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空间向量平行于夹角

## 空间单位向量
 
![图片](/uploads/2024-05/a85361.jpg)

如果沿 $X$ 轴、 $Y$ 轴、 $Z$ 轴的正方向分别引单位向量 $\vec{e}_x 、 \vec{e}_y 、 \vec{e}_z$ (图 8.3), 那么对空间任一向量 $\vec{a}$, 存在唯一的有序数组 $\left(a_x, a_y, a_z\right)$ 使
$$
\vec{a}=a_x \vec{e}_x+a_y \vec{e}_y+a_z \vec{e}_z
$$
$\left(a_x, a_y, a_z\right)$ 就叫做 $\vec{a}$ 在 $O X Y Z$ 中的坐标. 并简记作
$$
\vec{a}=\left(a_x, a_y, a_z\right)
$$

其中 $a$ 叫做 $\vec{a}$ 在 $X$ 轴上的坐标分量. $a_y$ 叫做 $\vec{a}$ 在 $Y$ 轴上的坐标分量. $a_z$ 叫做 $\vec{a}$ 在 $Z$ 轴上的坐标分量.

如果 $\vec{a}=a_x \vec{e}_x+a_y \vec{e}_y+a_z \vec{e}_z$, 那么分别对这个表示式两边对 $\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z$ 取内积运算, 就可得到
$$
\begin{aligned}
a_x & =\vec{e}_x \cdot \vec{a}=|\vec{a}| \cos \left\langle\vec{e}_x, \vec{a}\right\rangle \\
a_y & =\vec{e}_y \cdot \vec{a}=|\vec{a}| \cos \left\langle\vec{e}_y, \vec{a}\right\rangle \\
a_z & =\vec{e}_z \cdot \vec{a}=|\vec{a}| \cos \left\langle\vec{e}_z, \vec{a}\right\rangle
\end{aligned}
$$

如果 $\left\langle\vec{e}_x, \vec{a}\right\rangle=\alpha,\left\langle\vec{e}_y, \vec{a}\right\rangle=\beta,\left\langle\vec{e}_z, \vec{a}\right\rangle=\gamma$, 那么 $\alpha 、 \beta 、 \gamma$ 确定了 $\vec{a}$ 在空间中的方向. $\alpha 、 \beta 、 \gamma$ 叫做 $\vec{a}$ 的**方向角**, $\cos \alpha 、 \cos \beta 、 \cos \gamma$ 叫做 $\vec{a}$ 的**方向余弦**,于是 $\vec{a}$ 的单位向量
$$
\vec{a}_0=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)
$$

对空间任一点 $P$, 它被相对于 $O$ 点的位置向量所唯一确定 (图 8.4). 设
$$
\overrightarrow{O P}=x \vec{e}_x+y \vec{e}_y+z \vec{e}_z
$$
由上述点的坐标和向量坐标的定义, $\overrightarrow{O P}$ 的坐标 $(x, y, z)$ 也就是 $P$ 点的坐标;反之 $P$ 点的坐标也是 $\overrightarrow{O P}$ 的坐标. 由此可见, 给定了原点 $O$ 和三个互相垂直且构成右手系的单位向量 $\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z$, 坐标系 $O X Y Z$ 也就完全确定了. 因此, 坐标系 $O X Y Z$ 也可用 $\left[O: \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z\right]$ 来表示, $\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z$ 叫做 $O X Y Z$ 的基向量.
 ![图片](/uploads/2024-05/6079a1.jpg)
 已知 $A\left(x_1, y_1, z_1\right), B\left(x_2, y_2, z_2\right)$, 则:
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{A B} & =\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A} \\
& =x_2 \vec{e}_x+y_2 \vec{e}_y+z_2 \vec{e}_z-\left(x_1 \vec{e}_x+y_1 \vec{e}_y+z_1 \vec{e}_z\right) \\
& =\left(x_2-x_1\right) \vec{e}_x+\left(y_2-y_1\right) \vec{e}_y+\left(z_2-z_1\right) \vec{e}_z \\
& =\left(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1\right)
\end{aligned}
$$

这就是说一个向量的坐标, 等于表示它的有向线段终点的坐标减去起点的坐标.
例如, 已知 $A(2,-1,5) 、 B(3,2,-7)$, 则
$$
\overrightarrow{A B}=[3-2,2-(-1),-7-5]=(1,3,-12)
$$

##  空间解析几何的基本问题
**问题 1 求有向线段定比分点的坐标.**
已知 $P_1\left(x_1, y_1, z_1\right) 、 P_2\left(x_2, y_2, z_2\right)$, 如果 $P(x, y, z)$, 按定比 $\mu$ 分割 $\overrightarrow{P_1 P_2}$, 那么
$$
\overrightarrow{O P}=\frac{\overrightarrow{O P_1}+\mu \overrightarrow{O P_2}}{1+\mu}
$$

