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立体几何
柱、锥、台、球的全面积和部分面积
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2024-05-17 16:08
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柱、锥、台、球的全面积和部分面积
## 一、棱柱和圆柱的侧面积和全面积 定义 如果平面和棱柱的所有侧棱都相交且垂直,这样所得的截面叫做棱柱的 直截面.(如图 2.42 的截面 F GLMN) ![图片](/uploads/2024-05/0d2a4d.jpg) 斜棱柱有时需要延长某些侧棱,以使和截棱柱的平面相交,得到直截面. 定理 棱柱的侧面积等于侧棱长和直截面周长的乘积 证明: 如图 2.42, 设棱柱为 $A C_1$, 它的直截面为 $F G L \cdots N$, 因为棱柱的各个侧面都是平行四边形, 它的侧棱和截面的各边都垂直, 如果设 $\ell$ 是棱柱 $A C_1$ 的 $$ \begin{aligned} S_{\text {校栍侧 }} & =\ell \cdot F G+\ell \cdot G L+\cdots+\ell \cdot N F \\ & =\ell(F G+G L+\cdots+N F)=\ell \cdot p \end{aligned} $$ 其中: $p$ 是直截面周长. 棱柱的侧面积也可以从它的表面展开图得出, 图 2.43 是斜棱柱与直棱柱的侧面展开图. 直棱柱的侧面展开图是矩形, (图 2.43(2)) 这个矩形的长为直棱柱底面周长 $p$, 宽等于直棱柱的高 $h$. 斜棱柱的侧面展开图如图 2.43(1) 所示, 将直线 $F G \cdots F$ (即直截面周长展开所在的直线) 下方的部分图形向上平移, 使 $A B$ 与 $A_1 B_1, B C$ 与 $B_1 C_1$, $E A$ 与 $E_1 A_1$ 分别重合, 便拼得一个矩形. 这个矩形的长为棱柱直截面的周长,它的宽等于斜棱柱的侧棱, 因此矩形的面积就是斜棱柱的面积. ![图片](/uploads/2024-05/74bc0f.jpg) 圆柱的侧面积,计算公式同样可由它的表面展开图得出.圆柱的侧面展开 图是一个矩形,(图 2.44)这个矩形的长是圆柱底面圆的周长,宽是圆柱侧面 的母线长(即高).因此我们可以得到计算圆柱侧面积的下述定理 ![图片](/uploads/2024-05/7f4b39.jpg) 定理 如果圆柱底面半径是 $R$, 周长是 $C$, 侧面母线长是 $\ell$, 那么它的侧面积计算公式是: $$ S_{\text {圆杜侧 }}=C \cdot \ell=2 \pi R \ell $$ 推论 圆柱的全面积等于它的侧面积与两底面积的和, 即 $$ S_{\text {圆杜全 }}=S_{\text {圆杜侧 }}+2 S_{\text {底 }} $$ 其中, $S_{\text {底 }}$ 表示圆柱底面的面积. 例 2.15 一正棱柱的对角线长是 $9 \mathrm{~cm}$, 全面积是 $144 \mathrm{~cm}^2$, 求这棱柱底面的边长和侧棱的长. (图 2.45) 解: 设棱柱底面边长是 $x \mathrm{~cm}$, 侧棱长为 $y \mathrm{~cm}$, 根据已知条件, 有 $$ \left\{\begin{array}{l} 2 x^2+y^2=9 \\ 4 x y+2 x^2=144 \end{array}\right. $$ $(2.6)+(2.7)$, 得 $$ 4 x^2+4 x y+y^2=152 $$ 即: $(2 x+y)^2=152$ 两边开方, 得 $$ 2 x+y=15 $$ (2.7) 的两边除以 2 , 有 $$ 2 x y+x^2=72 $$ $(2.6)-(2.8)$, 有 $$ x^2-2 x y+y^2=9 $$ 即 $(x-y)^2=9$, 两边开方, 得 $x-y= \pm 3$ $$ \left\{\begin{array}{l} 2 x+y=15 \\ x-y=3 \end{array}, \quad\left\{\begin{array}{l} 2 x+y=15 \\ x-y=-3 \end{array}\right.\right. $$ 解得: $$ \left\{\begin{array}{l} x=6 \\ y=3 \end{array}, \quad\left\{\begin{array}{l} x=4 \\ y=7 \end{array}\right.