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高中数学
第十三章：立体几何
棱柱、棱锥和棱台的体积
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2025-02-09 08:01
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棱柱、棱锥和棱台的体积
## 棱柱的体积 长方体的体积 $V$ 等于长方体的底面积 $S$ 与高 $h$ 的乘积，即 $V=S h$ ．  如果一个棱柱与一个长方体的高相同（都为 $h$ ），底面积相等（都为 $S$ ），那么当我们用一个与底面平行的任意平面去截它们时（如图 4．5－11），可以证明这些截面的面积都等于 $S$ ，根据祖晅原理可知，棱柱的体积与长方体的体积相等．于是棱柱的体积计算公式为 $$ \boxed{ V_{\text {楼相 }}=S h } $$ 其中 $S$ 为棱柱的底面积，$h$ 为棱柱的高． ## 棱锥的体积 如图 4．5－13，我们可把三棱雉 $A^{\prime}-A B C$ 以 $\triangle A B C$ 为底面，$A A^{\prime}$ 为侧棱补成三棱柱 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}-A B C$ ，反过来，也可把这个三棱柱分割成三个三棱雉 $A^{\prime}-A B C$ ， $B^{\prime}-A^{\prime} B C, C^{\prime}-A^{\prime} B^{\prime} C$.  三棱锥 $A^{\prime}-A B C, B^{\prime}-A^{\prime} B C$ 都可将点 $C$ 看作顶点，则它们的底面分别为 $\triangle A B A^{\prime}, \triangle B^{\prime} A^{\prime} B$ ，且点 $C$ 到平面 $A B B^{\prime} A^{\prime}$ 的距离均可作为这两个三棱锥的高．由 $S_{\triangle A B A^{\prime}}=S_{\triangle B^{\prime} A^{\prime} B}$ 可知，$V_{A^{\prime}-A B C}=V_{B^{\prime}-A^{\prime} B C}$ ．
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