最后更新: 2025-04-14 09:36 查看: 63 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

相似三角形与平行截割定理

## 成比例的线段
**定义**
用同样的长度单位去量两条已知线段, 所得量数的比叫做两条线段的比.它是一个正实数.

例如, $\overline{A B}=4$ 厘米, $\overline{C D}=2$ 厘米, 则 $\overline{A B}: \overline{C D}=4: 2=2: 1$.
上式也可写成：

$$
\frac{\overline{A B}}{\overline{C D}}=\frac{4}{2}=\frac{2}{1}
$$

$\overline{A B}$ 叫做比的前项, $\overline{C D}$ 叫做比的后项.
根据分数的基本性质可知, 两条线段的比和选择的长度单位无关.
**定义**
四条线段 $a 、 b 、 c 、 d$, 如果满足等式 $a: b=c: d$ (或 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ ), 就说这四条线段成比例． $a 、 b 、 c 、 d$ 分别叫做比例第一、二、三、四项．第一和第四两项叫做比例外项, 第二第三两项叫做比例内项.

**定义**
三条线段 $a 、 b 、 c$, 如果满足等式 $a: b=b: c$ (或 $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$ ), $b$ 就叫做 $a$ 、 $c$ 的比例中项, $c$ 叫做 $a 、 b$ 的 比例第三项.

成比例的量有下面几条重要性质 (下面所有字母都代表不等于 0 的数).

性质 1：比例的基本性质

$$
\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Rightarrow a d=b c
$$

性质 3：反比定理

$$
\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \quad \Rightarrow \quad \frac{b}{a}=\frac{d}{c}
$$

性质 3：更比定理

$$
\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \quad \Rightarrow \quad \frac{a}{c}=\frac{b}{d}
$$

惟质 4：合比定理

$$
\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \quad \Rightarrow \quad \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}
$$

性质 5：分比定理

$$
\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \quad \Rightarrow \quad \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}
$$

性质 6：等比定理

$$
\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\cdots=\frac{r}{s} \Rightarrow \frac{a+c+e+\cdots+r}{b+d+f+\cdots+s}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\cdots=\frac{r}{s}
$$

其中: $b+d+f+\cdots+s \neq 0$

## 相似三角形
对应角相等，对应边成比例．两个相似多边形对应边的比叫做相似比，也叫做放大率或缩小率．

我们已经用实验方法得出了：“如果一个三角形的两个角和
另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似”．这实际上是判定两个三角形相似的一个判定定理．但是现在我们还不能用演绎法严格地证明它，严格的证明到了高中才能进行．但是，需要知道这个结论即可。
## 相似三角形的判定定理
**推论**
平行于三角形一边的直线, 截三角形其他两边所得的三角形与原三角形相似。

利用上述定理和推论又可推出以下两个相似三角形的判定定理：
**定理 1**
如果一个三角形的三边和另一个三角形的三边成比例，那么这两个三角形相似.

**定理 2**
如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边成比例, 并且夹角相等,那么这两个三角形相似.

## 平行截割定理
要划一个多边形的相似形, 往往要利用平行线, 这一小节我们就来学习平行截割定理.

定理
平行于三角形的一边并且和其他两边相交的直线，将其他两边分成比例线段.

已知： $\triangle A B C$ 中， $\overline{D E} / / \overline{B C}$ 交 $\overline{A B}$ 于 $D$; 交 $\overline{A C}$ 于 $E$ (图 3.101).
求证: $\frac{\overline{A D}}{\overline{D B}}=\frac{\overline{A E}}{\overline{E C}}$
证明: $\because \frac{D B}{D E} / / \overline{B C}$
$\begin{array}{ll}\therefore & \overline{\triangle A D E} \backsim \triangle A B C \\ \therefore & \overline{\overline{A B}}=\frac{\overline{A C}}{\overline{A E}}, \quad \frac{\overline{A B}-\overline{A D}}{\overline{A D}}=\frac{\overline{A C}-\overline{A E}}{\overline{A E}}\end{array}$
$\therefore \quad \frac{\overline{A D}}{\overline{D B}}=\frac{\overline{A E}}{\overline{E C}}$

