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棱锥和圆锥的侧面积和全面积
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2024-05-17 16:11
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棱锥和圆锥的侧面积和全面积
## 棱锥和圆锥的侧面积和全面积 棱锥的侧面积等于它的各个侧面面积之和，棱锥的全面积等于它的侧面积 和底面积的和． 设正棱锥的底面边长为 a, 而它的斜高为 ℓ, 那么它的一个侧面的面积就等 于 $\frac{1}{2} a \ell$, 而所有侧面面积的和: $$ S_{\text {正校锥侧 }}=\frac{1}{2} n a \ell $$ 设 $\mathrm{p}$ 是底面周长, 则 $p=n a$, 所以, $$ S_{\text {正棱锥侧 }}=\frac{1}{2} p \ell $$ 由此可得下面定理. 定理 如果正棱锥的底面周长是 $p$, 斜高是 $\ell$, 那么它的侧面积计算公式是: $$ S_{\text {正校锥侧 }}=\frac{1}{2} p \ell $$ 推论 正棱雉的全面积等于它的侧面积与底面积之和. 如果把圆锥侧面沿着它的一条母线展开在平面上, 如图 2.48 所示, 圆锥侧面的展开图是一个扇形, 这个扇形的弧长等于圆锥的底面周长 $C$, 如果底面半径为 $R$, 则 $C=2 \pi R$, 扇形的半径等于圆锥的母线 $\ell$, 而这个扇形的面积就是圆锥的侧面积. 由此可得下面定理.  定理 如果圆锥底面半径是 $R$, 周长是 $C$, 侧面母线长是 $\ell$, 那么它的侧面积计划公式是 $$ S_{\text {圆維侧 }}=\frac{1}{2} C \ell=\pi R \ell $$ 推论 1 圆锥的全面积等于它的侧面积和底面积之和. 即 $$ S_{\text {圆锥全 }}=\pi R \ell+\pi R^2=\pi R(\ell+R) $$ 推论 2 如果设圆锥的展开面扇形的中心角为 $\theta$, 圆锥的轴截面的顶角为 $\alpha$, 那么 $$ \theta=\frac{2 \pi R}{\ell}=2 \pi \frac{R}{\ell}(\text { 弧度 }) $$ 或 $$ \theta=360^{\circ} \frac{R}{\ell}=360^{\circ} \sin \frac{\alpha}{2} $$ 例 2.18 已知三棱雉 $V-A B C$ 中, 直角 $\triangle A B C$ 的两条直角边 $A B=6 \mathrm{~cm}$, $B C=8 \mathrm{~cm}$, 高 $V O=12 \mathrm{~cm}$, 并且 $O$ 点是 $\triangle A B C$ 的内心, 求棱雉的全面积. 解: 如图 2.49, 过 $\triangle A B C$ 的内心 $O$ 作 $O D \perp A B$ 于 $D, O E \perp B C$ 于 $E, O F \perp A C$于 $F$, 连结 $V D 、 V E 、 V F$. $\because V O \perp$ 底面 $A B C$, $\therefore O D$ 是 $V D$ 在底面 $A B C$ 上的射影, 由三垂线定理, 有 $V D \perp A B$. 同理, $V E \perp B C, V F \perp A C$ $$ \begin{aligned} & \because \quad O D=O E=O F=\frac{S_{\triangle A B C}}{\frac{1}{2}(A B+B C+A C)}=\frac{24}{12}=2 \\ & \therefore \quad V D=V E=V F=2 \sqrt{37} \\ & \therefore \quad S_{\triangle V A B}=\frac{1}{2} A B \cdot V D=\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 \sqrt{37}=6 \sqrt{37} \\ & S_{\triangle V B C}=\frac{1}{2} B C \cdot V E=\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2 \sqrt{37}=8 \sqrt{37} \\ & S_{\triangle V A C}=\frac{1}{2} A C \cdot V F=\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2 \sqrt{37}=10 \sqrt{37} \end{aligned} $$ 因此: $$ \begin{aligned} S_{\text {三校锥全 }} & =S_{\triangle A B C}+S_{\triangle V A B}+S_{\triangle V B C}+S_{\triangle V A C} \\ & =24+6 \sqrt{37}+8 \sqrt{37}+10 \sqrt{37} \\ & =24+24 \sqrt{37} \approx 169.9\left(\mathrm{~cm}^2\right) \end{aligned} $$ 答：这个三棱雉的全面积约为 $169.9 \mathrm{~cm}^2$.  例 2.19 已知一个圆锥的底面半径为 $R$, 高为 $H$, 在其中有一个高为 $x$ 内接圆柱. 1. 求圆柱的侧面积. 2. $x$ 为何值时, 圆柱的侧面积最大? 解: 1. 画圆锥及其内接圆柱的轴截面图（图 2.50） 设内接圆柱的底面半径为 $r$, 圆雉的底面半径为 $R$. 那么内接圆柱的侧面积 $$ S_{\text {圆杜侧 }}=2 \pi r x $$ $$ \begin{aligned} & \text { 又 } \because \quad \frac{r}{R}=\frac{H-x}{H} \\ & \therefore \quad r=R-\frac{R}{H} x \\ & \therefore \quad S_{\text {圆杜侧 }}=2 \pi R x-\frac{2 \pi R}{H} x^2 \end{aligned} $$ 2. 因为 $S_{\text {四杜侧 }}$ 的表示式中, $x^2$ 的系数小于零, 所以这个二次函数有最大值,当这个二次函数达到最大值时, 圆柱的侧面积最大. 这时圆柱的高是 $$ x=-\frac{2 \pi R}{-2 \cdot \frac{2 \pi R}{H}}=\frac{H}{2} $$ 答: 当圆柱的高是已知高一半时, 它的侧面积最大. 例 2.20 若圆锥的侧面积等于和它等高、等底的圆柱的侧面积时, 求圆锥轴截面顶角的度数.  解: 如图 2.51, 设圆雉、圆柱的高为 $h$, 底面半径为 $r$, 则 $$ \begin{aligned} & S_{\text {圆杜㴊 }}=2 \pi r h \\ & S_{\text {圆锥等 }}=\pi r \ell=\pi r \sqrt{h^2+r^2} \end{aligned} $$ 根据已知条件, $$ \begin{aligned} 2 \pi r h & =\pi r \sqrt{h^2+r^2} \\ \frac{h}{\sqrt{h^2+r^2}} & =\frac{1}{2} \end{aligned} $$ $$ \text { 即: } \begin{aligned} & \cos \frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}, 0^{\circ}<\alpha<180^{\circ} \\ & \therefore \quad \frac{\alpha}{2}=60^{\circ}, \quad \alpha=120^{\circ} \\ & \text { 答，轴截面顶角等于 } 120^{\circ} \end{aligned} $$ 答：轴截面顶角等于 $120^{\circ}$.
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