}$,

$$
\begin{aligned}
& \therefore 5<\sqrt{26}<6 \\
& \therefore a=5, \quad b=\sqrt{26}-5 \\
& \therefore a-b=5-(\sqrt{26}-5)=10-\sqrt{26}
\end{aligned}
$$

故答案是: $10-\sqrt{26}$.

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