最后更新: 2025-10-17 21:19 查看: 542 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

棱柱、棱锥和棱台的体积

## 棱柱、棱锥、棱台体积公式汇总

![图片](/uploads/2025-10/c51908.jpg)
 
 
 ## 棱柱的体积

有了祖暅原理和长方体体积公式．我们就可以求出柱体的体积，如图2.65. 我们将棱柱、圆柱、长方体夹在两个平行平面之间，并假设它们的底面积都等于S, 因为它们的高就是两平行平面之间的距离h,如果用一个平行于原来的两个平行平面的平面任意去截这三个柱体，所得的截面分别与各个柱体的底面全等，因而这些截面面积都等于S,根据祖暅原理，棱柱、圆柱、长方体的体积都相等．由于长方体的体积等于它的底面积乘高，因此，棱柱、圆柱的体积也都等于其底面积与高的积，这就得到下面的定理

> **柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积$S$和高$h$的积．**

![图片](/uploads/2025-10/c553b0.jpg){width=400px}

长方体的体积 $V$ 等于长方体的底面积 $S$ 与高 $h$ 的乘积，即  
 
$$
\boxed{
V_{\text {楼相 }}=S h
}
$$

`例`  已知：如图 2．67，斜三棱柱中一个侧面的面积为 $S$ ，并且这侧面到它相对侧棱间的距离为 $a$ ，求这棱柱的体积．

解：设 $A B D-A_1 B_1 D_1$ 为斜三棱柱，其中一个侧面 $A D_1$ 的面积等于 $S$ ，并且与它相对的侧棱 $B B_1$ 的距离为 $P Q=a$ ．过侧棱 $B B_1$ 及 $D D_1$ 分别作侧面 $A D_1$ 和侧面 $A B_1$ 的平行平面，这两个平面的交线为 $C C_1$ ．再延展斜三棱柱的两个底面，那么 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 是一个平行六面体．（图 2．67）

![图片](/uploads/2025-10/53f739.jpg){width=200px}

设以侧面 $A D_1$ 为底面，$P Q$ 即为这个平行六面体的高，所以 $V_{A C_1}=a S$ ．而三棱柱 $A B D-A_1 B_1 D_1$ 的体积为这个平行六面体的体积的一半，则

$$
V_{\text {三棱柱 }}=\frac{a S}{2}
$$

答：这个三棱柱的体积等于 $\frac{1}{2} a S$ ．

##  棱锥的体积
如图 4．5－13，我们可把三棱锥 $A^{\prime}-A B C$ 以 $\triangle A B C$ 为底面，$A A^{\prime}$ 为侧棱补成三棱柱 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}-A B C$ ，反过来，也可把这个三棱柱分割成三个三棱锥 $A^{\prime}-A B C$ ， $B^{\prime}-A^{\prime} B C, C^{\prime}-A^{\prime} B^{\prime} C$.

![图片](/uploads/2025-02/451e77.jpg){WIDTH=400PX}
 
 
 三棱锥 $A^{\prime}-A B C, B^{\prime}-A^{\prime} B C$ 都可将点 $C$ 看作顶

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