最后更新: 2025-02-09 09:54 查看: 272 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

附录：正多面体只有五种

如果一个凸多面体所有的面都是全等的正多边形，并且在通过每一顶的
棱数相同，那么这样的凸多面体就叫正多面体．

## 正多面体只有五种

（1）正四面体
 ![图片](/uploads/2025-02/666549.jpg)
 
（2）正立方体
  ![图片](/uploads/2025-02/75cf8f.jpg)
  
（3）正八面体
 ![图片](/uploads/2025-02/dd058b.jpg)
 
（4）正十二面体
![图片](/uploads/2025-02/3718d1.jpg)
  
（5）正二十面体
 ![图片](/uploads/2025-02/6e3d3b.jpg)
 
 
 证明：设正多面体的各个面是正 $n$ 边形，而且通过每一个顶点有 $m$ 条棱，那么以正多面体每一个顶点为顶点的多面角中有 $m$ 个面角，由于每个面角是正多边形的一个内角．所以，它等于 $\frac{(n-2) \times 180^{\circ}}{n}$ ，那么 $m$ 个面角之和为：

$$
\frac{(n-2) \times 180^{\circ}}{n} \times m
$$

因为正多面体是凸多面体，故

$$
\frac{(n-2) \times 180^{\circ}}{n} \times m<360^{\circ}
$$

即：

$$
(n-2) m<2 n  ...(2.3)
$$

但因最小凸多面体为 4 面体，那么它的每个面必为三角形．所以，

$$
n \geq 3, \quad m \geq 3 ...(2.4)
$$

为了求出满足（2．3），（2．4）两式的正整数来，我们把（2．3）式变形为：

$$
(m-2)(n-2)<4
$$

那么 $(m-2)$ 和 $(n-2)$ 只能取值于 $3,2,1$ ．因此，$m, n$ 的值只限于下列五种．

![图片](/uploads/2025-02/a40096.jpg)
 
 
 
 `例`已知正六棱柱的侧面为正方形，底面边长为 $a$ ，求棱柱各对角面的面积 （图2．36）。
  ![图片](/uploads/2025-02/6c4620.jpg)

解：连结 $A C, ~ A D, ~ A_1 C_1, ~ A_1 D_1$ ．在正六边形 $A B C D E F$ 中，

$$
\begin{array}{ll}
\because & A B=B C=a, \quad \angle A B C=120^{\circ} \\
\therefore & A C=\sqrt{a^2+a^2-2 a \cdot a \cos 120^{\circ}}=\sqrt{3} a \\
\because & A C C_1 A_1 \text { 是正六棱柱的对角面, } \\
\therefore & A C C_1 A_1 \text { 是矩形. } \\
\therefore & S_{\text {矩形 } A C C_1 A_1}=A_1 A \cdot A C=a \cdot \sqrt{3} a=\sqrt{3} a^2
\end{array}
$$

同理，$A D D_1 A_1$ 是矩形

$$
\begin{aligned}
& \because \quad A D=2 a \\
& \therefore \quad S_{\text {矩形 } A D D_1 A_1}=A_1 A \cdot A D=a \cdot 2 a=2 a^2
\end{aligned}
$$

`例` 正三棱雉 $V-A B C$ 中的底面边长为 $a$ ，侧棱和底面的夹角为 $\alpha, D$ 为侧棱 $V A$ 上一点，截面 $D B C$ 与底面 $A B C$ 所成的角等于侧棱和高所成的角，求此截面面积（图 2．37）．
 ![图片](/uploads/2025-02/9847a0.jpg)
 解：设 $O$ 点为底面中心，则 $V O \perp$ 底面，取 $B C$ 边的中点 $M$ ，由于 $O$ 是正三角形 $A B C$ 的中心，所以 $O$ 点也是正 $\triangle A B C$ 的内心，重心和垂心．因此，$A$ ， $O, ~ M$ 三点共线
$\because V O \perp$ 底面于 $O$ 点，
$\therefore A O$ 为棱 $V A$ 在底面上的射影，
$\therefore \quad \angle V A O=\alpha$ ，
$\because \quad A M \perp B C$ 于 $M$ ．
$\therefore A V \perp B C \quad$（三垂线定理）
$\therefore B C \perp$ 截面 $A V M$
又 $\because$ 截面 $V A M \cap$ 截面 $B D C=D M$ ，
$\therefore D M \perp B C, \quad \angle A M D$ 为二面角 $D-B C-A$ 的平面角．
已知 $\angle A M D=\angle A V O=90^{\circ}-\alpha$ ，又在 $\triangle A D M$ 中，$\angle A D M=\left(90^{\circ}-\right.$ $\alpha)+\alpha=90^{\circ}$
$\therefore \triangle A D M$ 是直角三角形，
$\because A M=a \cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} a$
$\therefore \quad D M=A M \sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2} a \sin \alpha$
$\therefore$ 截面 $\triangle B D C$ 的面积 ${ }^2$

$$
S_{\triangle B D C}=\frac{1}{2} B C \cdot D M=\frac{1}{2} a \cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2} a \sin \alpha\right)=\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \sin \alpha
$$

答：截面 $\triangle B D C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \sin \alpha$

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