最后更新: 2025-02-09 08:01 查看: 149 次反馈刷题

棱柱、棱锥和棱台的体积

## 棱柱的体积

长方体的体积 $V$ 等于长方体的底面积 $S$ 与高 $h$ 的乘积，即 $V=S h$ ．

![图片](/uploads/2025-02/588b69.jpg)
 
如果一个棱柱与一个长方体的高相同（都为 $h$ ），底面积相等（都为 $S$ ），那么当我们用一个与底面平行的任意平面去截它们时（如图 4．5－11），可以证明这些截面的面积都等于 $S$ ，根据祖晅原理可知，棱柱的体积与长方体的体积相等．于是棱柱的体积计算公式为

$$
\boxed{
V_{\text {楼相 }}=S h
}
$$

其中 $S$ 为棱柱的底面积，$h$ 为棱柱的高．

##  棱锥的体积
如图 4．5－13，我们可把三棱雉 $A^{\prime}-A B C$ 以 $\triangle A B C$ 为底面，$A A^{\prime}$ 为侧棱补成三棱柱 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}-A B C$ ，反过来，也可把这个三棱柱分割成三个三棱雉 $A^{\prime}-A B C$ ， $B^{\prime}-A^{\prime} B C, C^{\prime}-A^{\prime} B^{\prime} C$.
 ![图片](/uploads/2025-02/451e77.jpg)
 
 三棱锥 $A^{\prime}-A B C, B^{\prime}-A^{\prime} B C$ 都可将点 $C$ 看作顶点，则它们的底面分别为 $\triangle A B A^{\prime}, \triangle B^{\prime} A^{\prime} B$ ，且点 $C$ 到平面 $A B B^{\prime} A^{\prime}$ 的距离均可作为这两个三棱锥的高．由 $S_{\triangle A B A^{\prime}}=S_{\triangle B^{\prime} A^{\prime} B}$ 可知，$V_{A^{\prime}-A B C}=V_{B^{\prime}-A^{\prime} B C}$ ．同理可得，$V_{B^{\prime}-A^{\prime} B C}=V_{C^{\prime}-A^{\prime} B^{\prime} C}$ ，故

$$
V_{A^{\prime}-A B C}=V_{B^{\prime}-A^{\prime} B C}=V_{C^{\prime}-A^{\prime} B^{\prime} C}=\frac{1}{3} V_{\text {三棱柱 }} .
$$

于是，三棱锥的体积是等底面积，等高的三棱柱体积的三分之一。
将其推广到一般的棱锥，可得棱锥的体积公式为

$$
\boxed{
V_{\text {㮦维 }}=\frac{1}{3} S h
}
$$

其中 $S$ 为棱锥底面积，$h$ 为棱锥的高．

> 此公式也适用于计算圆锥的体积．

## 棱台的体积

由于棱台可看作是用平行于棱雉底面的一个平面截这个棱雉得到的，因此，棱台的体积可以用两个棱雉的体积差来计算，如图 4．5－15所示．
 ![图片](/uploads/2025-02/8d28c3.jpg)
 
经过计算（过程从略）得出棱台的体积计算公式为

$$
\boxed{
V_{\text {棱台 }}=\frac{1}{3}\left(S+\sqrt{S S^{\prime}}+S^{\prime}\right) h
}
$$

其中 $S^{\prime}, S$ 分别为棱台的上底，下底面积，$h$ 为棱台的高．
由于棱柱（两底面面积相等）与棱雉（一个底面面积为 0 ）都可看作棱台的特殊情况，因此棱柱，棱椎，棱台的体积计算公式之间有如下关系：

![图片](/uploads/2025-02/7add9a.jpg)

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

上一篇：棱柱、棱锥和棱台的表面积

下一篇：圆柱、圆锥和圆台的表面积

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)