最后更新: 2024-11-18 10:59 查看: 195 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

平面的法向量

##  平面的法向量
由直线上一点和直线的一个方向向量就可以确定一条直线的位置, 这启发我们也希望通过一个点和一个向量来确定一个平面的位置。

动手旋转一个圆盘陀螺 (如图2.4-3), 可以发现陀螺转动时, 圆盘平面时而水平, 时而倾斜, 在不断改变方向. 陀螺的轴也随圆盘平面在不断改变方向, 但始终与圆盘垂直.
 ![图片](/uploads/2024-11/56d64b.jpg)
 
 我们可以用轴的方向来刻画陀螺圆盘平面的方向, 也就是用与平面垂直的向量 $n$ 来刻画圆盘平面的方向.

如果非零向量 $n$ 所在直线与平面 $\alpha$ 垂直，则称 $n$ 为平面 $\alpha$ 的法向量。
给定一点 $\Lambda$ 和一个向量 $n$, 那么, 过点 $\Lambda$, 且以向量 $n$ 为法向量的平面是完全确定的.

如何寻找平面的法向量 $n$ ?
由于两条相交直线可以确定一个平面，因而若一个向量 $\overrightarrow{O N}$ 垂直于平面 $\alpha$ 内的两条相交直线 $l_1, l_2$, 就可以确定 $\overrightarrow{O N}$ 是平面 $\alpha$ 的一个法向量, 如图 2.4-4.
 ![图片](/uploads/2024-11/8af841.jpg)
 
一个平面的法向量有无穷多个. 由于垂直于同一平面的直线是平行的, 因而一个平面的所有法向量互相平行.

`例` 如图 2.4-5, 已知正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中 $A, B, D, A_1$ 的坐标分别为 $A(0,0,0), B(a, 0,0)$, $D(0, a, 0), A_1(0,0, a)$. 分别求平面 $A B C D$ 与平面 $B D A_1$ 的一个法向量.
![图片](/uploads/2024-11/0a6c14.jpg)
解 (1)由于 $z$ 轴垂直于平面 $A B C D$ ，而 $z$ 轴可用方向向量 $\overrightarrow{A A_1}=(0,0, a)$ 表示, 因此 $(0,0, a)$ 是平面 $A B C D$ 的一个法向量.

(2)设 $n =(x, y, z)$ 是平面 $B D A_1$ 的法向量.
由已知得 $\overrightarrow{B D}=(-a, a, 0), \overrightarrow{B A_1}=(-a, 0, a)$,

根据向量的关系，[两向量垂直时点积为零](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1343)，可得

因而 $\left\{\begin{array}{l}(-a, a, 0) \cdot(x, y, z)=-a x+a y=0, \\ (-a, 0, a) \cdot(x, y, z)=-a x+a z=0 .\end{array}\right.$
取 $x=1$, 得 $y=z=1$,
则 $n =(1,1,1)$ 是平面 $B D A_1$ 的一个法向量.

上例中求平面 $B D A_1$ 的法向量时, 也可采用以下方法:
由 $0=-a+a=(-a, a, 0) \cdot(1,1, z)$ 
可凑出 $(1,1, z) \perp(-a, a, 0)$ ，
再由 $(-a, 0, a) \cdot(1,1, z)=-a+a z=0$ 
解出 $z=1$, 得到平面 $B D A_1$ 的一个法向量为 $(1,1,1)$ 。

直线的方向向量和平面的法向量为我们判定空间直线、平面之间的位置关系，以及计算直线、平面之间的距离、夹角等问题提供了有力工具.

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