最后更新: 2025-02-09 09:40 查看: 211 次反馈同步训练

空间的平面方程

### 引入
上节介绍了，动手旋转一个圆盘陀螺 (如图2.4-3), 可以发现陀螺转动时, 圆盘平面时而水平, 时而倾斜, 在不断改变方向. 陀螺的轴也随圆盘平面在不断改变方向, 但始终与圆盘垂直.
 ![图片](/uploads/2024-11/56d64b.jpg)
 
 我们可以用轴的方向来刻画陀螺圆盘平面的方向, 也就是用与平面垂直的向量 $n$ （我们称为**法向量**）来刻画圆盘平面的方向.

## 空间的平面方程
已知非零向量 $\vec{n}=(a, b, c)$ 和定点 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$, 过 $P_0$ 点作平面 $\pi$ 与 $\vec{n}$ 垂直, 求平面 $\pi$ 的方程.
 ![图片](/uploads/2024-05/af0256.jpg)
 设 $P(x, y, z)$ 为平面 $\pi$ 上一动点, 因为 $\overrightarrow{P_0 P} \perp \vec{n}$, 所以 $\overrightarrow{P_0 P} \cdot \vec{n}=0$, 即:
$$
\left(\overrightarrow{O P}-\overrightarrow{O P_0}\right) \cdot \vec{n}=0 ...(8.10)
$$

反之, 如果 $P(x, y, z)$ 满足 (8.10) 式, 那么 $P$ 点一定在平面 $\pi$ 上, 所以 $(8.10)$式就是平面 $\pi$ 的向量方程.
(8.10) 式用坐标表示即可写为
$$
a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0  ...(8.11)
$$
(8.11) 式就叫做平面的点法向式方程. 其中 $\vec{n}=(a, b, c)$, 叫做平面 $\pi$ 的一条法线向量.
如果令 $d=-\left(a x_0+b y_0+c z_0\right)$, 那么 $(8.11)$ 式又可写为
$$
a x+b y+c z+d=0 ...(8.12)
$$

方程 (8.12) 又叫做平面的普通方程, 其中 $a, b, c$ 至少有一个不为零.
显然, 如果 $\vec{n}=(a, b, c)$ 是平面 $\pi$ 的一个法线向量, 那么对任何非零常数 $k, k \vec{n}$ 也是 $\pi$ 的法线向量. 这样, 若取 $k \vec{n}$ 作为平面的法线向量, 则 $\pi$ 的方程还可写为
$$
k(a x+b y+c z+d)=0 
$$

因此, 同一个平面方程, 仅仅相差一个常数因子.
由方程 (8.12) 可以看出, 平面的方程是 $x, y, z$ 的一次方程; 反之, 如果设 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 是三元一次方程 $a x+b y+c z+d=0$ 的一个解, 则
$$
a x_0+b y_0+c z_0+d=0
$$

两式相减, 得
$$
a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0  ...(8.13)
$$

如果建立空间直角坐标系, 作 $\overrightarrow{O P_0}=\left(x_0, y_0, z_0\right), \vec{n}=(a, b, c)$, 那么 (8.13) 式就是通过 $P_0$ 且垂直于 $\vec{n}$ 的一个平面方程, 这就是说, 任何一个三元一次方程都表示一个平面. 这样, 在空间解析几何中, 一个平面和一个三元一次方程是同一码事.

由以上分析, 我们还可得到一个结论, 即, 任给一个平面 $\pi: a x+b y+$ $c z+d=0$, 其中 $x, y, z$ 的系数向量 $\vec{n}=(a, b, c)$ 是平面 $\pi$ 的一个法线向量.

`例`求通过点 $P(2,-1,3)$ 且垂直于 $\vec{n}=(2,-1,5)$ 的平面方程.
解: 由平面的点法式方程, 得所求平面方程为
$$
2(x-2)+(-1)[y-(-1)]+5(z-3)=0
$$

整理得
$$
2 x-y+5 z-20=0
$$

`例`已知 $A\left(x_1, y_1, z_1\right), B\left(x_2, y_2, z_2\right), C\left(x_3, y_3, z_3\right)$ 三点不共线. 求通过 $A$ 、 $B 、 C$ 的平面方程.

解：设 $P(x, y, z)$ 为所求平面的一个动点, 则 $P$ 点与 $A 、 B 、 C$ 三点共面的充要条件是
$$
\left|\begin

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