最后更新: 2025-10-17 18:36 查看: 742 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

圆柱、圆锥和圆台的表面积

## 圆柱、圆锥、圆台表面积汇总

![图片](/uploads/2025-10/b44778.jpg)

## 圆柱的表面积
仿照棱柱侧面积展开，圆柱的侧面展开图是一个矩形，（图 2.44）这个矩形的长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱侧面的母线长（即高）．因此我们可以得到计算圆柱的表面积为
 ![图片](/uploads/2025-02/e06e3d.jpg){width=400px}
 
 如果圆柱底面半径是 $R$ ，周长是 $C$ ，侧面母线长是 $\ell$ ，那么它的侧面积计算公式是：

$$
\boxed{
S_{\text {圆柱侧 }}=C \cdot \ell=2 \pi R \ell
}
$$
 
 
 圆柱的全面积等于它的侧面积与两底面积的和，即

$$
\boxed{
S_{\text {圆柱 }}=2\pi Rl+2 S_{\text {底 }}
}
$$

其中，$R$是圆柱地面半径，$l$是侧面母线的长， $S_{\text {底 }}$ 表示圆柱底面的面积．

`例` 圆柱的轴截面的对角线为 $d$ ，它与底面所成的角为 $\beta$ ，
1．求圆柱的侧面积，
2．$\beta$ 为何值时，圆柱的侧面积最大，这个最大值是多少？
解：如图 2．47，已知圆柱 $A A_1, B_1 A$ 是其轴截面的一条对角线．因为 $B_1 A$ 与圆柱底面所成的角为 $\beta$ ，而 $B_1 B$ 垂直底面，所以 $\angle B_1 B A=90^{\circ}, \angle B_1 A B=\beta$ ，由 $A B_1=d$ ，
$\therefore \quad B_1 B=d \sin \beta$ 底面半径 $O B=\frac{1}{2} d \cos \beta$
$\therefore$ 底面圆周长 $C=2 \pi \cdot \frac{d}{2} \cos \beta=\pi d \cos \beta$

$$
\begin{aligned}
S_{\text {圆杜侧 }}=C \cdot B_1 B & =\pi d \cos \beta \cdot d \sin \beta \\
& =\pi d^2 \cos \beta \cdot \sin \beta=\frac{1}{2} \pi d^2 \sin 2 \beta
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-10/adc52c.jpg)
 
 又 $\because|\sin 2 \beta| \leq 1$
$\therefore$ 当 $\sin 2 \beta=1$ 时，即 $2 \beta=\frac{\pi}{2}, \beta=\frac{\pi}{4}$ 时，$S_{\text {圆杜侧 }}=\frac{1}{2} \pi d^2$ 最大．
答：圆柱的侧面积为 $\frac{1}{2} \pi d^2 \sin 2 \beta$ ；当 $\beta=\frac{\pi}{4}$ 时，圆柱的侧面积最大，这个最大值是 $\frac{1}{2} \pi d^2$ ．

`例`已知圆锥 $P O$ 的母线长与底面直径都等于 2 ，一个圆柱内接于这个圆锥，即圆柱的上底面是圆锥的一个截面，下底面在圆锥的底面内，则圆柱侧面积的最大值为
解：如图
 ![图片](/uploads/2025-10/225136.jpg){width=300px}
 
$A B=1, B E=2, A E=\sqrt{3}$ ，则 $\angle A E B=30^{\circ}$ ，

设 $D C=r, 0<r<1$ ，则 $E C=2 r, D E=\sqrt{3} r$ ，则 $A D=A E-D E=\sqrt{3}-\sqrt{3} r$ ，
$\therefore$ 圆柱侧面积为：$S=2 \pi r \cdot A D=2 \pi r \cdot(\sqrt{3}-\sqrt{3} r)=2 \sqrt{3} \pi\left(-r^2+r\right) \leq 2 \sqrt{3} \pi\left[-\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\right]=\frac{\sqrt{3}}{2} \pi$ ，当 $r=\frac{1}{2}$ 时取等号．

## 圆椎的表面积
仿照棱锥侧面积展开，如果把圆锥侧面沿着它的一条母线展开在平面上，如图 2.48 所示，圆锥侧面的展开图是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥的底面周长 $C$ ，如果底面半径为 $R$ ，则 $C=2 \pi R$ ，扇形的半径等于圆锥的母线 $\ell$ ， 由此可得下面定理．
 ![图片](/uploads/2025-02/b5f756.jpg){width=400px}

如果圆锥底面半径是 $R$ ，周长是 $C$ ，侧面母线长是 $\ell$ ，那么它的侧面积计划公式是

$$
\boxed{
S_{\text {圆锥侧 }}=\frac{1}{2} C \ell=\pi R \ell
}
$$

圆锥全面积等于侧面积加上底面积

$$
 \

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