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空间曲面的切平面与法线方程

## 空间曲面的切平面与法线方程

### 曲面的切平面
设空间有一曲面$M$（下图绿色图形），在曲面$M$上有一点$x$,过$x$做曲面的一个切线$\vec{v}$，此时点$x$有无数条切线，可以证明（见后面证明），这些切线在同一个平面上（下图粉红色图形），这个平面被称为切平面（Tangent space），记做$T_xM$
 ![图片](/uploads/2024-09/44c60f.svg){width=300px;}
 
 >通俗解释：想象一下把一个球放在桌子上，球面底部与桌面相切，此时桌面就是过该点的切平面。

### 曲面的法线
在曲面上，过$x$做切平面的垂线，这条直线被称为法线。
 ![图片](/uploads/2024-09/edcddf.svg){width=300px;}

特别的，如果曲面变形为直线，可以看到他有无数的法线，但是这些法线都平行。如果用向量表示法向量，可以发现法线有2个方向，我们取法向量与 $z$ 轴成锐角作为法向量的正向。
 ![图片](/uploads/2024-09/954bf4.svg)
 
在电脑图学的领域里，法线决定着曲面与光源的浓淡处理，对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。

## 理论解释
设空间曲面 $\Sigma$ 的方程为 $F(x, y, z)=0$ ，其中 $F$ 具有连续偏导数$F_x 、 F_y 、 F_z$ 且 不同时为零.设点 $M_0 \in \Sigma$ ，下面建立曲面在该点的切平面与法线方程.
 ![图片](/uploads/2024-09/050289.jpg){width=300px}

把上图简化为如下图，在曲面 $\Sigma$ 上点 $M_0$ 处可以引无数多条曲线, 我们任意取其中过点 $M_0$ 的一条曲 线 $\Gamma$ :

如下图所示，假定曲线 $\Gamma$ 的的参数方程为

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\varphi(t) \\
y=\psi(t) \\
z=\omega(t)
\end{array}\right.
$$

其中 $\alpha<t<\beta$ 。
$t=t_0$ 对应于点 $M$ 且 $\varphi^{\prime}\left(t_0\right) ， \psi^{\prime}\left(t_0\right) ， \omega^{\prime}\left(t_0\right)$ 不全为零，则这条曲线的切线方程为，具体推导参加 [空间曲线的切线和法平面](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=393)

$$
\frac{x-x_0}{\varphi^{\prime}\left(t_0\right)}=\frac{y-y_0}{\psi^{\prime}\left(t_0\right)}=\frac{z-z_0}{\omega^{\prime}(t \tau)}
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_20221231a47e4fc.png){width=380px}

我们现在证明，在曲面 $\Sigma$ 上，过点 $M$ 的任意曲线，它们在点 $M$ 处的切线都在同一平面上。

事实上，因为曲线 $\Gamma$ 在曲面 $\Sigma$ 上，所以其点满足曲面方程

$$
F(\varphi(t), \psi(t), \omega(t))=0
$$

又因函数 $F(x, y, z)$ 的偏导数在 $M$ 点连续，且 $\varphi^{\prime}\left(t_0\right) ， \psi^{\prime}\left(t_0\right) ， \omega^{\prime}\left(t_0\right)$ 存在，所以对等式左边复合函数在 $t=t_0$ 有全导数，且此全导数等于零（在曲线上的点使曲面隐式方程恒等于零，所以 $\Delta F$ 为零，即全导数为零。）：

$$
\left.\frac{d}{d t} F(\varphi(t), \psi(t), \omega(t))\right|_{t=t_0}=0
$$

即有

$$
F_x\left(x_0, y_0, z_0\right) \varphi^{\prime}\left(t_0\right)+F_y\left(x_0, y_0, z_0\right) \psi^{\prime}\left(t_0\right)+F_z\left(x_0, y_0, z_0\right) \omega^{\prime}\left(t_0\right)=0
$$

