最后更新: 2025-10-17 19:08 查看: 986 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

圆柱、圆锥和圆台的体积

## 圆柱、圆锥和圆台体积汇总
 ![图片](/uploads/2025-10/d255fa.jpg)

## 圆柱的体积
有了[祖暅原理](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1350) 和长方体体积公式．我们就可以求出柱体的体积，如图 2.65 ．我们将棱柱，圆柱，长方体夹在两个平行平面之间，并假设它们的底面积都等于 $S$ ，因为它们的高就是两平行平面之间的距离 $h$ ，如果用一个平行于原来的两个平行平面的平面任意去截这三个柱体，所得的截面分别与各个柱体的底面全等，因而这些截面面积都等于 $S$ ，根据祖咟原理，棱柱，圆柱，长方体的体积都相等．由于长方体的体积等于它的底面积乘高，因此，棱柱，圆柱的体积也都等于其底面积与高的积，这就得到下面的定理．

根据

![图片](/uploads/2025-02/05718c.jpg){width=400px}

$$
\boxed{
V_\text{圆柱体积}=\pi R^2 h
}
$$

`例`已知：如图，圆柱的高为 $h$ ，它的侧面展开图的母线与对角线成 $60^{\circ}$ 角，求圆柱的体积．

![图片](/uploads/2025-10/f4dae2.jpg)
 
 解：设圆柱侧面展开图矩形 $A B C D$ 中 $A D=h, \angle A D B=60^{\circ}$ ．由直角三角形 $A B D$ 得到 $D B=2 A D=2 h, A B=\sqrt{4 h^2-h^2}=\sqrt{3} h$ ，而 $A B=2 \pi R$

$$
\therefore \quad 2 \pi R=3 h \quad \Rightarrow \quad R=\frac{\sqrt{3} h}{2 \pi}
$$

因此：$V_{\text {圆柱 }}=\pi R^2 \cdot A D=\pi \frac{3 h^2}{4 \pi^2} \cdot h=\frac{3 h^3}{4 \pi}$
答：圆柱体积是 $\frac{3 h^3}{4 \pi}$ ．

## 圆锥的体积

圆锥体积可以通过祖咺原理得到。

> **推论：等底等高的两个锥体的体积相等．**

![图片](/uploads/2025-02/ec7380.jpg){width=400px}

证明：如图 2.70 ，取任意两个锥体，设它们的底面都是 $S$ ，高都是 $h$ ．
把这两个锥体放在同一平面 $\alpha$ 上，这时它们的顶点都在与平面 $\alpha$ 平行的同一个平面内．用平行于 $\alpha$ 的任意截面去截它们，截面分别与底面相似，设截面和顶点的距离分别是 $h_1$ 和 $h_2$ ，截面积分别是 $S_1$ 和 $S_2$ ，那么

$$
\begin{aligned}
& \because \quad \frac{S_1}{S}=\frac{h_1^2}{h^2}, \quad \frac{S_2}{S}=\frac{h_2^2}{h^2}, \quad h_1=h_2 \\
& \therefore \quad \frac{S_1}{S}=\frac{S_2}{S}
\end{aligned}
$$
 
$$
\therefore \quad S_1=S_2
$$
根据祖咺原理，这两个锥体体积相等．

所以

$$
\boxed{
V_\text{圆锥体积}= \dfrac{1}{3}\pi R^2 h
}
$$

`例` 棱锥底面是面积为 $Q$ 的矩形，矩形对角线交角为 $60^{\circ}$ ，棱锥侧棱与底面交角为 $45^{\circ}$ ，求这棱锥的体积

![图片](/uploads/2025-10/ce557c.jpg){width=300px}
 
 解：设棱锥 $S-A B C D$ 满足已知条件，并设棱锥底面矩形 $A B C D$ 的对边 $B C=A D=x$ ．依题意则有棱锥的高 $S O=x$ ，底面对角线长为 $2 x$ ，那么底面面积

$$
Q=2 \times \frac{1}{2} x^2 \sin 60^{\circ}+2 \times \frac{1}{2} x^2 \sin 120^{\circ}
$$

解得：$x=\sqrt{\frac{Q}{\sqrt{3}}}$ ，所以棱体的体积

$$
V_{\text {校锥 }}=\frac{1}{3} Q \cdot \sqrt{\frac{Q}

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