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空间的直线方程
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2024-05-17 15:31
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空间的直线方程
## 空间的直线方程 已知, 一定点 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 和一向量 $\vec{a}=\left(a_1, a_2, a_3\right)$, 求过 $P_0$ 且平行于向量 $\vec{a}$ 的直线方程. ![图片](/uploads/2024-05/2260ba.jpg) 设 $P(x, y, z)$ 是所求直线 $\ell$ 上一动点, 则存在一实数 $t$ 使 $$ \overrightarrow{P_0 P}=t \vec{a}, \quad \overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O P_0}+t \vec{a} $$ 换用坐标表示, 即为 $$ \left\{\begin{array}{l} x=x_0+a_1 t \\ y=y_0+a_2 t \\ z=z_0+a_3 t \end{array}\right. $$ (8.14) 式叫做直线 $\ell$ 的参数方程. $t$ 叫做参数.如果 $a_1, a_2, a_3$ 都不为零, 从 $(8.14)$ 式消去参数 $t$, 得 $$ \frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3} $$ (8.15) 式叫做 $\ell$ 的点、方向式方程又叫对称式方程. 其中 $\vec{a}=\left(a_1, a_2, a_3\right)$ 叫做 $\ell$ 的方向向量. 如果取 $\vec{a}$ 的单位向量 $$ \vec{a}_0=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma) $$ 作为方向向量, 则 $\ell$ 的方程为 $$ \frac{x-x_0}{\cos \alpha}=\frac{y-y_0}{\cos \beta}=\frac{z-z_0}{\cos \gamma} $$ $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 又叫做有向直线 $\ell$ 的方向余弦. 如果直线 $\ell$ 通过两点 $P_1\left(x_1, y_1, z_1\right), P_2\left(x_2, y_2, z_2\right)$, 则直线 $\ell$ 的方向向量可取 $$ \overrightarrow{P_1 P_2}=\left(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1\right) $$ 这时直线 $\ell$ 的方程可写为 $$ \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1} $$ 方程 $(8.16)$ 一般叫做直线的两点式方程. 例 8.10 求通过 $P_0(1,-1,2)$, 且和向量 $\vec{a}=(2,3,1)$ 平行的直线 $\ell$ 的方程. 解:由直线的对称式方程可得直线 $\ell$ 的方程为 $$ \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=z-2 $$ 例 8.11 求通过两个不同点 $P_1\left(x_1, y_1, z_1\right), P_2\left(x_2, y_2, z_2\right)$ 的直线的参数方程. 解:取直线 $P_1 P_2$ 的方向向量 $$ \overrightarrow{P_1 P_2}=\left(x_2-x_1, y_2-{ }_1, z_2-z_1\right) $$ 由直线的参数方程. 可得直线 $P_1 P_2$ 的参数方程为 $$ \left\{\begin{array}{l} x=x_1+\left(x_2-x_1\right) t \\ y=y_1+\left(y_2-y_1\right) t \\ z=z_1+\left(z_2-z_1\right) t \end{array}\right. $$ 例 8.12 已知 $P_1(5,0,1), P_2(5,6,4)$, 求直线 $P_1 P_2$ 的参数方程.解: 由例 8.11 , 可知直线 $P_1 P_2$ 的参数方程为 $$ \left\{\begin{array}{l} x=5 \\ y=6 t \\ z=1+3 t \end{array}\right. $$ 在例 8.12 中, 由于 $\overrightarrow{P_1 P_2}=(0,6,3)$, 其中 $x$ 坐标为零, 因此直线 $P_1 P_2$ 不能写为对称式方程, 但确能用参数方程来表达. 由此可看到, 直线的参数方程比较优越. ## 球面方程 空间一动点 $P(x, y, z)$ 在以 $A(a, b, c)$ 为球心, $R$ 为半径的球面上的充要条件是 $$ |\overrightarrow{O P}-\overrightarrow{O A}|=R $$ 或 $$ (\overrightarrow{O P}-\overrightarrow{O A}) \cdot(\overrightarrow{O P}-\overrightarrow{O A})=R^2 $$ 换用坐标表示, 条件可写为 $$ (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2 $$ 方程 (8.16) 就是以 $A(a, b, c)$ 为球心, 以 $R$ 为半径的球面方程. 当 $A$ 点在原点, 球面方程变为 $$ x^2+y^2+z^2=R^2 $$ ![图片](/uploads/2024-05/8bbe5b.jpg)
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