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切平面与法线方程

## 空间曲面的切平面与法线方程

### 曲面的切平面
设空间有一曲面$M$（下图绿色图形），在曲面$M$上有一点$x$,过$x$做曲面的一个切线$\vec{v}$，此时点$x$有无数条切线，可以证明（见后面证明），这些切线在同一个平面上（下图粉红色图形），这个平面被称为切平面（Tangent space），记做$T_xM$
 ![图片](/uploads/2024-09/44c60f.svg){width=300px;}
 
 >通俗解释：想象一下把一个球放在桌面上，球面底部与桌面相切，此时桌面就是过该点的切平面。

##  曲面的法线
在曲面上，过$x$做切平面的垂线，这条直线被称为法线。
 ![图片](/uploads/2024-09/edcddf.svg){width=300px;}

## 预备知识
### 方向向量方程
由立体几何知道，过空间一点做平行于已知直线的直线是唯一的. 因此， 如果知道直线上一点及与直线平行的某一向量，那么该直线的位置也就完全确 定.现在根据这个几何条件来建立直线的方程.

如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为该直线的**方向向量**. 直线上的任何一个向量都平行于方向向量. 显然，一条直线的方向向量有无穷多个，它们之间互相平行.

由于过空间一点可作且只能作一条直线，平行于已知向量，故给定直线上的一点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 及一个方向向量 $s=(m, n, p)$ ，直线的位置就完全确定了 (见下图) .

把给定的方向向量$s$平移到起点在原点的地方，则 $os=(m-0,n-0,p-0)=(m,n,p)$

如果 $M(x, y, z)$ 为直线 $l$ 上任意一点，则 $\bar{M}_0 M / / \boldsymbol{os}$ ，
根据[平面向量定理](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=166)，**两直线平行，对应坐标应该成比例**，即有

$$
 
\frac{x-x_0}{m-0}=\frac{y-y_0}{n-0}=\frac{z-z_0}{p-0} 
 
$$

即：

$$
\boxed{
\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} ...(2) 
}
$$
![图片](/uploads/2022-12/image_20221230207e54e.png)

### 法向量
我们已经知道一个曲面的法向量知识，根据**向量垂直点积为零**，就可以求出法平面。

## 空间曲线的参数表示引例

> 我们想象画家在图纸上画一条曲线 $f$ 的过程．在任意特定时刻 $t$ ，有一个点，譬如说点 $f=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}$ 被画出来，在时间段 $a \leqslant t \leqslant b$ 上画出的所有点的轨迹构成了这条曲线．显然，画家的这种行为可以看作是生成了一个以 $t$ 为自变量的函数 $f$ 。 曲线 $f$ 的位置可以使用$(x,y)$坐标表示，而当 $t$ 在 $a$ 和 $b$ 之间变动时 $x,y$ 也跟着变动。这样，我们就可以把 $f=f(x,y)$ 的函数用 $x=x(t), y=y(t)$ 来表示，

上面这个例子告诉我们，通过引入中间参数$t$ 可以把复杂的函数分解为各个分量进行独立处理。 现在对上面公式(2) 做一个物理解释。

在高中物理课的万有引力与圆周运动里我们知道，**物体的速度方向就是运动轨迹的切线方向** 参考下图，所以，曲线的切线方向就可以速度方向来替代。
 ![图片](/uploads/2025-04/49f72a.jpg){width=300px}
  
考虑一个质点在空间里运动，其运动轨迹函数是$f(x,y,z)$, 对 $f$ 分别向$x,y,z$轴求偏导，就得到速度的三个分量：$v_x=f'_x, v_y=f'_y, v_z=f'_z$，
质点从 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 经过$\Delta t$ 后运动到了   $M\left(x, y, z\right)$ ，相当于
$$
\begin{array}{c}
x=x_0+v_x \Delta t ... ① \\
y=y_0+v_y \Delta t ...② \\
z=z_0+v_z \Delta t... ③ \\
\end{array}
$$
 ![图片](/uploads/2025-04/4cb98d.jpg){width=300px}
 
