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空间的平面 直线与球面方程
最后更新:
2024-05-17 15:28
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空间的平面 直线与球面方程
## 空间的平面 直线与球面方程 一、空间的平面方程 已知非零向量 $\vec{n}=(a, b, c)$ 和定点 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$, 过 $P_0$ 点作平面 $\pi$ 与 $\vec{n}$ 垂直, 求平面 $\pi$ 的方程. ![图片](/uploads/2024-05/af0256.jpg) 设 $P(x, y, z)$ 为平面 $\pi$ 上一动点, 因为 $\overrightarrow{P_0 P} \perp \vec{n}$, 所以 $\overrightarrow{P_0 P} \cdot \vec{n}=0$, 即: $$ \left(\overrightarrow{O P}-\overrightarrow{O P_0}\right) \cdot \vec{n}=0 $$ 反之, 如果 $P(x, y, z)$ 满足 (8.10) 式, 那么 $P$ 点一定在平面 $\pi$ 上, 所以 $(8.10)$式就是平面 $\pi$ 的向量方程. (8.10) 式用坐标表示即可写为 $$ a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0 $$ (8.11) 式就叫做平面的点法向式方程. 其中 $\vec{n}=(a, b, c)$, 叫做平面 $\pi$ 的一条法线向量. 如果令 $d=-\left(a x_0+b y_0+c z_0\right)$, 那么 $(8.11)$ 式又可写为 $$ a x+b y+c z+d=0 $$ 方程 (8.12) 又叫做平面的普通方程, 其中 $a, b, c$ 至少有一个不为零. 显然, 如果 $\vec{n}=(a, b, c)$ 是平面 $\pi$ 的一个法线向量, 那么对任何非零常数 $k, k \vec{n}$ 也是 $\pi$ 的法线向量. 这样, 若取 $k \vec{n}$ 作为平面的法线向量, 则 $\pi$ 的方程还可写为 $$ k(a x+b y+c z+d)=0 $$ 因此, 同一个平面方程, 仅仅相差一个常数因子. 由方程 (8.12) 可以看出, 平面的方程是 $x, y, z$ 的一次方程; 反之, 如果设 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 是三元一次方程 $a x+b y+c z+d=0$ 的一个解, 则 $$ a x_0+b y_0+c z_0+d=0 $$ 两式相减, 得 $$ a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0 $$ 如果建立空间直角坐标系, 作 $\overrightarrow{O P_0}=\left(x_0, y_0, z_0\right), \vec{n}=(a, b, c)$, 那么 (8.13) 式就是通过 $P_0$ 且垂直于 $\vec{n}$ 的一个平面方程, 这就是说, 任何一个三元一次方程都表示一个平面. 这样, 在空间解析几何中, 一个平面和一个三元一次方程是同一码事. 由以上分析, 我们还可得到一个结论, 即, 任给一个平面 $\pi: a x+b y+$ $c z+d=0$, 其中 $x, y, z$ 的系数向量 $\vec{n}=(a, b, c)$ 是平面 $\pi$ 的一个法线向量. 例 8.5 求通过点 $P(2,-1,3)$ 且垂直于 $\vec{n}=(2,-1,5)$ 的平面方程. 解: 由平面的点法式方程, 得所求平面方程为 $$ 2(x-2)+(-1)[y-(-1)]+5(z-3)=0 $$ 整理得 $$ 2 x-y+5 z-20=0 $$ 例 8.6 已知 $A\left(x_1, y_1, z_1\right), B\left(x_2, y_2, z_2\right), C\left(x_3, y_3, z_3\right)$ 三点不共线. 求通过 $A$ 、 $B 、 C$ 的平面方程. 解:设 $P(x, y, z)$ 为所求平面的一个动点, 则 $P$ 点与 $A 、 B 、 C$ 三点共面的充要条件是 $$ \left|\begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array}\right|=0 $$ 这就是通过 $A 、 B 、 C$ 三点的平面方程, 叫做平面方程的三点式. 例 8.7 求通过原点和两点 $(2,0,1),(0,1,3)$ 的平面方程. 解: 方法 1:由平面方程的三点式,得 $$ \left|\begin{array}{lll} x-0 & y-0 & z-0 \\ 2-0 & 0-0 & 1-0 \\ 0-0 & 1-0 & 3-0 \end{array}\right|=0 $$ 展开化简,得 $$ x+6 y-2 z=0 $$ 方法 2:设所求的平面方程为 $a x+b y+c z+d=0$, 把已知三点的坐标, 代入上面方程, 得 $$ \left\{\begin{array}{l} d=0 \\ 2 a+c=0 \\ b+3 c=0 \end{array}\right. $$ 解此方程组, 得 $$ a=-\frac{1}{2} c, \quad b=-3 c, \quad d=0 $$ 所以, 所求的平面方程为 $$ \frac{1}{2} c x-3 c y+c z=0 $$ 即: $x+6 y-2 z=0$. 例 8.8 求通过点 $(1,2,3)$ 且平行于平面 $2 x+y-z+3=0$ 的平面方程. 解:已知平面的一个法线向量是 $\vec{n}=(2,1,-1)$, 它与所求平面垂直, 由平面的点法向式方程, 得所求方程为 $$ 2(x-1)+1(y-2)+(-1)(z-3)=0 $$ 整理, 得 $$ 2 x+y-z-1=0 $$ 例 8.9 求点 $P_1\left(x_1, y_1, z_1\right)$ 到平面 $\pi: a x+b y+c z+d=0$ 的距离 $d$ (图 8.6). 解: 过 $P_1$ 作 $P_1 P_0$ 垂直平面 $\pi$ 于 $P_0$ 点, 则 $$ d=\left|\overrightarrow{P_0 P_1}\right| $$ ![图片](/uploads/2024-05/932ddd.jpg) 设 $P_0$ 的坐标为 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$. 则 $$ \left|\overrightarrow{P_0 P_2}\right|=\left|\overrightarrow{P_0 P_1} \cdot \vec{n}_0\right| $$ 其中 $\vec{n}_0$ 是 $\pi$ 的单位法向量. 换用坐标表示, 即为 $$ \left|\overrightarrow{P_0 P_1}\right|=\frac{a\left(x_1-x_0\right)+b\left(y_1-y_0\right)+c\left(z_1-z_0\right)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} $$ 因为 $P_0 \in \pi$, 所以 $$ a x_0+b y_0+c z_0+d=0 $$ 其中: $d=-\left(a x_0+b y_0+c z_0\right)$, 代入上式, 得 $$ \begin{gathered} \left|\overrightarrow{P_0 P_1}\right|=\frac{a x_1+b y_1+c z_1+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \\ d=\frac{\left|a x_1+b y_1+c z_1+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \end{gathered} $$ 例 8.9 说明, 如果要求一点到一平面的距离, 只要把这一点的坐标代入平面方程. 取绝对值, 再除以系数向量的长度就可求出.
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