最后更新: 2025-10-17 17:23 查看: 745 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

球与球的面积

> 本节介绍了球带和球冠，虽然现在教程里已经删除了此内容，但是在高考里，经常会变相考到，因此推荐学生即使不掌握，也要了解一下

## 球体定义
在空间与定点距离相等的点的集合称做**球面**. 球面所包围的立体叫做**球体**简称**球**. 定点叫做**球心**, 定点和球面上任一点所连线段叫做球的**半径**. 连结球面上任意两点的线段叫做球的**弦**, 通过球心的弦叫做球的**直径**.

球面也可以看作半圆绕着它的直径旋转一周所成的图形. 球体可以看作是一半圆面绕着它的直径旋转一周而形成的立体. 原半圆面的半径是球的半径, 原半圆面的圆心是球心.

一个球可以用表示它球心的字母来表示, 例如 “球 $O$ ”. 画半径是 $R$ 的直观图时,一般用第二种画法, 先分别在 $X O Y 、 X O Z 、 Y O Z$ 三个平面的画出表示半径是 $R$ 的圆的三个椭圆, 再在外面画一个圆和这三个椭圆相切（图 2.26),通常用简便的画法如图 2.27 .
 ![图片](/uploads/2024-05/4cfeb6.jpg)
 
 球有下列一些性质:
 
>1. 同球的半径（或直径）相等.
>2. 球被平面所截得截面是一圆面.

第一个性质比较明显，下面证明第二个性质。
**求证：球被平面所截得截面是一圆面.**
证明：设平面 $M$ 通过球心 $O$, 并设 $A 、 B$ 为平面 $M$ 和球面交线上任意两点. (图 2.28(1)) 在平面 $M$ 内连接 $O A, O B$, 因 $O A 、 O B$ 都是球 $O$ 的半径,所以 $O A=O B$. 这就是说, 交线上任意两点与 $O$ 点等距离, 因此球 $O$ 与平面 $M$ 的截面是以球心为圆心的圆面.

设平面 $M$ 不通过球心 (图 $2.28(2)$ ), 自球心 $O$ 作 $O O_1$ 垂直平面 $M$ 于 $O_1$,设 $A 、 B$ 为平面 $M$ 与球 $O$ 的交线上任意两点, 连结 $O A, O B$, 因为 $O A=O B$,所以它们在平面 $M$ 内的射影相等, 即 $A O_1=B O_1$, 因此平面 $M$ 与球 $O$ 的交线是一个圆, 它的圆心就是球心 $O$ 到平面的垂线的垂足 $O_1$.

![图片](/uploads/2024-05/77d132.jpg)
 
如果用 $R, r$ 分别表示球的半径和截面圆的半径, $d$ 表示由球心 $O$ 到平面 $M$ 的距离, 那么,
$$
r=\sqrt{R^2-d^2}
$$

因此, 平面 $M$ 和球 $O$ 的截面是以 $O_1$ 为圆心, 以 $r=\sqrt{R^2-d^2}$ 为半径的圆面.

### 推论
1. 连结球心与截面圆的圆心的直线和截面垂直.
2. 与球心距离相等的截面的圆大小相等.
3. 与球心距离不等的截面, 所截得的圆的大小不等, 距离球心较近的截面所截的圆较大.
4. 当 $d=0$ 时, 这时截面过球心, 所以 $r=R$, 也就是说, 这时截面的圆的半径最大, 称这个圆为球的大圆, 不过球心截面的圆称为球的小圆.
5. 当 $d=R$ 时, $r=0$, 这时截面的圆退化为一个点, 我们称和球面只有一个公共点的平面叫做**球的切面**, 球的切面和球的公共点叫做**切点**. 和球只有一个公共点的直线叫做球的**切线**. 显然在球的切面上过切点的直线都是球的切线.

**定义** 连结球面上 $A 、 B$ 两点间大圆的劣孤叫做球面上 $A 、 B$ 两点间的球面距离.

## 球的切面

### 定理
如果球的半径通过球面的切面的切点，这个半径必垂直于球的切面．
 ![图片](/uploads/2024-05/76e12c.jpg)
  
证明：设平面 $\alpha$ 是球 $O$ 的切面，$K$ 点是切点，$K O=R$ ，（图 2．29）如果 $O K$不垂直平面 $\alpha$ ，作 $O K^{\prime} \perp$ 平面 $\alpha$ 于 $K^{\prime}$ ，则 $O K>O K^{\prime}$ ，即 $R>O K^{\prime}, K^{\prime}$ 点在球面的内部，这样，平面 $\alpha$ 与球 $O$ 必相交，这与 $\alpha$ 是球 $O$ 的切面相矛盾，所以 $O K \perp \alpha$ ．

### 逆定理
垂直于球半径且过半径外瑞的平面必是球的切面.

证明：在平面 $\alpha$ 上另取任一点 $K^{\prime}$ ，连结 $O K^{\prime}$ ，因为 $O K$ 是平面 $\alpha$ 的垂线，而 $O K^{\prime}$ 是平面 $\alpha$ 的斜线，所以 $O K^{\prime}>O K$－因为 $K \in \alpha$ ，所以 $K^{\prime}$ 点在球面外，也就是说，平面 $\alpha$ 上除 $K$ 点外的任何点都不在球面上，即平面 $\alpha$ 与球面只有一个公共点 $K$ ，所以平面 $\alpha$ 是球 $O$ 的切面．

把上面正、逆定理合成一个定理，即

### 定理

> **一个平面是一个球的切面的充要条件是这个平面经过这个球的一条半径的外端而且和这条半径垂直.**

综上所述, 如果球的半径为 $R$, 球心 $O$ 到平面的距离为 $d$, 则平面 $\alpha$ 与球 $O$ 有下列位置关系:

![图片](/uploads/2025-10/ba6ca3.jpg){width=200px}

>1. 如果 $d<R$, 那么平面 $\alpha$ 与球 $O$ 相交, 截面是个圆, 它的半径 $r=\sqrt{R^2-d^2}$
>2. 如果 $d=R$, 那么平面 $\alpha$ 与球 $O$ 相切.
>3. 如果 $d>R$, 那么平面 $\alpha$ 与球 $O$ 没有公共点, 这时称平面 $\alpha$ 与球 $O$ 相离.

`例` 设 $A$ 地位于北纬 $45^{\circ}$, 由于地球自转, 在一小时内 $A$ 点转了多少路程? (地球的半径大约为 6370 公里)

解: 如图 2.30, 设点 $O$ 是地球的球心, $O A$ 是地球的半径, $M$ 是北纬 $45^{\circ}$ 圈的中心, $A M$ 是北纬 $45^{\circ}$ 圈的半径, $O M$ 是地球球心到北纬 $45^{\circ}$ 圈所在平面的距离, 那

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：圆柱、圆锥和圆台的体积

下一篇：球与球缺的体积

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)