 由①②③ 得
 
 $$
\boxed{
\frac{x-x_0}{f'_x}=\frac{y-y_0}{f'_y}=\frac{z-z_0}{f'_z}=\Delta t ...(3) 
}
$$
 
 (3)式就是曲线法线的物理解释。
 
 > **上面推导得出一个重要结论：给你一个空间曲线，分别求偏导，得到3个数，把这3个数当成分母，就可以迅速写出他的法线方程**

特别的，在教材里，如果 $f'_x=0$,即分母为零时， 应理解为$x-x_0=0$

## 切平面与法线方程 理论解释
设空间曲面 $\Sigma$ 的方程为 $F(x, y, z)=0$ ，其中 $F$ 具有连续偏导数$F_x 、 F_y 、 F_z$ 且 不同时为零.设点 $M_0 \in \Sigma$ ，下面建立曲面在该点的切平面与法线方程.

![图片](/uploads/2025-04/4623c9.jpg)

把上图简化为如下图，

![图片](/uploads/2022-12/image_20221231a47e4fc.png){width=380px}

在曲面 $\Sigma$ 上点 $M_0$ 处可以引无数多条曲线, 我们任意取其中过点 $M_0$ 的一条曲 线 $\Gamma$ : 假定曲线 $\Gamma$ 的的参数方程为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\varphi(t) \\
y=\psi(t) \\
z=\omega(t)
\end{array}\right.
$$

在上面参数方程引例里，我们推导了过该点的切线方程为

$$
\dfrac{x-x_0}{\varphi^{\prime}\left(t_0\right)}=\dfrac{y-y_0}{\psi^{\prime}\left(t_0\right)}=\dfrac{z-z_0}{\omega^{\prime}(t \tau)}
$$

下面通过一个例题来看看怎么求解一条曲线的切平面与法线。

## 例题
`例` 求曲面 $3 x^2+y^2-z^2=27$ 在点 $M_0(3,1,1)$ 处的切平面及法线方程.
解 因为 $F(x, y, z)=3 x^2+y^2-z^2-27$ ，故

$$
F_x(3,1,1)=\left.6 x\right|_{(3,1,1)}=18, F_y(3,1,1)=\left.2 y\right|_{(3,1,1)}=2 ， F_z(3,1,1)=-\left.2 z\right|_{(3,1,1)}=-2 ，
$$

我们把3个偏导数写为 $(18,2,-2)$ ， 你可以认为在$M_0$这一点的瞬时速度$(18,2,-2)$， 连接这点和原点，这个方向就是速度的切线方向（也就是法向量）。

现在有两个向量,一个是切平面的法向量$\boldsymbol{n}=(18,2,-2)$ ，一个是平面上的一个向量 $\boldsymbol{b}=(x-3,y-1,z-1)$
根据两个**向量垂直，数量积为零**，可以得到 （具体推导可以参加高中[平面的法向量](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1547)）

$(18,2,-2) \cdot (x-3,y-1,z-1)=0$

上面是向量乘法的点积形式，转换为坐标乘法为 (具体见高中[向量的坐标表示](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1342))：
$$
18(x-3)+2(y-1)-2(z-1)=0,
$$

所以曲面 $3 x^2+y^2-z^2=27$ 在点 $M_0(3,1,1)$ 处的切平面为

$$
18(x-3)+2(y-1)-2(z-1)=0,
$$

即 $9 x+y+z-27=0$

法线方程直接带入上面公式
$$
\frac{x-3}{18}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{-2}
$$

即 $\frac{x-3}{9}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-1}$.