引入向量
$$
\mathbf{n}=(F_x(x_0,y_0,z_0)  ,F_y(x_0,y_0,z_0),  F_x(x_0,y_0,z_0) )     
$$
则上式即为

$$
\mathbf{n} \cdot \mathbf{T}=0
$$
参加[向量垂直](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=758) 定理，即两向量垂直其内积为零。

其中 $\mathbf{T}=\left(\varphi^{\prime}(t), \psi^{\prime}(t), \omega^{\prime}(t)\right)$ 为曲线在 $M$ 处的切向量。

这表明，曲面上过 $M$ 点的任意一条曲线与同一向量 $\mathbf{n}$ 垂直，所以在曲面 $\Sigma$ 上，过点 $M$ 的任意曲线，它们在点 $M$ 处的切线都在同一平面上。这个平面称为曲面 $\Sigma$ 在点 $M$ 的切平面。切平面的方程为

$$
\mathbf{p} \cdot \mathbf{n}=0
$$

其中 $\mathbf{p}=\left(x-x_0, y-y_0, z-z_{\varsigma}\right)$ 。
过点 $M$ 且垂直于切平面 (即平行于 $\mathbf{n}$ ) 的直线称为曲面在该点的法线，法线的方程为

$$
\frac{x-x_0}{F_x\left(x_0, y_s, z_0\right)}=\frac{y-y_0}{F_y\left(x_0, y_0, z_0\right)}=\frac{z-z_0}{F_z\left(x_0, y_0, z_0\right)}
$$

垂直于切平面的向量称为曲面在该点的法向量 。向量 $\mathbf{n}$ 就是曲面 $\Sigma$ 在 $M$ 的一个法向量。

根据平面点法式方程式，可知该切平面方程为

$$
F_x\left(x_0, y_0, z_0\right) \cdot\left(\overline{x-x_0}\right)+F_y\left(x_0, y_0, z_0\right) \cdot \overline{\left(y-y_0\right)} \overline{(} \bar{F}_z\left(x_0, y_0, z_0\right) \cdot\left(\overline{z-z_0}\right)=0
$$

而过点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 而垂直于此点切平面的直线就称为曲面 $\Sigma$ 上点 $M_0$ 处的法线 它的对称式 (点向式) 方程为

$$
\frac{x-x_0}{F_x\left(x_0, y_0, z_0\right)}=\frac{y-y_0}{F_y\left(x_0, y_0, z_0\right)}=\frac{z-z_0}{F_z\left(x_0, y_0, z_0\right)} .
$$

### $z=f(x, y)$ 的情况

现在讨论显示方程 $z=f(x, y)$ 的情形。

$$
F(x, y, z)=f(x, y)-z
$$

可见

$$
\begin{gathered}
F_x(x, y, z)=f_x(x, y) \\
F_y(x, y, z)=f_y(x, y) \\
F_z(x, y, z)=-1
\end{gathered}
$$

于是，当函数 $f(x, y)$ 的偏导数 $f_x(x, y) ， f_y(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 连续时，曲面在点 $\left.M\left(x_0, y^{\prime}\right), z_0\right)$ 处的法向量为

$$
\mathbf{n}=\left(f_x\left(x_0, y_0\right), f_y\left(x_0, y_0\right),-1\right)
$$

切平面方程  为

$$
f_x\left(x_0, y_0\right)(x-x \in)+f_y\left(x_0, y_0\right)\left(y-y_0\right)-\left(z-z_0\right)=0
$$

或

$$
z-z_0=f_x\left(x_0, y_0\right)\left(x-x_0\right)+f_y\left(x_0, y_0\right)\left(y-y_0\right)
$$

这里顺便指出，上面方程恰好符合函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的全微分。
法线方程为

$$
\frac{x-x_0}{f_x\left(x_0, y_0\right)}=\frac{y-y_0}{f_y\left(x_0, y=\right)}=\frac{z-z_0}{-1}
$$

如果用 $\alpha, \beta, \gamma$ 表示法向量的方向角  ，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与 $z$ 轴的正方向所成角 $\gamma$ 是锐角，则法向量的方向余弦为

$$
\begin{aligned}
& \cos \alpha=\frac{-f_x}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}} \\
& \cos \beta=\frac{-f_y}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}} \\
& \cos \gamma=\frac{1}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}
\end{aligned}
$$

