最后更新: 2025-02-09 09:40 查看: 251 次反馈同步训练

空间的直线方程与球面方程

## 空间的直线方程
已知, 一定点 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 和一向量 $\vec{a}=\left(a_1, a_2, a_3\right)$, 求过 $P_0$ 且平行于向量 $\vec{a}$ 的直线方程.
 ![图片](/uploads/2024-05/2260ba.jpg)
 设 $P(x, y, z)$ 是所求直线 $\ell$ 上一动点, 则存在一实数 $t$ 使
$$
\overrightarrow{P_0 P}=t \vec{a}, \quad \overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O P_0}+t \vec{a}
$$

换用坐标表示, 即为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=x_0+a_1 t \\
y=y_0+a_2 t \\
z=z_0+a_3 t
\end{array}\right. ...(8.14)
$$
(8.14) 式叫做直线 $\ell$ 的参数方程. $t$ 叫做参数.如果 $a_1, a_2, a_3$ 都不为零, 从 $(8.14)$ 式消去参数 $t$, 得
$$
\frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}...(8.15)
$$
(8.15) 式叫做 $\ell$ 的点、方向式方程又叫对称式方程. 其中 $\vec{a}=\left(a_1, a_2, a_3\right)$ 叫做 $\ell$ 的方向向量. 如果取 $\vec{a}$ 的单位向量
$$
\vec{a}_0=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)
$$

作为方向向量, 则 $\ell$ 的方程为
$$
\frac{x-x_0}{\cos \alpha}=\frac{y-y_0}{\cos \beta}=\frac{z-z_0}{\cos \gamma}  ...(8.16)
$$
$\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 又叫做有向直线 $\ell$ 的方向余弦.
如果直线 $\ell$ 通过两点 $P_1\left(x_1, y_1, z_1\right), P_2\left(x_2, y_2, z_2\right)$, 则直线 $\ell$ 的方向向量可取
$$
\overrightarrow{P_1 P_2}=\left(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1\right)
$$

这时直线 $\ell$ 的方程可写为
$$
\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}
$$

方程 $(8.16)$ 一般叫做直线的两点式方程.

`例`求通过 $P_0(1,-1,2)$, 且和向量 $\vec{a}=(2,3,1)$ 平行的直线 $\ell$ 的方程.
解：由直线的对称式方程可得直线 $\ell$ 的方程为
$$
\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=z-2
$$

`例`求通过两个不同点 $

其他版本
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