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空间的平面方程

### 引入
上节介绍了，动手旋转一个圆盘陀螺 (如图2.4-3), 可以发现陀螺转动时, 圆盘平面时而水平, 时而倾斜, 在不断改变方向. 陀螺的轴也随圆盘平面在不断改变方向, 但始终与圆盘垂直.
 ![图片](/uploads/2024-11/56d64b.jpg)
 
 我们可以用轴的方向来刻画陀螺圆盘平面的方向, 也就是用与平面垂直的向量 $n$ （我们称为**法向量**）来刻画圆盘平面的方向.

## 空间的平面方程
已知非零向量 $\vec{n}=(a, b, c)$ 和定点 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$, 过 $P_0$ 点作平面 $\pi$ 与 $\vec{n}$ 垂直, 求平面 $\pi$ 的方程.
 ![图片](/uploads/2024-05/af0256.jpg)
 设 $P(x, y, z)$ 为平面 $\pi$ 上一动点, 因为 $\overrightarrow{P_0 P} \perp \vec{n}$, 所以 $\overrightarrow{P_0 P} \cdot \vec{n}=0$, 即:
$$
\left(\overrightarrow{O P}-\overrightarrow{O P_0}\right) \cdot \vec{n}=0 ...(8.10)
$$

反之, 如果 $P(x, y, z)$ 满足 (8.10) 式, 那么 $P$ 点一定在平面 $\pi$ 上, 所以 $(8.10)$式就是平面 $\pi$ 的向量方程.
(8.10) 式用坐标表示即可写为
$$
a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0  ...(8.11)
$$
(8.11) 式就叫做平面的点法向式方程. 其中 $\vec{n}=(a, b, c)$, 叫做平面 $\pi$ 的一条法线向量.
如果令 $d=-\left(a x_0+b y_0+c z_0\right)$, 那么 $(8.11)$ 式又可写为
$$
a x+b y+c z+d=0 ...(8.12)
$$

方程 (8.12) 又叫做平面的普通方程, 其中 $a, b, c$ 至少有一个不为零.
显然, 如果 $\vec{n}=(a, b, c)$ 是平面 $\pi$ 的一个法线向量, 那么对任何非零常数 $k, k \vec{n}$ 也是 $\pi$ 的法线向量. 这样, 若取 $k \vec{n}$ 作为平面的法线向量, 则 $\pi$ 的方程还可写为
$$
k(a x+b y+c z+d)=0 
$$

因此, 同一个平面方程, 仅仅相差一个常数因子.
由方程 (8.12) 可以看出, 平面的方程是 $x, y, z$ 的一次方程; 反之, 如果设 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 是三元一次方程 $a x+b y+c z+d=0$ 的一个解, 则
$$
a x_0+b y_0+c z_0+d=0
$$

两式相减, 得
$$
a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0  ...(8.13)
$$

如果建立空间直角坐标系, 作 $\overrightarrow{O P_0}=\left(x_0, y_0, z_0\right), \vec{n}=(a, b, c)$, 那么 (8.13) 式就是通过 $P_0$ 且垂直于 $\vec{n}$ 的一个平面方程, 这就是说, 任何一个三元一次方程都表示一个平面. 这样, 在空间解析几何中, 一个平面和一个三元一次方程是同一码事.

由以上分析, 我们还可得到一个结论, 即, 任给一个平面 $\pi: a x+b y+$ $c z+d=0$, 其中 $x, y, z$ 的系数向量 $\vec{n}=(a, b, c)$ 是平面 $\pi$ 的一个法线向量.

`例`求通过点 $P(2,-1,3)$ 且垂直于 $\vec{n}=(2,-1,5)$ 的平面方程.
解: 由平面的点法式方程, 得所求平面方程为
$$
2(x-2)+(-1)[y-(-1)]+5(z-3)=0
$$

整理得
$$
2 x-y+5 z-20=0
$$

`例`已知 $A\left(x_1, y_1, z_1\right), B\left(x_2, y_2, z_2\right), C\left(x_3, y_3, z_3\right)$ 三点不共线. 求通过 $A$ 、 $B 、 C$ 的平面方程.

解：设 $P(x, y, z)$ 为所求平面的一个动点, 则 $P$ 点与 $A 、 B 、 C$ 三点共面的充要条件是
$$
\left|\begin{array}{ccc}
x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\
x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\
x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1
\end{array}\right|=0
$$

这就是通过 $A 、 B 、 C$ 三点的平面方程, 叫做平面方程的三点式.

`例`求通过原点和两点 $(2,0,1),(0,1,3)$ 的平面方程.
解： 方法 1：由平面方程的三点式，得
$$
\left|\begin{array}{lll}
x-0 & y-0 & z-0 \\
2-0 & 0-0 & 1-0 \\
0-0 & 1-0 & 3-0
\end{array}\right|=0
$$

展开化简，得
$$
x+6 y-2 z=0
$$

方法 2：设所求的平面方程为 $a x+b y+c z+d=0$, 把已知三点的坐标, 代入上面方程, 得
$$
\left\{\begin{array}{l}
d=0 \\
2 a+c=0 \\
b+3 c=0
\end{array}\right.
$$

解此方程组, 得
$$
a=-\frac{1}{2} c, \quad b=-3 c, \quad d=0
$$

所以, 所求的平面方程为
$$
\frac{1}{2} c x-3 c y+c z=0
$$

即: $x+6 y-2 z=0$.

`例`求通过点 $(1,2,3)$ 且平行于平面 $2 x+y-z+3=0$ 的平面方程.
解：已知平面的一个法线向量是 $\vec{n}=(2,1,-1)$, 它与所求平面垂直, 由平面的点法向式方程, 得所求方程为
$$
2(x-1)+1(y-2)+(-1)(z-3)=0
$$

整理, 得
$$
2 x+y-z-1=0
$$

`例`求点 $P_1\left(x_1, y_1, z_1\right)$ 到平面 $\pi: a x+b y+c z+d=0$ 的距离 $d$ (图 8.6).
解: 过 $P_1$ 作 $P_1 P_0$ 垂直平面 $\pi$ 于 $P_0$ 点, 则
$$
d=\left|\overrightarrow{P_0 P_1}\right|
$$
 ![图片](/uploads/2024-05/932ddd.jpg)
 设 $P_0$ 的坐标为 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$. 则
$$
\left|\overrightarrow{P_0 P_2}\right|=\left|\overrightarrow{P_0 P_1} \cdot \vec{n}_0\right|
$$

其中 $\vec{n}_0$ 是 $\pi$ 的单位法向量. 换用坐标表示, 即为
$$
\left|\overrightarrow{P_0 P_1}\right|=\frac{a\left(x_1-x_0\right)+b\left(y_1-y_0\right)+c\left(z_1-z_0\right)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
$$

因为 $P_0 \in \pi$, 所以
$$
a x_0+b y_0+c z_0+d=0
$$

其中: $d=-\left(a x_0+b y_0+c z_0\right)$, 代入上式, 得
$$
\begin{gathered}
\left|\overrightarrow{P_0 P_1}\right|=\frac{a x_1+b y_1+c z_1+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \\
d=\frac{\left|a x_1+b y_1+c z_1+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
\end{gathered}
$$

上例说明, 如果要求一点到一平面的距离, 只要把这一点的坐标代入平面方程. 取绝对值, 再除以系数向量的长度就可求出.

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【高等数学】空间直线方程及参数方程【高等数学】两平面相交方程

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