换用坐标表示, 即为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\frac{x_1+\mu x_2}{1+\mu} \\
y=\frac{y_1+\mu y_2}{1+\mu} \\
z=\frac{z_1+\mu z_2}{1+\mu}
\end{array}\right.
$$
(8.4) 式就是求 $\overrightarrow{P_1 P_2}$ 的定比分点坐标的计算公式. 当 $\mu=1$ 时, $P$ 点是 $\overline{P_1 P_2}$的中点, $P$ 点的坐标是
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\frac{x_1+x_2}{2} \\
y=\frac{y_1+y_2}{2} \\
z=\frac{z_1+z_2}{2}
\end{array}\right.
$$

公式 (8.5) 又叫做中点公式.
例 8.2 已知 $A(-1,2,2), B(-4,2,5)$, 点 $P$ 按定比 $\mu=2$ 分割 $\overrightarrow{A B}$, 求 $P(x, y, z)$.
解: 由于 $\mu=2$, 因此:
$$
\begin{aligned}
& x=\frac{-1+2 \times(-4)}{1+2}=-3 \\
& y=\frac{2+2 \times 2}{1+2}=2 \\
& z=\frac{2+2 \times 5}{1+2}=4
\end{aligned}
$$
即: $P(-3,2,4)$

**问题 2 求向量长度和两点间距离公式.**

若 $\vec{a}=\left(a_x, a_y, a_z\right)$, 则
$$
\begin{aligned}
|\vec{a}|^2 & =\vec{a} \cdot \vec{a}=a_x^2+a_y^2+a_z^2 \\
|\vec{a}| & =\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}
\end{aligned}
$$
(8.6) 式就是求向量 $\vec{a}$ 的长度的计算公式.
若 $A\left(x_1, y_1, z_1\right) 、 B\left(x_2, y_2, z_2\right)$, 则:
$$
|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}
$$
(8.7) 式就是求空间任意两点间的距离公式.

**问题 3 求一向量的方向余弦.**
若 $\vec{a}=\left(a_x, a_y, a_z\right), \alpha, \beta, \gamma$ 为 $\vec{a}$ 的方向角, 则:
$$
a_x=|\vec{a}| \cos \alpha, \quad a_y=|\vec{a}| \cos \beta, \quad a_z=|\vec{a}| \cos \gamma
$$

于是得:
$$
\left\{\begin{array}{l}
\cos \alpha=\frac{a_x}{|\vec{a}|}=\frac{a_x}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}} \\
\cos \beta=\frac{a_y}{|\vec{a}|}=\frac{a_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}} \\
\cos \gamma=\frac{a_z}{|\vec{a}|}=\frac{a_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}
\end{array}\right.
$$
(8.8) 式就是向量 $\vec{a}$ 的方向余弦的计算公式.
把 (8.7) 式两边平方加起来, 得
$$
\cos ^2 \alpha+\cos ^2 \beta+\cos ^2 \gamma=1
$$

这就是说, **任何一个向量的方向余弦的平方和恒等于 1.**
若 $\vec{a}=\left(a_x, a_y, a_z\right)$, 则 $\vec{a}$ 的单位向量
$$
\begin{aligned}
\vec{a}_0=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} & =\left(\frac{a_x}{|\vec{a}|}, \frac{a_y}{|\vec{a}|}, \frac{a_z}{|\vec{a}|}\right) \\
& =(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)
\end{aligned}
$$
这就是说, 空间任一向量的单位向量的坐标分量正好等于它的方向余弦.
例 8.3 求 $\vec{a}=(2,-3,1)$ 的方向余弦和它的单位向量 $\vec{a}_0$ 的坐标.
解： 由于: $|\vec{a}|=\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}=\sqrt{14}$
$$
\begin{gathered}
\therefore \quad \cos \alpha=\frac{2}{\sqrt{14}}, \quad \cos \beta=\frac{-3}{\sqrt{14}}, \quad \cos \gamma=\frac{1}{\sqrt{14}} \\
\vec{a}_0=\left(\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{-3}{\sqrt{14}}, \frac{1}{\sqrt{14}}\right)
\end{gathered}
$$

**问题 4 求两个向量的夹角.**

如果 $\vec{a}=\left(a_x, a_y, a_z\right), \vec{b}=\left(b_x, b_y, b_z\right)$, 那么
$$
\begin{aligned}
\cos \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle & =\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \\
& =\frac{a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2} \cdot \sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}
\end{aligned}
$$

公式 (8.9) 就是求向量夹角的计算公式.
例 8.4 已知 $\vec{a}=(1,1,0), \vec{b}=(1,0,1)$, 求 $\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle$.
解 :
$$
\begin{aligned}
& \qquad \cos \langle\vec{a} \cdot \vec{b}\rangle=\frac{1 \times 1+1 \times 0+0 \times 1}{\sqrt{1^2+1^2+0^2} \cdot \sqrt{1^2+1^2+0^2}}=\frac{1}{2} \\
& \therefore\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=\frac{\pi}{3}
\end{aligned}
$$

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