最后更新: 2025-10-21 13:41 查看: 368 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

棱柱、棱锥和棱台的表面积

## 棱柱、棱锥、棱台表面积公式汇总

![图片](/uploads/2025-10/c51908.jpg)

## 棱柱的表面积
棱柱，棱锥，棱台的表面都由底面和侧面组成，因而其表面积（也称全面积）就是其底面积和侧面积之和。由于其底面都是多边形，而多边形的面积我们已经会计算，因而计算这三种几何体的表面积的关键在于计算其侧面积。

与初中计算直棱柱，圆锥的侧面积方法一样，一般都是将棱柱，棱锥，棱台的侧面展开成平面图形，从而将其侧面积转化为平面图形的面积来计算。

![图片](/uploads/2025-02/3dd432.jpg)

如上图，将一直棱柱的侧面沿其一侧棱剪开后，其侧面展开图是一个矩形．

$$
\boxed{
S_{\text {直校柱侧 }}=C h
}
$$

C 为直棱柱的底面周长,h为为直棱柱的高

### 斜棱柱的侧面积

如下图有一个斜棱柱
 ![图片](/uploads/2025-10/3c1cf5.jpg){width=200px}

**证明:棱柱的侧面积等于侧棱长和直截面周长的乘积．**

证：如图 2．42，设棱柱为 $A C_1$ ，它的直截面为 $F G L \cdots N$ ，因为棱柱的各个侧面都是平行四边形，它的侧棱和截面的各边都垂直（例如对于平行四边形 $BB_1C_1C$ 其棱$BB_1$和$GL$ 垂直，因此 $S_{BB_1C_1C}=BB_1 * GL$），如果设 $\ell$ 是棱柱 $A C_1$ 的侧棱长，$S_{\text {棱柱侧 }}$ 表示棱柱的侧面积，则

$$
\begin{aligned}
S_{\text {棱柱侧 }} & =\ell \cdot F G+\ell \cdot G L+\cdots+\ell \cdot N F \\
& =\ell(F G+G L+\cdots+N F)=\ell \cdot p
\end{aligned}
$$

其中：$p$ 是直截面周长．

斜棱柱的侧面积也可以从它的表面展开图得出，图 2.43 是斜棱柱与直棱柱的侧面展开图。

直棱柱的侧面展开图是矩形，（图 2．43（2））这个矩形的长为直棱柱底面周长 $p$ ，宽等于直棱柱的高 $h$ ．

斜棱柱的侧面展开图如图 2．43（1）所示，将直线 $F G \cdots F$（即直截面周长展开所在的直线）下方的部分图形向上平移，使 $A B$ 与 $A_1 B_1, B C$ 与 $B_1 C_1$ ， $E A$ 与 $E_1 A_1$ 分别重合，便拼得一个矩形．这个矩形的长为棱柱直截面的周长，它的宽等于斜棱柱的侧棱，因此矩形的面积就是斜棱柱的面积．

![图片](/uploads/2025-10/42db03.jpg)

### 推论
1．直棱柱的侧面积等于底面周长与高的积．
2．如果设 $n$ 为正棱柱底边边数，$b$ 为底边长，$h$ 为正棱柱的高，则

$$
S_{\text {正棱棱侧 }}=n b h
$$

3．如果 $A$ 为棱柱底面面积，那么棱柱的全面积为它的侧面积与两底面积的和，即

$$
S_{\text {棱柱全 }}=S_{\text {棱柱侧 }}+2 A
$$

4．如果 $a, b, c$ 表长方体的三度，那么

$$
S_{\text {长方体全 }}=2(a b+b c+c a)
$$

5．如果 $a$ 表示正方体的棱长，那么

$$
S_{\text {正方体全 }}=6 a^2
$$

圆柱的侧面积，计算公式同样可由它的表面展开图得出．圆柱的侧面展开图是一个矩形，（图2.44）这个矩形的长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱侧面的母线长（即高）．因此我们可以得到计算圆柱侧面积的下述定理

![图片](/uploads/2025-10/d8947b.jpg){width=400px}

## 例题

`例`一正棱柱的对角线长是 9 cm ，全面积是 $144 \mathrm{~cm}^2$ ，求这棱柱底面的边长和侧棱的长．（图 2.45 ）

![图片](/uploads/2025-10/b2cfc4.jpg){WIDTH=200PX}

解：设棱柱底面边长是 $x \mathrm{~cm}$ ，侧棱长为 $y \mathrm{~cm}$ ，根据已知条件，有

$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x^2+y^2=9 ...(2.6) \\
4 x y+2 x^2=144 ...(2.7)
\end{array}\right.
$$

$(2.6)+(2.7)$ ，得

$$
4 x^2+4 x y+y^2=152
$$

即：$(2 x+y)^2=152$ 两边开方，得

$$
2 x+y=15
$$

（2．7）的两边除以 2 ，有

$$
2 x y+x^2=72
$$

（2．6）－（2．8），有

$$
x^2-2 x y+y^2=9
$$

即 $(x-y)^2=9$ ，两边开方，得 $x-y= \pm 3$

$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x+y=15 \\
x-y=3
\end{array}, \quad\left\{\begin{array}{l}
2 x+y=15 \\
x-y=-3
\end{array}\right.\right.
$$

解得：

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=6 \\
y=3
\end{array}, \quad\left\{\begin{array}{l}
x=4 \\
y=7
\end{array}\right.\right.
$$

答：棱柱底面边长为 6 cm ，侧棱为 3 cm ，或底面边长为 4 cm ，侧棱为 7 cm ．

`例`   斜三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 的底面是边长为 $a$ 的正三角形，侧棱的长度为 $b$ ，一条侧棱 $A A_1$ 和底面相邻两边 $A B 、 A C$ 都成 $45^{\circ}$ 角，求这三棱柱的侧面积（图 2．46）

![图片](/uploads/2025-10/6eeed2.jpg){WIDTH=200PX}

解：作 $B D \perp A_1 A$ 于 $D$（ $D$ 点也可能在 $A A_1$ 的延长线上）连结 $D C$ ．
$\because \triangle A B C$ 是正三角形，

$$
\therefore \quad A B=A C=B C=a,
$$

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