最后更新: 2025-02-08 15:52 查看: 194 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

已知经纬度求球面上两点间的距离

## Haversine公式
在[球体](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=185) 一节介绍了可以利用圆的弧计算两点间距离，但是地区并不是正圆，而是一个椭圆，因此使用他计算会差生误差。
Haversine公式是一种在球面三角学中用于计算两个地理坐标（经纬度）之间最短距离（大圆距离）的数学公式。它考虑了地球的球形形状，因此能够比简单的欧几里得距离计算提供更准确的结果。这个公式考虑了地球的曲率，能够比较准确地计算两点间的最短距离（大圆距离）。 
 ![图片](/uploads/2024-11/6f2418.svg){width=200px}

假设我们有两点P和Q，它们的经纬度分别是(lat1, lon1)和(lat2, lon2)。以下是使用Haversine公式计算两点间距离的步骤：

1. **将经纬度转换为弧度**：
   因为Haversine公式使用的是弧度制，所以我们需要将经纬度从度数转换为弧度。
   $ \text{lat1\_rad} = \text{lat1} \times \frac{\pi}{180} $
   $ \text{lon1\_rad} = \text{lon1} \times \frac{\pi}{180} $
   $ \text{lat2\_rad} = \text{lat2} \times \frac{\pi}{180} $
   $ \text{lon2\_rad} = \text{lon2} \times \frac{\pi}{180} $

2. **计算两点间的角度差**：
   $ \Delta \text{lat} = \text{lat2\_rad} - \text{lat1\_rad} $
   $ \Delta \text{lon} = \text{lon2\_rad} - \text{lon1\_rad} $

3. **计算Haversine公式中的a**：
   $ a = \sin^2\left(\frac{\Delta \text{lat}}{2}\right) + \cos(\text{lat1\_rad}) \cdot \cos(\text{lat2\_rad}) \cdot \sin^2\left(\frac{\Delta \text{lon}}{2}\right) $

4. **计算c**：
   $ c = 2 \cdot \text{atan2}\left(\sqrt{a}, \sqrt{1-a}\right) $

5. **计算地球半径R**（通常使用平均值6371公里或3959英里）：
   $ R = 6371 $ （单位：公里）

6. **计算两点间的距离d**：
   $ d = R \cdot c $

这样，我们就得到了两点间的距离d。

### 示例计算

假设点P的经纬度是(34.0522, -118.2437)（洛杉矶），点Q的经纬度是(40.7128, -74.0060)（纽约）。

1. 将经纬度转换为弧度：
   $ \text{lat1\_rad} = 34.0522 \times \frac{\pi}{180} \approx 0.5944 $
   $ \text{lon1\_rad} = -118.2437 \times \frac{\pi}{180} \approx -2.0636 $
   $ \text{lat2\_rad} = 40.7128 \times \frac{\pi}{180} \approx 0.7078 $
   $ \text{lon2\_rad} = -74.0060 \times \frac{\pi}{180} \approx -1.2904 $

2. 计算角度差：
   $ \Delta \text{lat} = 0.7078 - 0.5944 \approx 0.1134 $
   $ \Delta \text{lon} = -1.2904 - (-2.0636) \approx 0.7732 $

3. 计算a：
   $ a = \sin^2\left(\frac{0.1134}{2}\right) + \cos(0.5944) \cdot \cos(0.7078) \cdot \sin^2\left(\frac{0.7732}{2}\right) \approx 0.0087 $

4. 计算c：
   $ c = 2 \cdot \text{atan2}\left(\sqrt{0.0087}, \sqrt{1-0.0087}\right) \approx 0.1763 $

5. 使用地球半径R：
   $ R = 6371 $

6. 计算距离d：
   $ d = 6371 \cdot 0.1763 \approx 1122 $ 公里

所以，洛杉矶和纽约之间的距离大约是1122公里。

## 附近的人
在现代手机软件里，“附件的人”功能使用极其常见，这种基于位置基础服务LBS（Location-Based Services）软件，如何实现附近的人呢？
基本思路：
1.以 “我” 为中心，搜索附近的用户
2.以 “我” 当前的地理位置为准，计算出别人和 “我” 之间的距离
3.按 “我” 与别人距离的远近排序，筛选出离我最近的用户或者商店等
 ![图片](/uploads/2024-11/fc803d.jpg){width=500px}
 
 只要知道“我的经纬度”和“他的经纬度” 就可以算出“我们”之间的距离，在求距离时，再给出一个限制（例如距离超过2km的“他”舍去），然后把距离从小到大排序，即可获得“附近的人”
 
 但是，从Haversine公式可以看出，利用经纬度实时计算附近的人的**计算量非常大**，为此，人们想到的对地球进行切片。
 
 我们把地球想象为一个西瓜，使用横向和竖向平面进行切割地球，这样地球会被切成一个个小块。然后给地球小块编号，0,1,2,3...
  ![图片](/uploads/2024-11/f16324.jpg){width=300px}
 这样，原来地球上每一点的经纬度都会被映射为“地球小块”。
 
 同时，在附近的人里，使用圆的外接正方形替代圆，这样，原本附近的人，要进行海量计算，经过“映射”后，要计算附近的人变成只要进行坐标上两点的加减即可，性能大幅度提升。
 
  ![图片](/uploads/2024-11/f5be3b.jpg)

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