\right. $$ 答: 棱柱底面边长为 $6 \mathrm{~cm}$, 侧棱为 $3 \mathrm{~cm}$, 或底面边长为 $4 \mathrm{~cm}$, 侧棱为 $7 \mathrm{~cm}$. ![图片](/uploads/2024-05/878eb5.jpg) 例 2.16 斜三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 的底面是边长为 $a$ 的正三角形, 侧棱的长度为 $b$, 一条侧棱 $A A_1$ 和底面相邻两边 $A B 、 A C$ 都成 $45^{\circ}$ 角, 求这三棱柱的侧面积 (图 2.46) 解: 作 $B D \perp A_1 A$ 于 $D$ ( $D$ 点也可能在 $A A_1$ 的延长线上) 连结 $D C$. $\because \triangle A B C$ 是正三角形, $\therefore A B=A C=B C=a$ 又 $\because \quad \angle A_1 A B=\angle A_1 A C=45^{\circ}, A D=A D$ $\therefore \triangle A D B \cong \triangle A D C$ $\therefore \quad \angle A D C=\angle A D B=90^{\circ}$ $\therefore A_1 A \perp$ 平面 $B C D$ $\therefore \triangle B C D$ 为棱柱的直截面. $\because \quad B D=D C=\frac{\sqrt{2}}{2} a$ $\therefore \triangle B C D$ 的周长 $p=2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} a+a=(\sqrt{2}+1) a$ $\because \quad$ 棱柱的侧棱为 $b$, $\therefore \quad S_{\text {斜棱杜侧 }}=p \cdot b=(\sqrt{2}+1) a b$ 答: 斜棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 的侧面积为 $(\sqrt{2}+1) a b$. 问: 1. 当 $a, b$ 有什么关系时, $D$ 点与 $A_1$ 重合? $D$ 点落在 $A A_1$ 的延长线上? 2. 思考本题是否还有别的解法. 例 2.17 圆柱的轴截面的对角线为 $d$, 它与底面所成的角为 $\beta$, 1. 求圆柱的侧面积, 2. $\beta$ 为何值时, 圆柱的侧面积最大, 这个最大值是多少? 解:如图 2.47, 已知圆柱 $A A_1, B_1 A$ 是其轴截面的一条对角线. 因为 $B_1 A$ 与圆柱底面所成的角为 $\beta$, 而 $B_1 B$ 垂直底面, 所以 $\angle B_1 B A=90^{\circ}, \angle B_1 A B=\beta$,由 $A B_1=d$, $\therefore \quad B_1 B=d \sin \beta \quad$ 底面半径 $O B=\frac{1}{2} d \cos \beta$ $\therefore \quad$ 底面圆周长 $C=2 \pi \cdot \frac{d}{2} \cos \beta=\pi d \cos \beta$ $\therefore \quad B_1 B=d \sin \beta \quad$ 底面半径 $O B=\frac{1}{2} d \cos \beta$ $\therefore$ 底面圆周长 $C=2 \pi \cdot \frac{d}{2} \cos \beta=\pi d \cos \beta$ $$ \begin{aligned} S_{\text {圆杜側 }}=C \cdot B_1 B & =\pi d \cos \beta \cdot d \sin \beta \\ & =\pi d^2 \cos \beta \cdot \sin \beta=\frac{1}{2} \pi d^2 \sin 2 \beta \end{aligned} $$ ![图片](/uploads/2024-05/153fc7.jpg) 又 $\because|\sin 2 \beta| \leq 1$ $\therefore$ 当 $\sin 2 \beta=1$ 时, 即 $2 \beta=\frac{\pi}{2}, \beta=\frac{\pi}{4}$ 时, $S_{\text {圆杜侧 }}=\frac{1}{2} \pi d^2$ 最大. 答: 圆柱的侧面积为 $\frac{1}{2} \pi d^2 \sin 2 \beta$; 当 $\beta=\frac{\pi}{4}$ 时, 圆柱的侧面积最大, 这个最大值是 $\frac{1}{2} \pi d^2$.
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