最后更新: 2025-06-09 20:44 查看: 1290 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

无理数

## 无理数
无理数，也称为无限不循环小数，他不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的[连分数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=664)表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。

### 证明 $\sqrt{2}$ 是无理数

要证明$\sqrt{2}$是无理数，根据无理数的定义就是证明$\sqrt{2}$无法写成两个整数的整数比，我们可以用反证法

第一步，假设$\sqrt{2}$是有理数。

第二步，根据有理数的定义，如果$\sqrt{2}$是有理数，那么它可以表示为两个**互质的正整数的比**，即存在互质的正整数$p$和$q$（$q \neq 0$），使得$\sqrt{2} = \frac{p}{q}$。

第三步，将等式两边平方，得到$2 = \frac{p^2}{q^2}$，即$p^2 = 2q^2$。由此我们可以推断出$p^2$是偶数。

第四步，根据奇偶数的性质，一个整数的平方如果是偶数，那么这个整数本身也必定是偶数。所以，$p$是偶数。

第五步，由于$p$是偶数，我们可以设$p = 2s$，其中$s$是正整数。将$p = 2s$代入$p^2 = 2q^2$，得到$(2s)^2 = 2q^2$，即$4s^2 = 2q^2$，化简得$q^2 = 2s^2$。由此我们可以推断出$q^2$也是偶数。

第六步，同样根据奇偶数的性质，由于$q^2$是偶数，那么$q$也必定是偶数。

第七步，然而，我们在第二步假设$p$和$q$是互质的，即它们之间没有公共的因子（除了1）。但我们在第四步和第六步发现$p$和$q$都是偶数，这意味着它们有公共因子2，这与我们的假设矛盾。

第八步，由于我们找到了矛盾，所以我们的假设——$\sqrt{2}$是有理数，是错误的。因此，$\sqrt{2}$是无理数。

综上所述，我们证明了$\sqrt{2}$是无理数。

## 反证法
上面的证明方法被称为反证法。反证法是一种间接的数学证明方法，其基本原理是：为了证明某个命题P是正确的，我们首先假设它的反面命题（即非P，记作¬P）是正确的，然后通过逻辑推理，如果能够得到一个矛盾（比如与已知事实、已知公理、已知定理或假设本身相矛盾），那么说明我们的假设——反面命题¬P是错误的，从而原命题P是正确的。

## 无理数的制作
利用勾股定理和圆的特性，可以在坐标轴上做出无理数。
下图显示如何制作无理数：
（1）取$OA$长度为1，做$AB$垂直$oa$，连接$OB$
（2）以$o$为圆心，$OB$为半径，交$x$轴于点$C$
（3）根据勾股定理 $1^2+1^2=2$，$OC$的长度即为$\sqrt{2}$
 ![图片](/uploads/2024-04/4134c2.jpg){width=400px}

用同样的方法，因为$1^2+\sqrt{2}^2=3^2$，可以求的$\sqrt{3}$
同样的，可以做出 $ \sqrt{4},\sqrt{5}, \sqrt{6}...$等数。

## 无理数是稠密的

我们从简单前3个数谈起，
$\sqrt{4}=2,\sqrt{3}=1.732, \sqrt{2}=1.414$
因为 $2-1.732<1.732-1.414$
所以 $\sqrt{4}-\sqrt{3} < \sqrt{3}-\sqrt{2}$

> 事实上，我们可以证明 $\sqrt{m+1}-\sqrt{m}<\sqrt{m}-\sqrt{m-1}$ 这个结果说明，**两个无理数的间距越来越小**。

记住这个结论，可以在比较无理数大小时，快速判断。比如比较 $\sqrt{8}-\sqrt{7}$ 与 $\sqrt{7}-\sqrt{6}$ 的大小。  利用无理数两个数字越大，间距越小，就可以得到

$\sqrt{8}-\sqrt{7} < \sqrt{7}-\sqrt{6}$

## 典型例题

#### 例题1

满足 $m>|\sqrt{10}-1|$ 的整数 $m$ 的值可能是？
解:$\because 9<10<16$
$$
\begin{aligned}
& \therefore 3<\sqrt{10}<4, \\
& \therefore 2<\sqrt{10}-1<3, \\
& \therefore 2<|\sqrt{10}-1|<3,
\end{aligned}
$$
$\therefore m$ 可能是 3 ,

#### 例题2
设 $a, b$ 分别

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