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高中数学
第十三章:立体几何
等积原理(祖暅原理)
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2025-05-31 17:36
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等积原理(祖暅原理)
## 体积的定义 表示空间几何体的内部大小的量叫做空间几何体的体积。 同度量长度,面积一样,要度量一个几何体的体积,先要选取一个体积单位作为度量的标准,我们约定取长,宽,高均为**一个单位长度**的正方体作为体积单位.度量几何体体积的大小,实际上就是求出这个几何体包含多少个体积单位,也就是这个几何体所含单位体积的量数,这个量数是个正实数.它具有下列基本性质: **性质1**:全等的几何体的体积是相等的. **性质2:** 如果把几何体分成几个部分,它们都是较小的几何体,那么整个几何体的体积等于各部分体积的和。 **推论** 若几何体 $A$ 含于几何体 $B$ 的内部,则 $A$ 的体积 $V(A)$ 小于 $B$ 的体积 $V(B)$ ,即 $V(A)<V(B)$ . 证明:把 $B$ 分成 $A$ 和 $C$ 两部分,根据基本性质 2 ,有 $$ V(B)=V(A)+V(C) $$ $$ \begin{array}{ll} \because & V(C)>0 \\ \therefore & V(B)>V(A) \end{array} $$ **性质3** 夹在两个平行平面间的几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得的两个截面面积总相等,那么这两个几何体的体积必相等.  ### 祖暅(gèng)原理 例如像图 2.63 那样把一些薄全等圆片或长方形纸片叠积起来,如果挪动 它们的位置,可以推测出上述性质 3 的正确性.  我国古数学家祖暅早在公元五世纪,便提出了此结论, 他说:“缘幂势既同则积不容异”.并首先应用这个原理推得球体积的计算公式.因而我们把此性质叫做祖暅原理。 **定理:长方体的体积等于它的长,宽,高的积.即$V_{\text {长方体 }}=a b c$** 证明: 1.当 $a, ~ b, ~ c$ 都是整数时,每个棱被分成整数个单位线段 $u$ ,过各分点作平行于长方体侧面与底面的平面,我们恰好得到 $a b c$ 个棱长为 $1 u$ 的正方体,它们恰好把长方体的内部充满,根据体积的基本性质 1 和 2 ,长方体的体积 $$ V_{\text {长方体 }}=a b c(u)^3 $$ 2.当 $a, ~ b, ~ c$ 都是分数时,将 $a, ~ b, ~ c$ 通分,得到 $$ a=\frac{A}{n}(u), \quad b=\frac{B}{n}(u), \quad c=\frac{C}{n}(u) $$ 选取新的长度单位 $u^{\prime}$ 等于原来长度单位的 $\frac{1}{n}$ ,即: $1 u^{\prime}=\frac{1}{n} u$ .在这种情况下,取棱长为新的单位长度 $1 u^{\prime}$ 的正方体为新的体积单位.于是,根据情形 1 ,原来的体积单位 $1(u)^3=n^3\left(u^{\prime}\right)^3$ 或 $1\left(u^{\prime}\right)^3=\frac{1}{n^3}(u)^3$ . 在取新的长度单位 $u^{\prime}$ 的情况下,长方体的长,宽,高分别等于 $A\left(u^{\prime}\right)$ , $B\left(u^{\prime}\right), ~ C\left(u^{\prime}\right)$ ,这里 $A, ~ B, ~ C$ 都是整数,根据情形 1 ,所求长方体的体积等于 $A \cdot B \cdot C\left(u^{\prime}\right)^3$ . 又 $\because \quad 1\left(u^{\prime}\right)^3=\frac{1}{n^3}(u)^3$ 。 $\therefore \quad V_{\text {长方体 }}=A \cdot B \cdot C\left(u^{\prime}\right)^3=A \cdot B \cdot C \frac{1}{n^3}(u)^3=\frac{A}{n} \cdot \frac{B}{n} \cdot \frac{C}{n}(u)^3=a b c(u)^3$ 3.当 $a, ~ b, ~ c$ 为无理数时,(其中某个也可以是有理数) 要证明这个定理仍成立,我们要用逼近原理,每个无理数都能被有理数逼近.例如 $\sqrt{2}$ 用普通开方法可以求到它的任何一位小数,比如,$\sqrt{2}=$ $1.414236 \cdots$ 我们可设: $$ \begin{array}{llll} a_1^{\prime}=1.4, & a_2^{\prime}=1.41, & a_3^{\prime}=1.414 \cdots, & a_n^{\prime} \ldots \\ a_1^{\prime \prime}=1.5, & a_2^{\prime \prime}=1.42, & a_3^{\prime \prime}=1.415 \cdots, & a_n^{\prime \prime} \ldots \end{array} $$ 使得 $a_n^{\prime}<\sqrt{2}<a_n^{\prime \prime}$ ,且 $a_n^{\prime \prime}-a_n^{\prime}=\frac{1}{10^n} \rightarrow 0$ 这就是说 $\sqrt{2}$ 被数列 $\left\{a_n^{\prime}\right\}$ 和 $\left\{a_n^{\prime \prime}\right\}$ 左,右夹逼唯一确定。 一般地说,任何一个无理数也都可以用有限小数的无穷数列左,右夹逼。即 $$ a_1^{\prime} \leq a_2^{\prime} \leq \cdots \leq a_n^{\prime} \leq \cdots<a<\cdots \leq a_n^{\prime \prime} \leq \cdots \leq a_2^{\prime \prime} \leq a_1^{\prime \prime} $$ 当 $a_n^{\prime \prime}-a_n^{\prime}=\frac{1}{10^n} \rightarrow 0$ 唯一确定. 于是,若 $a, ~ b, ~ c$ 都是无理数,我们有 $$ \begin{array}{ll} a_n^{\prime}<a<a_n^{\prime \prime}, & a_n^{\prime \prime}-a_n^{\prime}=\frac{1}{10^n} \rightarrow 0 \\ b_n^{\prime}<b<b_n^{\prime \prime}, & b_n^{\prime \prime}-b_n^{\prime}=\frac{1}{10^n} \rightarrow 0 \\ c_n^{\prime}<c<c_n^{\prime \prime}, & c_n^{\prime \prime}-c_n^{\prime}=\frac{1}{10^n} \rightarrow 0 \end{array} $$ 这里的 $a_n^{\prime}, b_n^{\prime}, c_n^{\prime} ; a_n^{\prime \prime}, b_n^{\prime \prime}, c_n^{\prime \prime}$ 都是有理数. 作辅助长方体如图 2.64 所示,使 $O A^{\prime}=a_n^{\prime}(u), O B^{\prime}=b_n^{\prime}(u), O C^{\prime}=c_n^{\prime}(u)$和另一长方体,使 $O A^{\prime \prime}=a_n^{\prime \prime}(u), O B^{\prime \prime}=b_n^{\prime \prime}(u), O C^{\prime \prim
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