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高中数学
第十三章：立体几何
棱柱、棱锥和棱台的表面积
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更新:
2025-02-09 07:53
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棱柱、棱锥和棱台的表面积
## 棱柱的表面积 棱柱，棱雉，棱台的表面都由底面和侧面组成，因而其表面积（也称全面积）就是其底面积和侧面积之和。由于其底面都是多边形，而多边形的面积我们已经会计算，因而计算这三种几何体的表面积的关键在于计算其侧面积。 与初中计算直棱柱，圆雉的侧面积方法一样，一般都是将棱柱，棱雉，棱台的侧面展开成平面图形，从而将其侧面积转化为平面图形的面积来计算。  如图 4．5－1，将一直棱柱的侧面沿其一侧棱剪开后，其侧面展开图是一个矩形． $$ \boxed{ S_{\text {直校柱侧 }}=C h } $$ C 为直棱柱的底面周长,h为为直棱柱的高 ## 棱锥的表面积 如图 4．5－2，对于正棱雉，其侧面都是全等的等腰三角形，因而，若将其侧面沿其一侧棱剪开，则可得到一个由一些全等的等腰三角形构成的平面图形．  因此，由三角形的面积计算公式可得，正棱雉的侧面积计算公式为 $$ \boxed{ S_{\text {正校准侧 }}=\frac{1}{2} C h^{\prime} } $$ 任意棱锥的侧面积如何来计算？ 其中，$C$ 为正棱雉的底面周长，$h^{\prime}$ 为侧面等腰三角形的高． ## 棱台的表面积 如图 4．5－4，对于正棱台，若将其沿一侧棱剪开，则可得其侧面展开图是由一些全等的等腰梯形构成的平面图形。  根据梯形的面积计算公式，容易得到正棱台的侧面积计算公式为 $$ \boxed{ S_{\text {正棱台侧 }}=\frac{1}{2}\left(C+C^{\prime}\right) h^{\prime} } $$ 其中 $C, C^{\prime}$ 为棱台两底面的周长，$h^{\prime}$ 为棱台侧面的高．
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