![图片](/uploads/2024-09/f6dd94.jpg)
 
 
 
 把上述定理推广就得到平行截割定理.
平行截割定理
三条或三条以上的平行线, 截任意两条直线, 所截出的对应线段成比例.
已知: $A D 、 B E 、 C F$ 三条直线互相平行, 并且与任意二直线 $\ell, m$ 分别交于 $A 、 B 、 C$ 和 $D 、 E 、 F$ 各点（图3.102）。

求证: $\frac{\overline{A B}}{\overline{B C}}=\frac{\overline{D E}}{\overline{E F}}$

证明: 过 $D$ 点引 $\ell$ 的平行线与直线 $B E 、 C F$ 分别交于 $G 、 H$ 两点. 则

$$
\frac{\overline{D G}}{\overline{G H}}=\frac{\overline{D E}}{\overline{E F}}
$$

又 $\because$ 四边形 $A B G D$ 和四边形 $B C H G$ 都是平行四边形.

$$
\begin{aligned}
& \therefore \overline{\overline{D G}}=\overline{\overline{A B},}, \overline{G H}=\overline{B C} \\
& \therefore \overline{\overline{A B}}=\overline{\overline{D E}} \\
& \overline{\overline{B C}}
\end{aligned}
$$

平行截割定理的逆定理也成立. 下面的定理是平行截割定理的逆定理的特殊情况, 一般情况请同学们自己推证.

定理
一直线若将三角形的两边分成比例线段, 则这条直线平行于三角形的第三边.

例 3.42 已知：直线 $D E$ 截 $\triangle A B C$ 的 $\overline{A B}$ 边于 $D$ 点，截 $\overline{A C}$ 于 $E$ 点，并且 $\frac{\overline{A D}}{\overline{D B}}=\frac{\overline{A E}}{\overline{E C}}$ (图 3.103).

求证: $D E / / B C$.
证明: 过 $D$ 点引 $D E^{\prime} / / B C$, 交 $\overline{A C}$ 于 $E^{\prime}$ 点, 则

$$
\frac{\overline{A D}}{\overline{D B}}=\frac{\overline{A E^{\prime}}}{\overline{E^{\prime} C}}
$$

但已知 $\frac{\overline{A D}}{\overline{D B}}=\frac{\overline{A E}}{\overline{E C}}$
$\therefore \quad \frac{\overline{A E^{\prime}}}{\overline{E^{\prime} C}}=\frac{\overline{A E}}{\overline{E C}}$, 由合比定理得

$$
\therefore \quad \overline{E^{\prime} C}=\overline{E C} \quad \overline{\overline{A C}} \overline{\overline{E^{\prime} C}}=\frac{\overline{A C}}{\overline{E C}}
$$

因为 $E^{\prime}$ 和 $E$ 都在 $\overline{A C}$ 上, 所以 $E$ 和 $E^{\prime}$ 重合, $\overline{D E^{\prime}}$ 和 $\overline{D E}$ 重合, 因此 $D E / / B C$.
 
 
 ## 相似三角形的性质
 相似三角形除对应角相等, 对应边成比例外, 还有下列一些性质:
定理
1. 相似三角形周长的比等于它们的相似比.
2. 相似三角形对应高的比等于它们的相似比.
3. 相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方.

已知： $\triangle A B C \backsim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}, \overline{B C}$ 的对应边是 $\overline{B^{\prime} C^{\prime}}, \overline{A D} \perp \overline{B C}, \overline{A^{\prime} D^{\prime}} \perp \overline{B^{\prime} C^{\prime}}$ (图 3.107).
 ![图片](/uploads/2024-09/beec3f.jpg)
 求证
 1. $\frac{\overline{A B}+\overline{B C}+\overline{C A}}{\overline{A^{\prime} B^{\prime}}+\overline{B^{\prime} C^{\prime}}+\overline{C^{\prime} A^{\prime}}}=\frac{\overline{B C}}{\overline{B^{\prime} C^{\prime}}}$
2. $\frac{\overline{A D}}{\overline{A^{\prime} D^{\prime}}}=\frac{\overline{B C}}{\overline{B^{\prime} C^{\prime}}}$
3. $\frac{\triangle A B C \text { 面积 }}{\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} \text { 面积 }}=\left(\frac{\overline{B C}}{\overline{B^{\prime} C^{\prime}}}\right)^2$

