最后更新: 2025-02-09 08:32 查看: 113 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

祖暅原理

## 体积的定义
表示空间几何体的内部大小的量叫做空间几何体的体积。

同度量长度，面积一样，要度量一个几何体的体积，先要选取一个体积单位作为度量的标准，我们约定取长，宽，高均为**一个单位长度**的正方体作为体积单位．度量几何体体积的大小，实际上就是求出这个几何体包含多少个体积单位，也就是这个几何体所含单位体积的量数，这个量数是个正实数．它具有下列基本性质：

**性质1**：全等的几何体的体积是相等的．

**性质2:** 如果把几何体分成几个部分，它们都是较小的几何体，那么整个几何体的体积等于各部分体积的和。

**推论**
若几何体 $A$ 含于几何体 $B$ 的内部，则 $A$ 的体积 $V(A)$ 小于 $B$ 的体积 $V(B)$ ，即 $V(A)<V(B)$ ．

证明：把 $B$ 分成 $A$ 和 $C$ 两部分，根据基本性质 2 ，有

$$
V(B)=V(A)+V(C)
$$

$$
\begin{array}{ll}
\because & V(C)>0 \\
\therefore & V(B)>V(A)
\end{array}
$$

**性质3** 夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积必相等．

![图片](/uploads/2025-02/39b018.jpg)
 
 ### 祖暅(gèng)原理 
 
例如像图 2.63 那样把一些薄全等圆片或长方形纸片叠积起来，如果挪动
它们的位置，可以推测出上述性质 3 的正确性．

![图片](/uploads/2024-11/95c1b5.jpg)
 
我国古数学家祖暅早在公元五世纪，便提出了此结论, 他说：“缘幂势既同则积不容异”．并首先应用这个原理推得球体积的计算公式．因而我们把此性质叫做祖暅原理。

**定理：长方体的体积等于它的长，宽，高的积．即$V_{\text {长方体 }}=a b c$**

证明：
1．当 $a, ~ b, ~ c$ 都是整数时，每个棱被分成整数个单位线段 $u$ ，过各分点作平行于长方体侧面与底面的平面，我们恰好得到 $a b c$ 个棱长为 $1 u$ 的正方体，它们恰好把长方体的内部充满，根据体积的基本性质 1 和 2 ，长方体的体积

$$
V_{\text {长方体 }}=a b c(u)^3
$$

2．当 $a, ~ b, ~ c$ 都是分数时，将 $a, ~ b, ~ c$ 通分，得到

$$
a=\frac{A}{n}(u), \quad b=\frac{B}{n}(u), \quad c=\frac{C}{n}(u)
$$

选取新的长度单位 $u^{\prime}$ 等于原来长度单位的 $\frac{1}{n}$ ，即： $1 u^{\prime}=\frac{1}{n} u$ ．在这种情况下，取棱长为新的单位长度 $1 u^{\prime}$ 的正方体为新的体积单位．于是，根据情形 1 ，原来的体积单位 $1(u)^3=n^3\left(u^{\prime}\right)^3$ 或 $1\left(u^{\prime}\right)^3=\frac{1}{n^3}(u)^3$ ．
在取新的长度单位 $u^{\prime}$ 的情况下，长方体的长，宽，高分别等于 $A\left(u^{\prime}\right)$ ， $B\left(u^{\prime}\right), ~ C\left(u^{\prime}\right)$ ，这里 $A, ~ B, ~ C$ 都是整数，根据情形 1 ，所求长方体的体积等于 $A \cdot B \cdot C\left(u^{\prime}\right)^3$ ．
又 $\because \quad 1\left(u^{\prime}\right)^3=\frac{1}{n^3}(u)^3$ 。
$\therefore \quad V_{\text {长方体 }}=A \cdot B \cdot C\left(u^{\prime}\right)^3=A \cdot B \cdot C \frac{1}{n^3}(u)^3=\frac{A}{n} \cdot \frac{B}{n} \cdot \frac{C}{n}(u)^3=a b c(u)^3$

