最后更新: 2025-02-09 09:23 查看: 184 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

空间向量

## 空间直角坐标系与向量运算
任取一点$O$(图8.1), 一个单位长，通过$O$点建立三条互相垂直的数轴，$X$轴、$Y$轴、$Z$轴，并且使这三个数轴的正方向构成右手系．这样我们就说在空间建立了一个空间右手坐标系，并用$OXYZ$来表示．

$O$点叫做坐标系的原点．$X$轴、$Y$轴、$Z$轴总称为坐标轴．三个坐标轴每两个决定一平面叫做坐标平面．坐标平面共有三个$OXY$、$OYZ$、$OZX$，它们互相垂直并且把空间分为八个区域，每个区域叫做一个卦限．
 ![图片](/uploads/2024-05/82c4f7.jpg)
 
 
 设$P$是空间中任一点，通过$P$点作平面分别与坐标平面$OYZ$、$OZX$、$OXY$平行（图8.2），并且分别与$X$轴、$Y$轴、$Z$轴相交于$A$、$B$、$C$三点，如果$A$、$B$、$C$在各坐标轴上的坐标分别为$x$、$y$、$z$, 则这三个有序实数组$(x,y,z)$叫$P$点的**空间坐标**．简称坐标．$P$ 点的坐标是$(x,y,z)$, 记作$P(x,y,z)$. $x$、$y$、$z$分别叫做$P$点的$X$坐标，$Y$坐标，$Z$坐标．

## 空间单位向量
 
![图片](/uploads/2024-05/a85361.jpg)

如果沿 $X$ 轴、 $Y$ 轴、 $Z$ 轴的正方向分别引单位向量 $\vec{e}_x 、 \vec{e}_y 、 \vec{e}_z$ (图 8.3), 那么对空间任一向量 $\vec{a}$, 存在唯一的有序数组 $\left(a_x, a_y, a_z\right)$ 使
$$
\vec{a}=a_x \vec{e}_x+a_y \vec{e}_y+a_z \vec{e}_z
$$
$\left(a_x, a_y, a_z\right)$ 就叫做 $\vec{a}$ 在 $O X Y Z$ 中的坐标. 并简记作
$$
\vec{a}=\left(a_x, a_y, a_z\right)
$$

其中 $a$ 叫做 $\vec{a}$ 在 $X$ 轴上的坐标分量. $a_y$ 叫做 $\vec{a}$ 在 $Y$ 轴上的坐标分量. $a_z$ 叫做 $\vec{a}$ 在 $Z$ 轴上的坐标分量.

如果 $\vec{a}=a_x \vec{e}_x+a_y \vec{e}_y+a_z \vec{e}_z$, 那么分别对这个表示式两边对 $\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z$ 取内积运算, 就可得到
$$
\begin{aligned}
a_x & =\vec{e}_x \cdot \vec{a}=|\vec{a}| \cos \left\langle\vec{e}_x, \vec{a}\right\rangle \\
a_y & =\vec{e}_y \cdot \vec{a}=|\vec{a}| \cos \left\langle\vec{e}_y, \vec{a}\right\rangle \\
a_z & =\vec{e}_z \cdot \vec{a}=|\vec{a}| \cos \left\langle\vec{e}_z, \vec{a}\right\rangle
\end{aligned}
$$

如果 $\left\langle\vec{e}_x, \vec{a}\right\rangle=\alpha,\left\langle\vec{e}_y, \vec{a}\right\rangle=\beta,\left\langle\vec{e}_z, \vec{a}\right\rangle=\gamma$, 那么 $\alpha 、 \beta 、 \gamma$ 确定了 $\vec{a}$ 在空间中的方向. $\alpha 、 \beta 、 \gamma$ 叫做 $\vec{a}$ 的**方向角**, $\cos \alpha 、 \cos \beta 、 \cos \gamma$ 叫做 $\vec{a}$ 的**方向余弦**,于是 $\vec{a}$ 的单位向量
$$
\vec{a}_0=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)
$$