证明:
1. $\because \triangle A B C \backsim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}, \overline{B C}$ 和 $\overline{B^{\prime} C^{\prime}}$ 为对应边, 设相似比为 $k$, 则

$$
\begin{aligned}
& \frac{\overline{A B}}{\overline{\overline{A^{\prime} B^{\prime}}}}=\frac{\overline{B C}}{\overline{B^{\prime} C^{\prime}}}=\frac{\overline{C A}}{\overline{C^{\prime} A^{\prime}}}=k \\
& \therefore \overline{A B}=k \overline{A^{\prime} B^{\prime}}, \quad \overline{B C}=k \overline{B^{\prime} C^{\prime}}, \quad \overline{C A}=k \overline{C^{\prime} A^{\prime}} \\
& \therefore \quad \overline{A B}+\overline{B C}+\overline{C A}=k\left(\overline{A^{\prime} B^{\prime}}+\overline{B^{\prime} C^{\prime}}+\overline{C^{\prime} A^{\prime}}\right) \\
& \therefore \quad \frac{\overline{A B}+\overline{B C}+\overline{C A}}{\overline{A^{\prime} B^{\prime}}+\overline{B^{\prime} C^{\prime}}+\overline{C^{\prime} A^{\prime}}}=k=\frac{\overline{B C}}{\overline{B^{\prime} C^{\prime}}}
\end{aligned}
$$

2. $\because \triangle A B C \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}, B$ 与 $B^{\prime}$ 是对应顶点,

$$
\begin{aligned}
& \therefore \quad \angle B=\angle B^{\prime} \\
& \text { 又 } \because \quad \overline{A D} \perp \overline{B C}, \quad \overline{A^{\prime} D^{\prime}} \perp \overline{B^{\prime} C^{\prime}} \\
& \therefore \angle A D B=\angle A^{\prime} D^{\prime} B^{\prime}=90^{\circ} \text {. } \\
& \therefore \quad \triangle A B D \backsim \triangle A^{\prime} B^{\prime} D^{\prime} . \\
& \therefore \quad \frac{\overline{A D}}{\overline{A^{\prime} D^{\prime}}}=\frac{\overline{A B}}{\overline{A^{\prime} B^{\prime}}} \text {, 而 } \frac{\overline{A B}}{\overline{A^{\prime} B^{\prime}}}=\frac{\overline{B C}}{\overline{B^{\prime} C^{\prime}}}
\end{aligned}
$$

3. $\because \triangle A B C \backsim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$

$$
\therefore \quad \frac{\overline{A D}}{\overline{A^{\prime} D^{\prime}}}=\frac{\overline{B C}}{\overline{B^{\prime} C^{\prime}}}
$$

$$
\begin{aligned}
& \frac{\triangle A B C \text { 面积 }}{\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} \text { 面积 }}=\frac{\frac{1}{2} \overline{B C} \cdot \overline{A D}}{\frac{1}{2} \overline{B^{\prime} C^{\prime}} \cdot \overline{A^{\prime} D^{\prime}}}=\frac{\overline{B C}}{\overline{B^{\prime} C^{\prime}}} \cdot \frac{\overline{A D}}{\overline{A^{\prime} D^{\prime}}} \\
& =\frac{\overline{B C}}{\overline{B^{\prime} C^{\prime}}} \cdot \frac{\overline{B C}}{\overline{B^{\prime} C^{\prime}}}=\left(\frac{\overline{B C}}{\overline{B^{\prime} C^{\prime}}}\right)^2
\end{aligned}
$$
同样可以证明相似三角形的对应中线、对应角平分线的比等于它们的相似
比．

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