3．当 $a, ~ b, ~ c$ 为无理数时，（其中某个也可以是有理数）
要证明这个定理仍成立，我们要用逼近原理，每个无理数都能被有理数逼近．例如 $\sqrt{2}$ 用普通开方法可以求到它的任何一位小数，比如，$\sqrt{2}=$ $1.414236 \cdots$
我们可设：

$$
\begin{array}{llll}
a_1^{\prime}=1.4, & a_2^{\prime}=1.41, & a_3^{\prime}=1.414 \cdots, & a_n^{\prime} \ldots \\
a_1^{\prime \prime}=1.5, & a_2^{\prime \prime}=1.42, & a_3^{\prime \prime}=1.415 \cdots, & a_n^{\prime \prime} \ldots
\end{array}
$$

使得 $a_n^{\prime}<\sqrt{2}<a_n^{\prime \prime}$ ，且 $a_n^{\prime \prime}-a_n^{\prime}=\frac{1}{10^n} \rightarrow 0$
这就是说 $\sqrt{2}$ 被数列 $\left\{a_n^{\prime}\right\}$ 和 $\left\{a_n^{\prime \prime}\right\}$ 左，右夹逼唯一确定。
一般地说，任何一个无理数也都可以用有限小数的无穷数列左，右夹逼。即

$$
a_1^{\prime} \leq a_2^{\prime} \leq \cdots \leq a_n^{\prime} \leq \cdots<a<\cdots \leq a_n^{\prime \prime} \leq \cdots \leq a_2^{\prime \prime} \leq a_1^{\prime \prime}
$$

当 $a_n^{\prime \prime}-a_n^{\prime}=\frac{1}{10^n} \rightarrow 0$ 唯一确定．

于是，若 $a, ~ b, ~ c$ 都是无理数，我们有

$$
\begin{array}{ll}
a_n^{\prime}<a<a_n^{\prime \prime}, & a_n^{\prime \prime}-a_n^{\prime}=\frac{1}{10^n} \rightarrow 0 \\
b_n^{\prime}<b<b_n^{\prime \prime}, & b_n^{\prime \prime}-b_n^{\prime}=\frac{1}{10^n} \rightarrow 0 \\
c_n^{\prime}<c<c_n^{\prime \prime}, & c_n^{\prime \prime}-c_n^{\prime}=\frac{1}{10^n} \rightarrow 0
\end{array}
$$

这里的 $a_n^{\prime}, b_n^{\prime}, c_n^{\prime} ; a_n^{\prime \prime}, b_n^{\prime \prime}, c_n^{\prime \prime}$ 都是有理数．
作辅助长方体如图 2.64 所示，使 $O A^{\prime}=a_n^{\prime}(u), O B^{\prime}=b_n^{\prime}(u), O C^{\prime}=c_n^{\prime}(u)$和另一长方体，使 $O A^{\prime \prime}=a_n^{\prime \prime}(u), O B^{\prime \prime}=b_n^{\prime \prime}(u), O C^{\prime \prime}=c_n^{\prime \prime}(u)$ ．
$\because a_n^{\prime}, b_n^{\prime}, c_n^{\prime} ; a_n^{\prime \prime}, b_n^{\prime \prime}, c_n^{\prime \prime}$ 都是有理数，对于辅助长方体体积，根据情形 2 ，得到

$$
V_n^{\prime}=a_n^{\prime} b_n^{\prime} c_n^{\prime}, \quad V_n^{\prime \prime}=a_n^{\prime \prime} b_n^{\prime \prime} c_n^{\prime \prime}
$$

再由体积的基本性质 2 的推论，得到

$$
a_n^{\prime} b_n^{\prime} c_n^{\prime}=V_n^{\prime}<V<V_n^{\prime \prime}=a_n^{\prime \prime} b_n^{\prime \prime} c_n^{\prime \prime}
$$