### 最后讨论曲面由参数方程给出的情形。

设曲面 $\Sigma$ 由参数方程

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=x(u, v) \\
y=y(u, v) \\
z=z(u, v)
\end{array}\right.
$$

给出。当 $(u, v) \in D$ 时 $\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v \neq 0$ 。又设 $\left(u_0, v_0\right) \in D$ 对应曲面上一点 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ ，其中 $x_0=x\left(u_0, v_0\right), y_0=y\left(u_0, v \in\right), z==z\left(u \in, v_0\right)$ 。为求曲面 $\Sigma$ 在点 $P_0$ 处的法方向，考虑曲面 $\Sigma$ 上过 $P_0$ 的两条特殊曲线:

$$
l_1:\left\{\begin{array}{l}
x=x\left(u, v_0\right) \\
y=y\left(u, v_0\right) \\
z=z\left(u, v_0\right)
\end{array}\right.
$$

及

$$
l_2:\left\{\begin{array}{l}
x=x\left(u_0, v\right) \\
y=y\left(u_0, v\right) \\
z=z\left(u_0, v\right)
\end{array}\right.
$$
 ![图片](/uploads/2024-09/95f0a2.jpg){width=300px}

$l_1, l_2$ 为参数曲线 ，它们在 $P_0$ 处的切向量分别为
$\mathbf{r}_u=\left.\left(x_u, y_u, z_u\right)\right|_{\left(u_0, v_0\right)}, \mathbf{r}_v=\left.\left(x_v, y_v, z_v\right)\right|_{\left(u_0, v_0\right)}$ （由上，求导可得）。曲面 $\Sigma$ 在点 $P_0$处的法向量 $\mathbf{n}$ 与 $\mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v$ 都垂直，于是

$$
\left.\mathbf{n}\right|_{\left(u_0, v_0\right)}=\mathbf{r}_u \times\left.\mathbf{r}_v\right|_{\left(u_0, v_0\right)}=\left|\begin{array}{lll}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
x_u & y_u & z_u \\
x_v & y_v & z_v
\end{array}\right|
$$

写成雅可比行列式为 点击查看[雅可比矩阵](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1239)

$$
\mathbf{n}=\left.\left(\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}, \frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}, \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right)\right|_{\left(u_0, v_0\right)}
$$

这时曲面 $\Sigma$ 在点 $P_0$ 的切平面方程为

$$
\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\right) \cdot \mathbf{n}=0
$$

其中 $\mathbf{r}_0=\left(x_{\subsetneq}, y_0, z_{\varsigma}\right)$ 表示定点， $\mathbf{r}=(x, y, z)$ 表示动点，这一方程也可以写成行列式形式

$$
\left|\begin{array}{lll}
x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\
x_u & y_u & z_u \\
x_v & y_v & z_v
\end{array}\right|_{\left(u_0, v_0\right)}=0
$$

`例` 求曲面 $3 x^2+y^2-z^2=27$ 在点 $M_0(3,1,1)$ 处的切平面及法线方程.
解 因为 $F(x, y, z)=3 x^2+y^2-z^2-27$ ，故

$$
F_x(3,1,1)=\left.6 x\right|_{(3,1,1)}=18, F_y(3,1,1)=\left.2 y\right|_{(3,1,1)}=2 ， F_z(3,1,1)=-\left.2 z\right|_{(3,1,1)}=-2 ，
$$

所以曲面 $3 x^2+y^2-z^2=27$ 在点 $M_0(3,1,1)$ 处的切平面为

$$
18(x-3)+2(y-1)-2(z-1)=0,
$$

即 $9 x+y+z-27=0$
法线方程为

$$
\frac{x-3}{18}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{-2}
$$

即 $\frac{x-3}{9}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-1}$.

