最后更新: 2025-02-09 09:40 查看: 176 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

空间的直线方程与球面方程

## 空间的直线方程
已知, 一定点 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 和一向量 $\vec{a}=\left(a_1, a_2, a_3\right)$, 求过 $P_0$ 且平行于向量 $\vec{a}$ 的直线方程.
 ![图片](/uploads/2024-05/2260ba.jpg)
 设 $P(x, y, z)$ 是所求直线 $\ell$ 上一动点, 则存在一实数 $t$ 使
$$
\overrightarrow{P_0 P}=t \vec{a}, \quad \overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O P_0}+t \vec{a}
$$

换用坐标表示, 即为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=x_0+a_1 t \\
y=y_0+a_2 t \\
z=z_0+a_3 t
\end{array}\right. ...(8.14)
$$
(8.14) 式叫做直线 $\ell$ 的参数方程. $t$ 叫做参数.如果 $a_1, a_2, a_3$ 都不为零, 从 $(8.14)$ 式消去参数 $t$, 得
$$
\frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}...(8.15)
$$
(8.15) 式叫做 $\ell$ 的点、方向式方程又叫对称式方程. 其中 $\vec{a}=\left(a_1, a_2, a_3\right)$ 叫做 $\ell$ 的方向向量. 如果取 $\vec{a}$ 的单位向量
$$
\vec{a}_0=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)
$$

作为方向向量, 则 $\ell$ 的方程为
$$
\frac{x-x_0}{\cos \alpha}=\frac{y-y_0}{\cos \beta}=\frac{z-z_0}{\cos \gamma}  ...(8.16)
$$
$\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 又叫做有向直线 $\ell$ 的方向余弦.
如果直线 $\ell$ 通过两点 $P_1\left(x_1, y_1, z_1\right), P_2\left(x_2, y_2, z_2\right)$, 则直线 $\ell$ 的方向向量可取
$$
\overrightarrow{P_1 P_2}=\left(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1\right)
$$

这时直线 $\ell$ 的方程可写为
$$
\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}
$$

方程 $(8.16)$ 一般叫做直线的两点式方程.

`例`求通过 $P_0(1,-1,2)$, 且和向量 $\vec{a}=(2,3,1)$ 平行的直线 $\ell$ 的方程.
解：由直线的对称式方程可得直线 $\ell$ 的方程为
$$
\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=z-2
$$

`例`求通过两个不同点 $P_1\left(x_1, y_1, z_1\right), P_2\left(x_2, y_2, z_2\right)$ 的直线的参数方程.
解：取直线 $P_1 P_2$ 的方向向量
$$
\overrightarrow{P_1 P_2}=\left(x_2-x_1, y_2-{ }_1, z_2-z_1\right)
$$

由直线的参数方程. 可得直线 $P_1 P_2$ 的参数方程为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=x_1+\left(x_2-x_1\right) t \\
y=y_1+\left(y_2-y_1\right) t \\
z=z_1+\left(z_2-z_1\right) t
\end{array}\right.
$$

`例`已知 $P_1(5,0,1), P_2(5,6,4)$, 求直线 $P_1 P_2$ 的参数方程.解: 由上例 , 可知直线 $P_1 P_2$ 的参数方程为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=5 \\
y=6 t \\
z=1+3 t
\end{array}\right.
$$

在上例中, 由于 $\overrightarrow{P_1 P_2}=(0,6,3)$, 其中 $x$ 坐标为零, 因此直线 $P_1 P_2$ 不能写为对称式方程, 但确能用参数方程来表达. 由此可看到, 直线的参数方程比较优越.

>注意：如果我们约定分母为零时，代表的分子为零，则上式仍然有意义，在[高等数学](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=361) 里会进一步说明。

## 球面方程
空间一动点 $P(x, y, z)$ 在以 $A(a, b, c)$ 为球心, $R$ 为半径的球面上的充要条件是
$$
|\overrightarrow{O P}-\overrightarrow{O A}|=R
$$

或
$$
(\overrightarrow{O P}-\overrightarrow{O A}) \cdot(\overrightarrow{O P}-\overrightarrow{O A})=R^2
$$

换用坐标表示, 条件可写为
$$
(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2
$$

方程 (8.16) 就是以 $A(a, b, c)$ 为球心, 以 $R$ 为半径的球面方程. 当 $A$ 点在原点, 球面方程变为
$$
x^2+y^2+z^2=R^2
$$
 ![图片](/uploads/2024-05/8bbe5b.jpg)

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