最后更新: 2025-07-23 16:39 查看: 242 次反馈同步训练

棱柱、棱锥和棱台的表面积

## 棱柱的表面积
棱柱，棱雉，棱台的表面都由底面和侧面组成，因而其表面积（也称全面积）就是其底面积和侧面积之和。由于其底面都是多边形，而多边形的面积我们已经会计算，因而计算这三种几何体的表面积的关键在于计算其侧面积。

与初中计算直棱柱，圆雉的侧面积方法一样，一般都是将棱柱，棱雉，棱台的侧面展开成平面图形，从而将其侧面积转化为平面图形的面积来计算。

![图片](/uploads/2025-02/3dd432.jpg)

如图 4．5－1，将一直棱柱的侧面沿其一侧棱剪开后，其侧面展开图是一个矩形．

$$
\boxed{
S_{\text {直校柱侧 }}=C h
}
$$

C 为直棱柱的底面周长,h为为直棱柱的高

## 棱锥的表面积
如图 4．5－2，对于正棱雉，其侧面都是全等的等腰三角形，因而，若将其侧面沿其一侧棱剪开，则可得到一个由一些全等的等腰三角形构成的平面图形．

![图片](/uploads/2025-02/b220a8.jpg)
因此，由三角形的面积计算公式可得，正棱雉的侧面积计算公式为

$$
\boxed{
S_{\text {正校准侧 }}=\frac{1}{2} C h^{\prime} 
}
$$

任意棱锥的侧面积如何来计算？

其中，$C$ 为正棱雉的底面周长，$h^{\prime}$ 为侧面等腰三角形的高．

##  棱台的表面积

如图 4．5－4，对于正棱台，若将其沿一侧棱剪开，则可得其侧面展开图是由一些全等的等腰梯形构成的平面图形。

![图片](/uploads/2025-02/f82aa0.jpg)
  
根据梯形的面积计算公式，容易得到正棱台的侧面积计算公式为

$$
\boxed{
S_{\text {正棱台侧 }}=\frac{1}{2}\left(C+C^{\prime}\right) h^{\prime}
}
$$

其中 $C, C^{\prime}$ 为棱台两底面的周长，$h^{\prime}$ 为棱台侧面的高．

`例` 如图，已知空间四边形 $A B C D, E, F$ 分别是 $A B, A D$ 的中点，$G, H$ 分别是 $B C, C D$ 上的点，且 $C G=\frac{1}{3} B C$ ， $C H=\frac{1}{3} D C$ ．求证：
（1）$E, F, G, H$ 四点共面；
（2）直线 $F H, E G, A C$ 共点．
 ![图片](/uploads/2025-07/e78181.jpg)
 
 【解析】（1）因为 $E, F$ 分别是 $A B, A D$ 的中点，
所以 $E F / / B D$ ．
又 $C G=\frac{1}{3} B C, C H=\frac{1}{3} D C$ ，
所以 $G H / / B D$ ，所以 $E F / / G H$ ，
所以 $E, F, G, H$ 四点共面．
（2）易知直线 $F H$ 与直线 $A C$ 不平行，但共面，
所以设 $F H \cap A C=M$ ，
所以 $M \in$ 平面

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