最后更新: 2025-05-31 17:36 查看: 225 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

等积原理(祖暅原理)

## 体积的定义
表示空间几何体的内部大小的量叫做空间几何体的体积。

同度量长度，面积一样，要度量一个几何体的体积，先要选取一个体积单位作为度量的标准，我们约定取长，宽，高均为**一个单位长度**的正方体作为体积单位．度量几何体体积的大小，实际上就是求出这个几何体包含多少个体积单位，也就是这个几何体所含单位体积的量数，这个量数是个正实数．它具有下列基本性质：

**性质1**：全等的几何体的体积是相等的．

**性质2:** 如果把几何体分成几个部分，它们都是较小的几何体，那么整个几何体的体积等于各部分体积的和。

**推论**
若几何体 $A$ 含于几何体 $B$ 的内部，则 $A$ 的体积 $V(A)$ 小于 $B$ 的体积 $V(B)$ ，即 $V(A)<V(B)$ ．

证明：把 $B$ 分成 $A$ 和 $C$ 两部分，根据基本性质 2 ，有

$$
V(B)=V(A)+V(C)
$$

$$
\begin{array}{ll}
\because & V(C)>0 \\
\therefore & V(B)>V(A)
\end{array}
$$

**性质3** 夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积必相等．

![图片](/uploads/2025-02/39b018.jpg)
 
 ### 祖暅(gèng)原理 
 
例如像图 2.63 那样把一些薄全等圆片或长方形纸片叠积起来，如果挪动
它们的位置，可以推测出上述性质 3 的正确性．

![图片](/uploads/2024-11/95c1b5.jpg)
 
我国古数学家祖暅早在公元五世纪，便提出了此结论, 他说：“缘幂势既同则积不容异”．并首先应用这个原理推得球体积的计算公式．因而我们把此性质叫做祖暅原理。

**定理：长方体的体积等于它的长，宽，高的积．即$V_{\text {长方体 }}=a b c$**

证明：
1．当 $a, ~ b, ~ c$ 都是整数时，每个棱被分成整数个单位线段 $u$ ，过各分点作平行于长方体侧面与底面的平面，我们恰好得到 $a b c$ 个棱长为 $1 u$ 的正方体，它们恰好把长方体的内部充满，根据体积的基本性质 1 和 2 ，长方体的体积

$$
V_{\text {长方体 }}=a b c(u)^3
$$

2．当 $a, ~ b, ~ c$ 都是分数时，将 $a, ~ b, ~ c$ 通分，得到

$$
a=\frac{A}{n}(u), \quad b=\frac{B}{n}(u), \quad c=\frac{C}{n}(u)
$$

选取新的长度单位 $u^{\prime}$ 等于原来长度单位的 $\frac{1}{n}$ ，即： $1 u^{\prime}=\frac{1}{n} u$ ．在这种情况下，取棱长为新的单位长度 $1 u^{\prime}$ 的正方体为新的体积单位．于是，根据情形 1 ，原来的体积单位 $1(u)^3=n^3\left(u^{\prime}\right)^3$ 或 $1\left(u^{\prime}\right)^3=\frac{1}{n^3}(u)^3$ ．
在取新的长度单位 $u^{\prime}$ 的情况下，长方体的长，宽，高分别等于 $A\left(u^{\prime}\right)$ ， $B\left(u^{\prime}\right), ~ C\left(u^{\prime}\right)$ ，这里 $A, ~ B, ~ C$ 都是整数，根据情形 1 ，所求长方体的体积等于 $A \cdot B \cdot C\left(u^{\prime}\right)^3$ ．
又 $\because \quad 1\left(u^{\prime}\right)^3=\frac{1}{n^3}(u)^3$ 。
$\therefore \quad V_{\text {长方体 }}=A \cdot B \cdot C\left(u^{\prime}\right)^3=A \cdot B \cdot C \frac{1}{n^3}(u)^3=\frac{A}{n} \cdot \frac{B}{n} \cdot \frac{C}{n}(u)^3=a b c(u)^3$

3．当 $a, ~ b, ~ c$ 为无理数时，（其中某个也可以是有理数）
要证明这

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