最后更新: 2025-01-03 16:04 查看: 535 次反馈刷题

方程的向量表示及线性组合

## 方程的向量表示

设有一个线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2 \\
\cdots \\
a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=b_m
\end{array}\right.
$$

在矩阵章节里介绍，他们可以写成矩阵的方式 [详见此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=457)，即
$$
AX=B
$$

方程除了可以用矩阵表示外，还可以用向量表示。设上面方程组的增广矩阵为

$$
{\boldsymbol{\bar{A}}}=\left(\begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & b_2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} & b_m
\end{array}\right)
$$

分别用 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n ; \boldsymbol{\beta}$ 表示上述矩阵的列向量, 即

$$
\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{21} \\
\vdots \\
a_{m 1}
\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{c}
a_{12} \\
a_{22} \\
\vdots \\
a_{m 2}
\end{array}\right), \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n=\left(\begin{array}{c}
a_{1 n} \\
a_{2 n} \\
\vdots \\
a_{m n}
\end{array}\right) ; \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{array}\right)
$$

则上面方程组等价于下列向量形式的方程式:

$$
x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2+\cdots+x_n \alpha_n=\boldsymbol{\beta}
$$

> 这个式子告诉我们，求解一次线性方程组的解，既可以采用“矩阵”的视角，又可以采用“向量”的视角。

## 向量组及其线性组合

**定义1** 给定 $n$ 维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ ，对于任意一组数 $k_1, k_2, \cdots, k_n$ ，表达式 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_n \boldsymbol{\alpha}_n$ 称为该向量组的一个线性组合.

比如
$$
\alpha_1=\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3
\end{array}\right)
$$

$$
\alpha_2=\left(\begin{array}{lll}
6 & 7 & 9
\end{array}\right)
$$

$$
\alpha_3=\left(\begin{array}{lll}
2 & 4 & 6
\end{array}\right)
$$

$$
\alpha_4=\left(\begin{array}{lll}
9 & 7 & 1
\end{array}\right)
$$

那么 $2 \boldsymbol{\alpha}_1+4 \boldsymbol{\alpha}_2+7 \boldsymbol{\alpha}_3+ 6 \boldsymbol{\alpha}_4 $ 成为向量组的一个线性组合。

**定义2** 给定 $n$ 维向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 和一个 $n$ 维向量 $\beta$ ，如果存在一组数 $k_1, k_2, \cdots, k_n$ ，使得

$$
\boldsymbol{\beta}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_n \boldsymbol{\alpha}_n,
$$

则称向量 $\beta$ 可由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示，或者说向量 $\beta$ 是向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 的一个**线性组合**.

例如，给定向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ ，则向量

$$
\begin{aligned}
& 2 \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+\sqrt{3} \boldsymbol{\alpha}_3, \quad \boldsymbol{\alpha}_1+0 \boldsymbol{\alpha}_2+0 \boldsymbol{\alpha}_3\left(=\boldsymbol{\alpha}_1\right), \quad 0 \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+0 \boldsymbol{\alpha}_3\left(=\boldsymbol{\alpha}_2\right), \\
& 0 \boldsymbol{\alpha}_1+0 \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3\left(=\boldsymbol{\alpha}_3\right), \quad 0 \boldsymbol{\alpha}_1+0 \boldsymbol{\alpha}_2+0 \boldsymbol{\alpha}_3(=\boldsymbol{0})
\end{aligned}
$$

都是向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的线性组合.
由此可见，一个向量组可以线性表示这个向量组中的每一个向量，
零向量是任意一个向量组的线性组合.

`例` 设向量组 $\boldsymbol{e}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{e}_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right), \cdots, \boldsymbol{e}_n=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1\end{array}\right)$ ，则任一向量 $\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{c}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right)$ 都可由 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 线性表示，
即 $\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{c}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right)=a_1\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right)+a_2\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right)+\cdots+a_n\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1\end{array}\right)=a_1 \boldsymbol{e}_1+a_2 e_2+\cdots+a_n \boldsymbol{e}_n$.