> 我们现在证明，在曲面 $\Sigma$ 上，过点 $M$ 的任意曲线，它们在点 $M$ 处的切线都在同一平面上，以下这些推导，不想看的可以忽略，一点也不影响你做题。

$\Sigma$ 为空间的一张曲面，其方程为 $F(x, y, z)=0, P_0$ 为曲面 $\Sigma$ 上一点．设 $F_x$ ， $F_y, F_z$ 在点 $P_0$ 处连续且不同时为零．在曲面上任意作一条过点 $P_0$ 的光滑曲线 $\Gamma$，设其方程为 $x=x(t), y=y(t), z=$ $z(t)$ ，当 $t=t_0$ 时，对应点为 $P_0$ ，则有 $F(x(t), y(t), z(t))=0$ ．方程两边关于 $t$ 求导，并令 $t=t_0$ ，有
$$
F_x\left(P_0\right) \cdot x^{\prime}\left(t_0\right)+F_y\left(P_0\right) \cdot y^{\prime}\left(t_0\right)+F_z\left(P_0\right) \cdot z^{\prime}\left(t_0\right)=0,
$$

令 $r \left(t_0\right)=\left(x\left(t_0\right), y\left(t_0\right), z\left(t_0\right)\right), n=\left.\left(F_x, F_y, F_z\right)\right|_{P_0}$ ，则有

$$
\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{r^{\prime}}\left(t_0\right)=0
$$

因为 $F_x, F_y, F_z$ 在点 $P_0$ 不同时为零，即 $n \neq(0,0,0)$ ，而 $r^{\prime}\left(t_0\right)$ 为曲线 $\Gamma$在 $P_0$ 处的切向量，由 $\Gamma$ 的任意性，上式表明过点 $P_0$ 的任意一条光滑曲线在 $P_0$ 处的切线都与向量 $n$ 垂直，从而所有过点 $P_0$ 的切线位于同一平面上，称此平面为曲面在 $P_0$ 处的切平面，$n=\left.\left(F_x, F_y, F_z\right)\right|_{P_0}$ 称为曲面在 $P_0$ 处的法向量，故曲面在点 $P_0$ 处的切平面方程写成向量为 (两个向量垂直点积为零)

$(F_x,F_y,F_z)  \cdot   (x-x_0,y-y_0,z-z_0 )=0$

即

$$
F_x\left(P_0\right)\left(x-x_0\right)+F_y\left(P_0\right)\left(y-y_0\right)+F_z\left(P_0\right)\left(z-z_0\right)=0
$$

过点 $P_0$ 且以法向量 $n$ 为方向向量的直线称为曲面在 $P_0$ 处的法线，其方程为

$$
\frac{x-x_0}{F_x\left(P_0\right)}=\frac{y-y_0}{F_y\left(P_0\right)}=\frac{z-z_0}{F_z\left(P_0\right)} .
$$

##  $z=f(x, y)$ 的情况

现在讨论显示方程 $z=f(x, y)$ 的情形。此时方程可以看成

$$
F(x, y, z)=f(x, y)-z
$$

可见

$$
\begin{gathered}
& F_x(x, y, z)=f_x(x, y) \\
& F_y(x, y, z)=f_y(x, y) \\
& F_z(x, y, z)=-1 \\
\end{gathered}
$$

于是，当函数 $f(x, y)$ 的偏导数 $f_x(x, y) ， f_y(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 连续时，曲面在点 $\left.M\left(x_0, y^{\prime}\right), z_0\right)$ 处的法向量为

$$
\mathbf{n}=\left(f_x\left(x_0, y_0\right), f_y\left(x_0, y_0\right),-1\right)
$$

切平面方程  为

$$
f_x\left(x_0, y_0\right)(x-x \in)+f_y\left(x_0, y_0\right)\left(y-y_0\right)-\left(z-z_0\right)=0
$$

或

$$
z-z_0=f_x\left(x_0, y_0\right)\left(x-x_0\right)+f_y\left(x_0, y_0\right)\left(y-y_0\right)
$$

