连续型(指数分布与无记忆性)

习题训练

> 生活中，某个特定事件发生所需要的等待时间往往服从指数分布，例如，许多电子元件的使用寿命、电话的通话时间、母鸡下蛋的等待时间等，球场等待进球的时间等都可以认为是服从指数分布的

## 指数分布
### 密度函数
如果随机变量 $X$ 的密度函数为

$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cl}
\lambda \mathrm{e}^{-\lambda x} & x>0 \\
0 & \text { 其余 }
\end{array}\right.
$$

则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，记为 $X \sim E(\lambda),(\lambda>0)$.

指数分布的密度函数图像。
 ![图片](/uploads/2024-11/8fb5b4.svg)

### 指数分布的分布函数
其分布函数为

$$
F(x)=\left\{\begin{array}{cc}
1-\mathrm{e}^{-\lambda x} & x \geq 0 \\
0 & x<0
\end{array}\right.
$$

下图显示指数分布的分布函数图像。
 ![图片](/uploads/2024-11/d22b92.svg)
 
 
由定义易得出服从指数分布的随机变量的概率计算公式:
设 $X \sim  E(\lambda), 0 \leq a<b \quad$ ，则 $p(a<X \leq b)=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}$

`例` 设随机变量 $X \sim E(\lambda)$ ，则对任意实数 $s, t>0$ ， 证明 $P(X>s+t \mid X>s)=P(X>t)$
证明 可以解得 $P(X>t)=1-F(t)=e^{-\lambda t}$
故 $P(X>s+t \mid X>s)=\frac{P(X>s+t)}{P(X>s)}=\frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}=P(X>t)$.

### 应用背景
指数分布是一种偏态分布, 由于指数分布随机变量只可能取非负实数, 所以指数分布常被用作各种 “寿命” 分布, 譬如电子元器件的寿命、动物的寿命、电话的通话时间、随机服务系统中的等待时间等都可假定服从指数分布. 指数分布在可靠性与排队论中有着广泛的应用.

## 指数分布的无记忆性

在离散分布场合下, 离散型的[几何分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=529)具有无记忆性， 而在连续分布场合下, 指数分布同样具有无记忆性.

**定理(指数分布的无记忆性)** 如果随机变量 $X \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$, 则对任意 $s>0, t>0$ , 有

$$
P(X>s+t \mid X>s)=P(X>t) .
$$

上式可以理解为: 记 $X$ 是某种产品的使用寿命 ( $\mathrm{h})$, 若 $X$ 服从指数分布, 那么已知此产品使用了 $s(\mathrm{~h})$ 没发生故障, 则再能使用 $t(\mathrm{~h})$ 而不发生故障的概率与已使用的 $s(\mathrm{~h})$ 无关, 只相当于重新开始使用 $t(\mathrm{~h})$ 的概率, 即对已使用过的 $s(\mathrm{~h})$ 没有记忆.

以下例子说明了泊松分布与指数分布的关系.
`例` 如果某设备在长为 $t$ 的时间 $[0, t]$ 内发生故障的次数 $N(t)$ (与时间长度 $t$ 有关)服从参数为 $\lambda t$ 的泊松分布, 则相继两次故障之间的时间间隔 $T$ 服从参数为 $\lambda$的指数分布.
解 设 $N(t) \sim P(\lambda t)$, 即

$$
P(N(t)=k)=\frac{(\lambda t)^k}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda t}, \quad k=0,1, \cdots .
$$

注意到两次故障之间的时间间隔 $T$ 是非负随机变量, 且事件 $\{T \geqslant t\}$ 说明此设备在 $[0, t]$ 内没有发生故障, 即 $\{T \geqslant t\}=\{N(t)=0\}$, 由此我们得
当 $t<0$ 时, 有 $F_T(t)=P(T \leqslant t)=0$;
当 $t \geqslant 0$ 时, 有

$$
F_T(t)=P(T \leqslant t)=1-P(T>t)=1-P(N(t)=0)=1-\mathrm{e}^{-\lambda t},
$$

所以 $T \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$, 即相继两次故障之间的时间间隔 $T$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布, 图 2.5 .5 示意其间关系.

![图片](/uploads/2023-12/image_2023122709ad7db.png)

## 指数分布的数学期望和方差
设随机变量 $X \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$ ，则

$$
E(X)=\int_0^{\infty} x \lambda e^{-\lambda x} d x=\int_0^{\infty} x d\left(-e^{-\lambda x}\right)=-\left.x e^{-\lambda x}\right|_0 ^{\infty}+\int_0^{\infty} e^{-\lambda x} d x=-\left.\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x}\right|_0 ^{\infty}=\frac{1}{\lambda}
$$

在指数分布中, 有时记 $\theta=1 / \lambda$, 则 $\theta$ 为指数分布的数学期望.
又因为

$$
E\left(X^2\right)=\int_0^{\infty} x^2 \lambda e^{-\lambda x} d x=\int_0^{\infty} x^2 d\left(-e^{-\lambda x}\right)=-\left.x^2 e^{-\lambda x}\right|_0 ^{\infty}+2 \int_0^{\infty} x e^{-\lambda x} d x=\frac{2}{\lambda^2},
$$

由此得 $X$ 的方差为

$$
D(X)=E\left(X^2\right)-[E(X)]^2=\frac{2}{\lambda^2}-\frac{1}{\lambda^2}=\frac{1}{\lambda^2} .
$$

譬如, 某电子元件的寿命 (单位: h ) $X$ 服从指数分布 $\operatorname{Exp}(\lambda)$, 其中 $\lambda=0.001$, 则平均寿命为 $1000(h)$, 方差为 $10^6\left(h^2\right)$. 寿命数据的方差常是很大的.

`例`某元件的寿命 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，已知其平均寿命为 1000 小时 $\left(\lambda=1000^{-1}\right)$ ，求 3 个这样的元件使用 1000 小时，至少已有一个损坏的概率．

解 由题设知，$X$ 的分布函数为

$$
F(x)= \begin{cases}1-e^{-\frac{x}{1000}}, & x \geqslant 0 \\ 0, & x<0\end{cases}
$$

由此得到

$$
P(X>1000)=1-P(X \leqslant 1000)=1-F(1000)=1-F(1000)=e^{-1}
$$

各元件的寿命是否超过 1000 小时是独立的，用 $Y$ 表示 3 个元件中使用 1000 小时损坏的元件数，则 $Y \sim B\left(3,1- e ^{-1}\right)$ 。

所求概率为

$$
P(Y \geqslant 1)=1-P(Y=0)=1-C_3^0\left(1-e^{-1}\right)^0\left(e^{-1}\right)^3=1-e^{-3}
$$

关于更多概率分布表见[附录1：常见概率分布表](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1490)

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