日期: 2024-05-17 15:44 查看: 274 次编辑

台体

## 台体
定义
平行于棱雉底面的平面与棱雉侧面相截, 棱雉在底面和截面之间的部分叫做棱台. 原棱雉的底面和截面叫做棱台的下底面和上底面, 其他各面叫侧面, 两相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱, 两个底面之间的距离叫做棱台的高. (图 2.20)
棱台可以用表示上、下底顶点的字母来表示, 例如棱台 $A C^{\prime}$. 也可记作棱台 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ (图 $\left.2.20(1)\right)$.

由三棱雉、四棱雉、五棱雉…‥截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台 $\cdots \cdots .$.
定义
由正棱雉截得的棱台叫做正棱台.
正棱台有下面一些性质:
1. 正棱台的两个底面及平行于底面的截面是相似的正多边形. (图 2.21)

![图片](/uploads/2023-11/image_202311050e44845.png)

如果台体的上、下底面面积分别为 $S_1, S_2$, 高为 $h$, 则台体的体积计算公式为

$$
V_{\text {台体 }}=\frac{1}{3}\left(S_2+\sqrt{S_2 S_1}+S_1\right) h .

![图片](/uploads/2024-05/879a8e.jpg)
  ![图片](/uploads/2024-05/2ea88f.jpg)
  
  2. 两底面中心连线垂直于底面 (图 $2.21(2)$ ).
3. 正棱台的各侧面是全等的等腰梯形, 各等腰梯形的高相等, 它叫做正棱台的斜高. (图 $2.21(2)$ )
4. 正棱台的各侧棱相等, 并且延长后相交于一点. (图 2.21(1))
5. 正棱台两底面中心连线、相应的两底面的边心距和斜高组成直角梯形; 两底中心连线、侧棱和两底面相应的半径组成一个直角梯形; 同一个侧面上的上底和下底中点的连线将这个侧面分成两个全等的直角梯形. (见图 $2.21(2))$

解正棱台的问题一般总可化为解 5 中提到的直角梯形及底面的正多边形的问题.

例 2.5 设正三棱台的两个底面边长分别是 $2 \mathrm{~cm}$ 和 $5 \mathrm{~cm}$, 侧棱长为 $5 \mathrm{~cm}$, 求这个棱台的高和斜高（图 2.22 ).
 ![图片](/uploads/2024-05/16292e.jpg)
 解: 设两底面的中心分别为 $O_1$ 和 $O$, 连接 $O_1 O, O_1 A_1, O A$. 取 $A_1 B_1$ 的中点 $D_1, A B$ 的中点 $D$, 连接 $O_1 D_1, O D, D_1 D$. 则 $O_1 O$ 是棱台的高, $D D_1$ 是棱台的斜高; 并知 $O_1 A_1 A O$ 和 $O O_1 D_1 D$ 是两个直角梯形. 分别引 $A_1 E \perp A O$ 于 $E$, $D_1 F \perp D O$ 于 $F$.
由于上、下两底的边长分别为 $2 \mathrm{~cm}$ 和 $5 \mathrm{~cm}$.
因此:
$$
O_1 A_1=\frac{\sqrt{3}}{3} \times 2=\frac{2}{3} \sqrt{3}, \quad O A=\frac{\sqrt{3}}{3} \times 5=\frac{5}{3} \sqrt{3}
$$
因此: $A E=O A-O_1 A_1=\frac{5}{3} \sqrt{3}-\frac{2}{3} \sqrt{3}=\sqrt{3}$
在直角 $\triangle A A_1 E$ 中,
$$
\begin{aligned}
& A_1 E=A_1 A_2-A E_2=\sqrt{5^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{22} \approx 4.69 \\
& \therefore O O_1=A_1 E=\sqrt{22} \approx 4.69(\mathrm{~cm}) \\
& \text { 又 } \because \quad O_1 D_1=\frac{\sqrt{3}}{6} \times 2=\frac{\sqrt{3}}{3}, \quad O D=\frac{\sqrt{3}}{6} \times 5=\frac{5}{6} \sqrt{3} \\
& \therefore D F=O D-O_1 D_1=\frac{5}{6} \sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\
&
\end{aligned}
$$

在直角 $\triangle D D_1 F$ 中
$$
\begin{aligned}
D_1 D & =\sqrt{D F^2+D_1 F^2}=\sqrt{D F^2+O_1 O^2} \\
& =\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+(\sqrt{22})^2}=\frac{1}{2} \sqrt{91} \approx 4.77(\mathrm{~cm})
\end{aligned}
$$

答: 这棱台的高约等于 $4.69 \mathrm{~cm}$, 斜高约等于 $4.77 \mathrm{~cm}$.

定义
平行于圆雉底面的平面与圆雉相截, 圆雉的底面和截面之间的部分叫做圆台. 原来圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面, 原来圆锥的轴叫做圆台的轴, 原来圆雉的母线夹在两底面之间的部分叫做圆台的母线, 原来圆锥的侧面夹在两底面之间的部分叫做圆台的侧面, 两底面之间的距离叫做圆台的高. (图 2.23)

圆台也可以看作是一个直角梯形绕着垂直于底边的一条腰所在的直线为轴, 旋转 $360^{\circ}$ 时, 这个直角梯形的两底边及另一腰所形成的面围成的几何体.直角梯形的上、下两底边旋转而成的圆面分别叫做圆台的上底面和下底面. 直角梯形垂直于底边的腰的长叫做圆台的高, 而另一腰则称为圆台的母线. (图 2.24)

圆台的表示法是用它两底上而不在同一条母线上的两个点的字母来表示.如图 2.23 的圆台可以记作圆台 $A B_1$.
圆台有下面一些性质:
1. 圆台的两个底面是圆, 它们所在的平面平行.
2. 圆台的轴经过两个底面的圆心, 并且和底面垂直, 连结两底圆心线段的长等于高.
 ![图片](/uploads/2024-05/29a5e0.jpg)
 3. 圆台的母线都相等.
4. 圆台的各母线的延长线交于一点.
5. 经过圆台的轴的截面叫圆台的轴截面, 它是一个等腰梯形.
6. 经过圆台的轴的平面是圆台的对称平面.

如果设圆台的上、下两底面的半径分别为 $R_1$ 和 $R_2$, 母线长为 $\ell$, 高为 $h$,那么 $\ell^2=\left(R_2-R_1\right)^2+h^2($ 图 2.24$)$

例 2.6 已知一个圆台两底面面积分别是 $1 \mathrm{dm}^2$ 和 $49 \mathrm{dm}^2$, 有一个截面和底面平行, 它的面积是 $25 \mathrm{dm}^2$, 求这个截面和两个底面距离的比.
 ![图片](/uploads/2024-05/a9632d.jpg)
 
 解：设从截得圆台的原来圆雉的顶点到圆台上底的距离是 $a(a>0)$, 从截面到圆台上底面和下底面的距离分别是 $x$ 和 $y$, 那么参看轴截面图 2.25 , 由圆台的
 
性质及相似形面积的比等于相似比的平方, 就得到
$$
\frac{(a+x)^2}{a^2}=\frac{25}{1}, \quad \frac{(a+x+y)^2}{a^2}=\frac{49}{1}
$$

由此得正数解 $x=4 a, y=2 a$. 因此, $x: y=4 a: 2 a=2: 1$
答：截面和上、下两底面距离的比为 $2: 1$.

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