这里顺便指出，上面方程恰好符合函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的全微分。
法线方程为

$$
\frac{x-x_0}{f_x\left(x_0, y_0\right)}=\frac{y-y_0}{f_y\left(x_0, y=\right)}=\frac{z-z_0}{-1}
$$

如果用 $\alpha, \beta, \gamma$ 表示法向量的方向角  ，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与 $z$ 轴的正方向所成角 $\gamma$ 是锐角，则法向量的方向余弦为

$$
\begin{aligned}
& \cos \alpha=\frac{-f_x}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}} \\
& \cos \beta=\frac{-f_y}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}} \\
& \cos \gamma=\frac{1}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}
\end{aligned}
$$

## 曲面由参数方程给出的情形。

设曲面 $\Sigma$ 由参数方程

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=x(u, v) \\
y=y(u, v) \\
z=z(u, v)
\end{array}\right.
$$

给出。当 $(u, v) \in D$ 时 $\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v \neq 0$ 。又设 $\left(u_0, v_0\right) \in D$ 对应曲面上一点 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ ，其中 $x_0=x\left(u_0, v_0\right), y_0=y\left(u_0, v \in\right), z==z\left(u \in, v_0\right)$ 。为求曲面 $\Sigma$ 在点 $P_0$ 处的法方向，考虑曲面 $\Sigma$ 上过 $P_0$ 的两条特殊曲线:

$$
l_1:\left\{\begin{array}{l}
x=x\left(u, v_0\right) \\
y=y\left(u, v_0\right) \\
z=z\left(u, v_0\right)
\end{array}\right.
$$

及

$$
l_2:\left\{\begin{array}{l}
x=x\left(u_0, v\right) \\
y=y\left(u_0, v\right) \\
z=z\left(u_0, v\right)
\end{array}\right.
$$
 ![图片](/uploads/2024-09/95f0a2.jpg){width=300px}

$l_1, l_2$ 为参数曲线 ，它们在 $P_0$ 处的切向量分别为
$\mathbf{r}_u=\left.\left(x_u, y_u, z_u\right)\right|_{\left(u_0, v_0\right)}, \mathbf{r}_v=\left.\left(x_v, y_v, z_v\right)\right|_{\left(u_0, v_0\right)}$ （由上，求导可得）。曲面 $\Sigma$ 在点 $P_0$处的法向量 $\mathbf{n}$ 与 $\mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v$ 都垂直，于是

$$
\left.\mathbf{n}\right|_{\left(u_0, v_0\right)}=\mathbf{r}_u \times\left.\mathbf{r}_v\right|_{\left(u_0, v_0\right)}=\left|\begin{array}{lll}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
x_u & y_u & z_u \\
x_v & y_v & z_v
\end{array}\right|
$$

写成雅可比行列式为 点击查看[雅可比矩阵](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1239)

$$
\mathbf{n}=\left.\left(\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}, \frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}, \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right)\right|_{\left(u_0, v_0\right)}
$$

这时曲面 $\Sigma$ 在点 $P_0$ 的切平面方程为

$$
\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\right) \cdot \mathbf{n}=0
$$

其中 $\mathbf{r}_0=\left(x_{\subsetneq}, y_0, z_{\varsigma}\right)$ 表示定点， $\mathbf{r}=(x, y, z)$ 表示动点，这一方程也可以写成行列式形式

$$
\left|\begin{array}{lll}
x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\
x_u & y_u & z_u \\
x_v & y_v & z_v
\end{array}\right|_{\left(u_0, v_0\right)}=0
$$

`例` 求圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 在点 $M_0(1,0,1)$ 处的切平面及法线方程.
解 设 $F(x, y, z)=\sqrt{x^2+y^2}-z$, 则

$$
F_x(1,0,1)=\left.\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|_{(1,0,1)}=1 ， \quad F_y(1,0,1)=\left.\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|_{(1,0,1)}=0 ， \quad F_z(1,0,1)=-1 ，
$$

