最后更新: 2025-06-13 13:04 查看: 2462 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

有理数

## 有理数背景
“有理数”这一名称不免叫人费解，**有理数并不比别的数更“有道理”**。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中有理数的英文是rational number，而rational常规的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，“无理数”英文是irrational number （ir-在英文的词根里是取反的意思），就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。

理解上面的历史缘由很重要，这样你就能明白为什么无理数是作为有理数的反面而提出的。

最开始，大家都觉得全世界的所有数都可以写成两个整数的比。但是有个叫西帕索斯的证明了$\sqrt{2}$不可能是两个整数的比。而他的证明可以推广到很多数上。那么人们就想着，我们区分一下两种数吧。**第一种数可以写成两个整数的比，看起来很合理，就叫有理数吧。这种没法写成两个整数比的数，虽然确实存在，但是看起来很不合理，我们就管它们叫无理数吧**。因此，数学上先是把可以表为整数之比的数定义为有理数，然后又发现并非所有数都可以这样地表为整数之比，就把他称呼为无理数。 因此，问「无理数为什么不能写作两个整数之比」就跟问「负数为什么小于零」一样毫无意义。

### 奇怪的数学翻译

我国近现代数学发展落后，因此只能大规模翻译西方学术词汇。而翻译的时候由于对数学领域整体把握不足，不敢按照中国本身文化传统起名方法，根据词义取顾名思义的意译名字，就只能照直翻译。如果越往深处学，越会碰到奇奇怪怪的数学名称，比如高中三角函数里Induction Formula翻译为诱导公式, 统计里的Normal Distribution翻译为正态分布，Token翻译成令牌，Socket翻译为套接字基本上都是直译英语单词。

在这些翻译中，虽然不太好但是影响也不算大，但是翻译问题最严重，应该就是“有理数”，对于初中生来说，最让人难以理解，为什么有理数比无理数更有道理？ ，其实有理数如果翻译成“**可比数**”会顺通的多。

这里还有几个比较难记得的是酉空间，酉矩阵，辛空间，辛矩阵 权当听故事了

在酉空间，辛空间等数学名词，实际上这些名都无法表示相应概念的真正含义。无法顾名思义，就只能死记硬背。

具体到“辛”这件事上，本来这就是现代外国数学家造的一个新词。原来的辛群叫做line complex group，容易和复数的complex弄混。于是数学家赫尔曼·外尔(Weyl)按照希腊语词根造了新词“sym-plectic”，表示“复合”的意思。

二十世纪上半叶，华罗庚在美国访问，听到那里的人在研究一种新的代数，具体的说就是，数学家们发现了一种新的对称，不同于平移，翻转，镜像。而国内又没有专门的名称去和这种对称关系对应，于是华罗庚就音译sym为“辛”，用辛这个名字来描述这种新的对称。有了辛的概念，后续的辛几何，辛代数，辛空间的概念也相继引出了

在来看酉空间，他是英文单词“Unitary”的音译，Unitary英语本意是“统一”的意思，因为欧氏空间主要是研究实数的，后来数学家发现，这种数可以推广到复数，为了表示这种统一，使用了Unitary一词，当Unitary传入中国时，大家也不知道怎么翻译，鲁迅在上大人孔乙己里给孔乙己起名字，那么大家就从“子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥”里选择了酉字当做Unitary的翻译，一方面是因为Unitary的第一个字母U发音为酉，另外一方面，可以和辛相对，更显高雅。但是，带来的后果是看名字根本不知道他想说什么意思。

## 有理数 
整数和分数统称有理数。有理数在集合里通常用字母$Q$表示。

### 整数 
整数是正整数、零、负整数的集合。整数的全体构成整数集，整数集是一个数环。
正整数为：$1,2,3,4,5...n$
负整数为:$-1,-2,-3,-4,-5...-n$
零位：$0$

我们也把零和正整数统称为**自然数**,即自然数包括$0,1,2,3...n$。

正整数、零与负整数构成**整数系

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