`例` 求圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 在点 $M_0(1,0,1)$ 处的切平面及法线方程.
解 设 $F(x, y, z)=\sqrt{x^2+y^2}-z$, 则

$$
F_x(1,0,1)=\left.\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|_{(1,0,1)}=1 ， \quad F_y(1,0,1)=\left.\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|_{(1,0,1)}=0 ， \quad F_z(1,0,1)=-1 ，
$$

所以圆锥面在点 $M_0(1,0,1)$ 处的切平面为

$$
1 \cdot(x-3)+0 \cdot(y-1)-1 \cdot(z-1)=0 \text { ， 即 } x-z=0
$$

法线方程为 $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z-1}{-1} ; \quad$ 即 $\quad\left\{\begin{array}{c}\frac{x-1}{1}=\frac{z-1}{-1}, \\ y=0 .\end{array}\right.$

`例`试求曲面 $x^2+y^2+z^2-x y-3=0$ 上垂直于直线 $\left\{\begin{array}{c}x+y+1=0 \\ z-3=0\end{array}\right.$ 的切平面 方程.
解 设曲面上点 $(x, y, z)$ 处的切平面垂直于已知直线，该点处的切平面的法向 量为 $n=(2 x-y, 2 y-x, 2 z)$ ，已知直线的方向向量 $s=\left|\begin{array}{lll}i & j & k \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right|=(-1,1,0)$ ，由 $\left\{\begin{array}{c}\frac{2 x-y}{-1}=\frac{2 y-x}{1}=\frac{2 z}{0} \\ x^2+y^2+z^2-x y-3=0\end{array}\right.$ 得 $x=\mp 1 ， y=\pm 1 ， z=0$ ，即 切点为 $(-1,1,0)$ 及 $(1,-1,0)$ ；所求切平面方程为 $-(x+1)+(y-1)=0$ 及 $-(x-1)+(y+1)=0$ ， 即 $x-y+2=0$ 及 $x-y-2=0$.

`例`试证曲面 $\Sigma: \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{a}(a>0)$ 上任一点处的切平面在各坐 标轴上的截距之和为 $a$.
解 任取 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right) \in \Sigma$ ， 则在该点处的切平面的法向量为

$$
\left.\boldsymbol{n}\right|_{M_0}=\left(\frac{1}{2 \sqrt{x_0}}, \frac{1}{2 \sqrt{y_0}}, \frac{1}{2 \sqrt{z_0}}\right),
$$

$M_0$ 点处的切平面方程为

$$
\frac{1}{2 \sqrt{x_0}}\left(x-x_0\right)+\frac{1}{2 \sqrt{y_0}}\left(y-y_0\right)+\frac{1}{2 \sqrt{z_0}}\left(z-z_0\right)=0 ，
$$

$$
\frac{1}{2 \sqrt{x_0}}\left(x-x_0\right)+\frac{1}{2 \sqrt{y_0}}\left(y-y_0\right)+\frac{1}{2 \sqrt{z_0}}\left(z-z_0\right)=0 \text {, }
$$

即 $\frac{x}{\sqrt{x_0}}+\frac{y}{\sqrt{y_0}}+\frac{z}{\sqrt{z_0}}=\sqrt{x_0}+\sqrt{y_0}+\sqrt{z_0}=\sqrt{a}$ ，
从而 $\frac{x}{\sqrt{a x_0}}+\frac{y}{\sqrt{a y_0}}+\frac{z}{\sqrt{a z_0}}=1$ ，
截距之和为 $\quad \sqrt{a x_0}+\sqrt{a y_0}+\sqrt{a z_0}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}=a$.

`例` 在椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 上求一个截取各正半坐标轴为相等线段的 切平面方程.
解 椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的切平面方程为

$$
\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}+\frac{z_0 z}{c^2}=1,
$$

由 $\frac{a^2}{x_0}=\frac{b^2}{y_0}=\frac{c^2}{z_0}$ 及 $\frac{x_0{ }^2}{a^2}+\frac{y_0{ }^2}{b^2}+\frac{z_0{ }^2}{c^2}=1$ 得 $x_0=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} ， y_0=\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ ，
$z_0=\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ ，因此切平面方程为 $x+y+z=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

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