## 定理

在本文一开始介绍的方程里，方程的表达方式为
$$
x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2+\cdots+x_n \alpha_n=\boldsymbol{\beta} ..(1)
$$

而在线性组合的定义为
$$
\boldsymbol{\beta}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_n \boldsymbol{\alpha}_n, ...(2)
$$

可以发现这2个形式本质上是一样的。因此可以由如下定理

向量 $\beta$ 可由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ (唯一) 线性表示的充分必要条件是线性方程组 $x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2+\cdots+x_n \boldsymbol{\alpha}_n=\beta$ 有 (唯一) 解.
证明 如果向量 $\beta$ 可由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示，则存在一组数 $k_1, k_2, \cdots, k_n$ ，使得

$$
k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_n \boldsymbol{\alpha}_n=\boldsymbol{\beta} .
$$

这表明线性方程组 $x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_n \boldsymbol{\alpha}_n=\boldsymbol{\beta}$ 有解

$$
\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
k_1 \\
k_2 \\
\vdots \\
k_n
\end{array}\right) .
$$

反之，如果线性方程组

$$
x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_n \boldsymbol{\alpha}_n=\boldsymbol{\beta} \quad 
$$
有解
$$
\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
k_1 \\
k_2 \\
\vdots \\
k_n
\end{array}\right) \text {, }
$$

即 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_n \boldsymbol{\alpha}_n=\boldsymbol{\beta}$ ，
从而向量 $\beta$ 可由向量组 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性表示.

`例` 设有向量 $\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{c}5 \\ 3 \\ -6\end{array}\right)$ 及向量组 $\beta_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right) \boldsymbol{\beta}_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \boldsymbol{\beta}_3=\left(\begin{array}{l}-1 \\ 1 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)$, 试问 $\boldsymbol{\alpha}$ 能否由 $\beta_1, \boldsymbol{\beta}_2, \beta_3$ 线性表示.

解 设 $x_1 \beta_1+x_2 \beta_2+x_3 \beta_3=\alpha$ ，由
可知方程组有无穷多解: $\left\{\begin{array}{l}x_1=5+c, \\ x_2=-1-c, \\ x_3=c\end{array}\right.$, 其中 $c$ 为任意常数. 因此 $\boldsymbol{\alpha}$ 能由 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_{\mathbf{3}}$ 线性表示,
且表示式不唯一: $\alpha=(5+c) \boldsymbol{\beta}_1+(-1-c) \boldsymbol{\beta}_2+c \boldsymbol{\beta}_3$ ，其中 $c$ 为任意常数.

`例`设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -2\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ -5\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{c}-3 \\ 2 \\ 4\end{array}\right) ，$ 而 $\boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c}5 \\ 4 \\ -7\end{array}\right)$ ，问：向量 $\boldsymbol{\beta}$ 能否由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示？若可以，求出线性表达式。

解 设 $x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+x_3 \boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{\beta}$ ，由

$$
\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}\right)=\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -3 & 5 \\
0 & 1 & 2 & 4 \\
-2 & -5 & 4 & -7
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -3 & 5 \\
0 & 1 & 2 & 4 \\
0 & -1 & -2 & 3
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -3 & 5 \\
0 & 1 & 2 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 7
\end{array}\right)
$$

可知线性方程组无解，所以向量 $\beta$ 不能由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示.

>提示：对于解一个向量能否由一组向量线性表示，通常都是固定的讨论，即假设能由它表示，然后解方程组，看是否有解。

## 方程向量表示的意义
通过方程的向量表示，打通了“方程-向量”的映射关系，即通过研究方程的解，可以判断向量是否线性相关。 反之，通过判断向量是否相关又可以得到方程是否有解。详见[附录1：线性方程组、行列式、矩阵和向量](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1234)

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