所以圆锥面在点 $M_0(1,0,1)$ 处的切平面为

$$
1 \cdot(x-3)+0 \cdot(y-1)-1 \cdot(z-1)=0 \text { ， 即 } x-z=0
$$

法线方程为 $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z-1}{-1} ; \quad$ 即 $\quad\left\{\begin{array}{c}\frac{x-1}{1}=\frac{z-1}{-1}, \\ y=0 .\end{array}\right.$

`例`试求曲面 $x^2+y^2+z^2-x y-3=0$ 上垂直于直线 $\left\{\begin{array}{c}x+y+1=0 \\ z-3=0\end{array}\right.$ 的切平面 方程.
解 设曲面上点 $(x, y, z)$ 处的切平面垂直于已知直线，该点处的切平面的法向 量为 $n=(2 x-y, 2 y-x, 2 z)$ ，已知直线的方向向量 $s=\left|\begin{array}{lll}i & j & k \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right|=(-1,1,0)$ ，由 $\left\{\begin{array}{c}\frac{2 x-y}{-1}=\frac{2 y-x}{1}=\frac{2 z}{0} \\ x^2+y^2+z^2-x y-3=0\end{array}\right.$ 得 $x=\mp 1 ， y=\pm 1 ， z=0$ ，即 切点为 $(-1,1,0)$ 及 $(1,-1,0)$ ；所求切平面方程为 $-(x+1)+(y-1)=0$ 及 $-(x-1)+(y+1)=0$ ， 即 $x-y+2=0$ 及 $x-y-2=0$.

`例`试证曲面 $\Sigma: \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{a}(a>0)$ 上任一点处的切平面在各坐 标轴上的截距之和为 $a$.
解 任取 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right) \in \Sigma$ ， 则在该点处的切平面的法向量为

$$
\left.\boldsymbol{n}\right|_{M_0}=\left(\frac{1}{2 \sqrt{x_0}}, \frac{1}{2 \sqrt{y_0}}, \frac{1}{2 \sqrt{z_0}}\right),
$$

$M_0$ 点处的切平面方程为

$$
\frac{1}{2 \sqrt{x_0}}\left(x-x_0\right)+\frac{1}{2 \sqrt{y_0}}\left(y-y_0\right)+\frac{1}{2 \sqrt{z_0}}\left(z-z_0\right)=0 ，
$$

$$
\frac{1}{2 \sqrt{x_0}}\left(x-x_0\right)+\frac{1}{2 \sqrt{y_0}}\left(y-y_0\right)+\frac{1}{2 \sqrt{z_0}}\left(z-z_0\right)=0 \text {, }
$$

即 $\frac{x}{\sqrt{x_0}}+\frac{y}{\sqrt{y_0}}+\frac{z}{\sqrt{z_0}}=\sqrt{x_0}+\sqrt{y_0}+\sqrt{z_0}=\sqrt{a}$ ，
从而 $\frac{x}{\sqrt{a x_0}}+\frac{y}{\sqrt{a y_0}}+\frac{z}{\sqrt{a z_0}}=1$ ，
截距之和为 $\quad \sqrt{a x_0}+\sqrt{a y_0}+\sqrt{a z_0}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}=a$.

`例` 在椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 上求一个截取各正半坐标轴为相等线段的 切平面方程.
解 椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的切平面方程为

$$
\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}+\frac{z_0 z}{c^2}=1,
$$

由 $\frac{a^2}{x_0}=\frac{b^2}{y_0}=\frac{c^2}{z_0}$ 及 $\frac{x_0{ }^2}{a^2}+\frac{y_0{ }^2}{b^2}+\frac{z_0{ }^2}{c^2}=1$ 得 $x_0=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} ， y_0=\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ ，
$z_0=\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ ，因此切平面方程为 $x+y+z=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

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