对空间任一点 $P$, 它被相对于 $O$ 点的位置向量所唯一确定 (图 8.4). 设
$$
\overrightarrow{O P}=x \vec{e}_x+y \vec{e}_y+z \vec{e}_z
$$
由上述点的坐标和向量坐标的定义, $\overrightarrow{O P}$ 的坐标 $(x, y, z)$ 也就是 $P$ 点的坐标;反之 $P$ 点的坐标也是 $\overrightarrow{O P}$ 的坐标. 由此可见, 给定了原点 $O$ 和三个互相垂直且构成右手系的单位向量 $\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z$, 坐标系 $O X Y Z$ 也就完全确定了. 因此, 坐标系 $O X Y Z$ 也可用 $\left[O: \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z\right]$ 来表示, $\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z$ 叫做 $O X Y Z$ 的基向量.
 ![图片](/uploads/2024-05/6079a1.jpg)
 已知 $A\left(x_1, y_1, z_1\right), B\left(x_2, y_2, z_2\right)$, 则:
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{A B} & =\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A} \\
& =x_2 \vec{e}_x+y_2 \vec{e}_y+z_2 \vec{e}_z-\left(x_1 \vec{e}_x+y_1 \vec{e}_y+z_1 \vec{e}_z\right) \\
& =\left(x_2-x_1\right) \vec{e}_x+\left(y_2-y_1\right) \vec{e}_y+\left(z_2-z_1\right) \vec{e}_z \\
& =\left(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1\right)
\end{aligned}
$$

这就是说一个向量的坐标, 等于表示它的有向线段终点的坐标减去起点的坐标.
例如, 已知 $A(2,-1,5) 、 B(3,2,-7)$, 则
$$
\overrightarrow{A B}=[3-2,2-(-1),-7-5]=(1,3,-12)
$$

##  向量的坐标运算
定理
如果 $\vec{a}=\left(a_x, a_y, a_z\right), \vec{b}=\left(b_x, b_y, b_z\right), \vec{c}=\left(c_x, c_y, c_z\right)$, 那么
$$
\begin{aligned}
& \vec{a} \pm \vec{b}=\left(a_x, a_y, a_z\right) \pm\left(b_x, b_y, b_z\right)=\left(a_x \pm b_x, a_y \pm b_y, a_z \pm b_z\right) \\
& \lambda \vec{a}=\lambda\left(a_x, a_y, a_z\right)=\left(\lambda a_x, \lambda a_y, \lambda a_z\right) \\
& \vec{a} \cdot \vec{b}=\left(a_x, a_y, a_z\right) \cdot\left(b_x, b_y, b_z\right)=a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z \\
& \vec{a} \times \vec{b}=\left|\begin{array}{lll}
\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z
\end{array}\right|, \quad(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})=\left|\begin{array}{lll}
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z \\
c_x & c_y & c_z
\end{array}\right|
\end{aligned}
$$

证明留给同学作为练习.

下面我们研究如何用向量的坐标来表示向量垂直、平行与共面的条件.

已知 $\vec{a} / / \vec{b} \quad(\vec{b} \neq 0)$ 的充要条件是存在一实数 $\lambda$, 使
$$
\vec{a}=\lambda \vec{b}
$$

如果 $\vec{a}=\left(a_x, a_y, a_z\right), \vec{b}=\left(b_x, b_y, b_z\right)$, 那么上面条件用坐标表示, 即为
$$
a_x=\lambda b_x, \quad a_y=\lambda b_y, \quad a_z=\lambda b_z
$$

或
$$
a_x: b_x=a_y: b_y=a_z: b_z
$$

这就是说**两个向量平行的充要条件是它们的坐标成比例**.

已知 $\vec{a} \perp \vec{b} \Longleftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}=0$ 用坐标表示, 即为
$$
\vec{a} \perp \vec{b} \quad \Longleftrightarrow \quad a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z=0
$$

已知 $\vec{a}=\left(a_x, a_y, a_z\right), \vec{b}=\left(b_x, b_y, b_z\right), \vec{c}=\left(c_x, c_y, c_z\right)$, 则
$$
\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \text { 共面 } \Longleftrightarrow (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})=0
$$

即
$$
\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \text { 共面 } \Longleftrightarrow\left|\begin{array}{lll}
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z \\
c_x & c_y & c_z
\end{array}\right|=0
$$

`例`已知 $\vec{a}=(1,1,1), \vec{b}=(3,-1,2), \vec{c}=(1,-3,0)$. 求证: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 共面.

解:
$$
\because \quad(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})=\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
3 & -1 & 2 \\
1 & -3 & 0
\end{array}\right|=0
$$
$\therefore \quad \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 共面.

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