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高中数学
第十三章：立体几何
平面的法向量
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更新:
2024-11-18 10:59
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平面的法向量
## 平面的法向量 由直线上一点和直线的一个方向向量就可以确定一条直线的位置, 这启发我们也希望通过一个点和一个向量来确定一个平面的位置。 动手旋转一个圆盘陀螺 (如图2.4-3), 可以发现陀螺转动时, 圆盘平面时而水平, 时而倾斜, 在不断改变方向. 陀螺的轴也随圆盘平面在不断改变方向, 但始终与圆盘垂直.  我们可以用轴的方向来刻画陀螺圆盘平面的方向, 也就是用与平面垂直的向量 $n$ 来刻画圆盘平面的方向. 如果非零向量 $n$ 所在直线与平面 $\alpha$ 垂直，则称 $n$ 为平面 $\alpha$ 的法向量。 给定一点 $\Lambda$ 和一个向量 $n$, 那么, 过点 $\Lambda$, 且以向量 $n$ 为法向量的平面是完全确定的. 如何寻找平面的法向量 $n$ ? 由于两条相交直线可以确定一个平面，因而若一个向量 $\overrightarrow{O N}$ 垂直于平面 $\alpha$ 内的两条相交直线 $l_1, l_2$, 就可以确定 $\overrightarrow{O N}$ 是平面 $\alpha$ 的一个法向量, 如图 2.4-4.  一个平面的法向量有无穷多个. 由于垂直于同一平面的直线是平行的, 因而一个平面的所有法向量互相平行. `例` 如图 2.4-5, 已知正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中 $A, B, D, A_1$ 的坐标分别为 $A(0,0,0), B(a, 0,0)$, $D(0, a, 0), A_1(0,0, a)$. 分别求平面 $A B C D$ 与平面 $B D A_1$ 的一个法向量.  解 (1)由于 $z$ 轴垂直于平面 $A B C D$ ，而 $z$ 轴可用方
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