最后更新: 2023-12-27 07:53 ● 参与者查看: 252 次纠错分享评论参与项目

指数分布

如果随机变量 $X$ 的密度函数为

$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cl}
\lambda \mathrm{e}^{-\lambda x} & x>0 \\
0 & \text { 其余 }
\end{array}\right.
$$

则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，
记为 $X \sim E(\lambda),(\lambda>0)$.
其分布函数为

$$
F(x)=\left\{\begin{array}{cc}
1-\mathrm{e}^{-\lambda x} & x \geq 0 \\
0 & x<0
\end{array}\right.
$$

![图片](/uploads/2023-01/image_2023010380823a3.png)
由定义易得服从指数分布的随机变量的概率计算公式:
设 $X \sim  E(\lambda), 0 \leq a<b \quad$ ，则 $p(a<X \leq b)=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}$
例 $\mathbf{1 0}$ 设随机变量 $X \sim E(\lambda)$ ，则对任意实数 $s, t>0$ ， 证明 $P(X>s+t \mid X>s)=P(X>t)$
证明 可以解得 $P(X>t)=1-F(t)=e^{-\lambda t}$
故 $P(X>s+t \mid X>s)=\frac{P(X>s+t)}{P(X>s)}=\frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}=P(X>t)$.

指数分布是一种偏态分布, 由于指数分布随机变量只可能取非负实数, 所以指数分布常被用作各种 “寿命” 分布, 譬如电子元器件的寿命、动物的寿命、电话的通话时间、随机服务系统中的等待时间等都可假定服从指数分布. 指数分布在可靠性与排队论中有着广泛的应用.

## 指数分布的无记忆性

在离散分布场合下, 定理 2.4 .2 给出了几何分布的无记忆性, 而在连续分布场合下, 下面给出指数分布的无记忆性.
定理 2.5.2 (指数分布的无记忆性) 如果随机变量 $X \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$, 则对任意 $s>0, t>0$ , 有

$$
P(X>s+t \mid X>s)=P(X>t) .
$$

上式可以理解为: 记 $X$ 是某种产品的使用寿命 ( $\mathrm{h})$, 若 $X$ 服从指数分布, 那么已知此产品使用了 $s(\mathrm{~h})$ 没发生故障, 则再能使用 $t(\mathrm{~h})$ 而不发生故障的概率与已使用的 $s(\mathrm{~h})$ 无关, 只相当于重新开始使用 $t(\mathrm{~h})$ 的概率, 即对已使用过的 $s(\mathrm{~h})$ 没有记忆.

以下例子说明了泊松分布与指数分布的关系.
**例 1**  如果某设备在长为 $t$ 的时间 $[0, t]$ 内发生故障的次数 $N(t)$ (与时间长度 $t$ 有关)服从参数为 $\lambda t$ 的泊松分布, 则相继两次故障之间的时间间隔 $T$ 服从参数为 $\lambda$的指数分布.
解 设 $N(t) \sim P(\lambda t)$, 即

$$
P(N(t)=k)=\frac{(\lambda t)^k}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda t}, \quad k=0,1, \cdots .
$$

注意到两次故障之间的时间间隔 $T$ 是非负随机变量, 且事件 $\{T \geqslant t\}$ 说明此设备在 $[0, t]$ 内没有发生故障, 即 $\{T \geqslant t\}=\{N(t)=0\}$, 由此我们得
当 $t<0$ 时, 有 $F_T(t)=P(T \leqslant t)=0$;
当 $t \geqslant 0$ 时, 有

$$
F_T(t)=P(T \leqslant t)=1-P(T>t)=1-P(N(t)=0)=1-\mathrm{e}^{-\lambda t},
$$

所以 $T \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$, 即相继两次故障之间的时间间隔 $T$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布, 图 2.5 .5 示意其间关系.

![图片](/uploads/2023-12/image_2023122709ad7db.png)

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