根据

$$
a_n^{\prime \prime}-a_n^{\prime}=\frac{1}{10^n} \rightarrow 0, \quad b_n^{\prime \prime}-b_n^{\prime}=\frac{1}{10^n} \rightarrow 0, \quad c_n^{\prime \prime}-c_n^{\prime}=\frac{1}{10^n} \rightarrow 0
$$

![图片](/uploads/2025-02/eea25f.jpg)
 
 不难证明：$a_n^{\prime \prime} b_n^{\prime \prime} c_n^{\prime \prime}-a_n^{\prime} b_n^{\prime} c_n^{\prime}$ 可以小到任意小．事实上，

$$
\begin{aligned}
a_n^{\prime \prime} b_n^{\prime \prime} c_n^{\prime \prime}-a_n^{\prime} b_n^{\prime} c_n^{\prime} & =a_n^{\prime \prime} b_n^{\prime \prime} c_n^{\prime \prime}-a_n^{\prime} b_n^{\prime \prime} c_n^{\prime \prime}+a_n^{\prime} b_n^{\prime \prime} c_n^{\prime \prime}-a_n^{\prime} b_n^{\prime \prime} c_n^{\prime}+a_n^{\prime} b_n^{\prime \prime} c_n^{\prime}-a_n^{\prime} b_n^{\prime} c_n^{\prime} \\
& =b_n^{\prime \prime} c_n^{\prime \prime}\left(a_n^{\prime \prime}-a_n^{\prime}\right)+a_n^{\prime} b_n^{\prime \prime}\left(c_n^{\prime \prime}-c_n^{\prime}\right)+a_n^{\prime} c_n^{\prime}\left(b_n^{\prime \prime}-b_n^{\prime}\right) \\
& <b_1^{\prime \prime} c_1^{\prime \prime} \frac{1}{10^n}+a_1^{\prime \prime} b_1^{\prime \prime} \frac{1}{10^n}+a_1^{\prime \prime} c_1^{\prime \prime} \frac{1}{10^n}
\end{aligned}
$$

设 $b_1^{\prime \prime} c_1^{\prime \prime}, ~ a_1^{\prime \prime} b_1^{\prime \prime}, ~ a_1^{\prime \prime} c_1^{\prime \prime}$ 这三个数中最大者为 $M$ ，于是

$$
a_n^{\prime \prime} b_n^{\prime \prime} c_n^{\prime \prime}-a_n^{\prime} b_n^{\prime} c_n^{\prime}<3 M\left(\frac{1}{10^n}\right) \rightarrow 0
$$

这就是说，当 $a, ~ b, ~ c$ 是无理数时，长方体的体积 $V$ 是数列 $V_n^{\prime}=a_n^{\prime} b_n^{\prime} c_n^{\prime}$和 $V_n^{\prime \prime}=a_n^{\prime \prime} b_n^{\prime \prime} c_n^{\prime \prime}, n=1,2,3, \ldots$ 所夹逼得到的数。
但是另一方面由不等式

$$
a_n^{\prime}<a<a_n^{\prime \prime}, \quad b_n^{\prime}<b<b_n^{\prime \prime}, \quad c_n^{\prime}<c<c_n^{\prime \prime}
$$

得到 $a_n^{\prime} b_n^{\prime} c_n^{\prime}<a b c<a_n^{\prime \prime} b_n^{\prime \prime} c_n^{\prime \prime}$ ，根据逼近原理知

$$
V_{\text {长方体 }}=a b c(u)^3
$$

由 1，2，3有

$$
V_{\text {长方体 }}=a b c
$$

## 推广
基于这一结论，我们来探讨几种简单几何体的体积．
计算长方体的体积需要知道长方体的高。我们把锥体（棱雉，圆雉）的顶点到底面的距离称为锥体的高．图 4．5－9 中的 $P O$ 即为棱雉 $P-A B C D$ 的高．台体（棱台，圆台）或柱体（棱柱，圆柱）的两底面之间的距离称为台体或柱体的高。图4．5－10中的 $O O^{\prime}$ 即为棱台 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 的高．
 ![图片](/uploads/2025-02/27b4b7.jpg)

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