最后更新: 2025-11-16 09:56 查看: 285 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

空间向量

##  向量的概念

现实生活中有许多物理量只有大小、多少之分，如体积、质量、距离、时间等，因此只需用数字刻画这类量，处理这类量的规则也与实数的运算规则相当，称这类量为**纯量**或**标量**。然而，在客观世界中还存在另一类物理量，这类物理量不仅有大小之分，还有方向之异，如力、速度、加速度等，单纯用数字不足以描述它们。**人们把这类既有大小、又有方向的量称为向量**。

数学上用一条有方向的线段（即有向线段）来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。以 $M_1$ 为起点，$M_2$ 为终点的有向线段所表示的向量记为 $\overrightarrow{M_1 M_2}$ 。有时也用一个小写黑体字母或上面加有箭头的字母表示向量，如向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 或 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 等．

向量的大小称为向量的**模**或**长度**，也称为**向量的范数**．向量 $\overrightarrow{M_1 M_2}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 的模分别记作 $\left|\overrightarrow{M_1 M_2}\right|$ 与 $|\boldsymbol{a}|$ 。模等于 1 的向量称为**单位向量**，本书中记为 $e$ ．模等于 0 的向量称为**零向量**，并记作 $\mathbf{0}$ ，规定：零向量的方向是任意的．

在直角坐标系中，以坐标原点为起点，向点 $M$ 引向量，这个向量 $\overrightarrow{O M}$ 称为点 $M$ 对于原点 $O$ 的**向径**，常用 $r$ 表示．

在数学上，我们只研究自由向量，即**若两个有向线段的长度相等，方向相同，则不论它们的起点是否相同，我们就认为它们表示同一向量**．如果两个向量 $a, b$ 的大小相同，方向一致，则称向量 $a$ 与向量 $b$ 相等，并记作 $a=b$ ．

由于自由向量可在空间自由平移，因此可规定两个非零向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角如下：将 $\boldsymbol{a}$ 或 $\boldsymbol{b}$ 平移，使它们的起点重合后，它们所在的射线之间的夹角 $\theta(0 \leqslant \theta \leqslant \pi)$ 称为向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的**夹角**，记作 $(\widehat{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}})$ ．

如果两个非零向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的方向相同或相反，则称这**两个向量平行**，向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 平行，记作 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$ ．由于零向量的方向是任意的，因此可认为零向量与任意向量都平行．

下图显示了三维空间里的一些向量。

![图片](/uploads/2025-11/65309a.jpg){width=300px}

### 向量的模
 向量的长度称作向量的模，他和一维数轴上的绝对值有一样吗？其实，本质是一样的。只是绝对值通常只表示一维空间，而向量的模多表示多维空间。
 
向量的模因为表示的是长度，所以，他只能是正数或者零，不可能取负数。
 
考察空间里的一个向量$OM$(参考下图),假设他的坐标是$(a_x,a_y,a_z)$, 不难发现，模长就是立方体对角线的长，因此
  
 ![图片](/uploads/2025-11/502308.jpg){width=300px}

对于向量 $\left|\overrightarrow{OM}\right|$,假设他的坐标是$a_x,a_y,a_z$ ，那么他的模长是
$$
\boxed{
\left|\overrightarrow{OM}\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2} ...\text{(向量模长公式)}
}
$$

`例` 已知向量$\boldsymbol{a}=(-1,2,-3)$ 求其模长
解：
$$
|\boldsymbol{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-3)^2}=\sqrt{14}
$$

### 向量的画法

**方向相同，长度向量的两个向量称为相等向量**。因为向量可以自由平移，所以有时候为了展示物体变换的效果，会把向量的起点放在坐标原点的位置， 向量的起点并不一定都要画在坐标原点。参考下图

下面的左图所有向量的起点都画在坐标原点，这样可以看到整体分布，下面的右图向量的起点画在向量对应坐标点的位置，他更能反映每一点的变换趋势

![img-text](/uploads/2025-09/3d3616.jpg){WIDTH=500PX}

## 空间直角坐标系
过空间一个定点

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【高等数学】向量的平行四边形法则与向量的坐标运算【高等数学】方向角与方向角余弦【高等数学】方向导数

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