最后更新: 2025-06-26 10:51 查看: 132 次反馈同步训练

成比例线段

## 成比例的线段
用同样的长度单位去量两条已知线段, 所得量数的比叫做两条线段的比.它是一个正实数.

例如, $\overline{A B}=4$ 厘米, $\overline{C D}=2$ 厘米, 则 $\overline{A B}: \overline{C D}=4: 2=2: 1$.
上式也可写成：

$$
\frac{\overline{A B}}{\overline{C D}}=\frac{4}{2}=\frac{2}{1}
$$

$\overline{A B}$ 叫做比的前项, $\overline{C D}$ 叫做比的后项.
根据分数的基本性质可知, 两条线段的比和选择的长度单位无关.

## 定义
四条线段 $a 、 b 、 c 、 d$, 如果满足等式 $a: b=c: d$ (或 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ ), 就说这四条线段成比例． $a 、 b 、 c 、 d$ 分别叫做比例第一、二、三、四项．第一和第四两项叫做比例**外项**, 第二第三两项叫做比例**内项**.
 
三条线段 $a 、 b 、 c$, 如果满足等式 $a: b=b: c$ (或 $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$ ), $b$ 就叫做 $a$ 、 $c$ 的比例**中项**, $c$ 叫做 $a 、 b$ 的 比例第三项.

成比例的量有下面几条重要性质 (下面所有字母都代表不等于 0 的数).

### 性质 1：比例的基本性质

$$
\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Rightarrow a d=b c
$$

### 性质 2：反比定理

$$
\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \quad \Rightarrow \quad \frac{b}{a}=\frac{d}{c}
$$

### 性质 3：更比定理

$$
\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \quad \Rightarrow \quad \frac{a}{c}=\frac{b}{d}
$$

### 性质 4：合比定理

$$
\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \quad \Rightarrow \quad \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}
$$

### 性质 5：分比定理

$$
\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \quad \Rightarrow \quad \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}
$$

### 性质 6：等比定理

$$
\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\cdots=\frac{r}{s} \Rightarrow \frac{a+c+e+\cdots+r}{b+d+f+\cdots+s}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\cdots=\frac{r}{s}
$$

其中: $b+d+f+\cdots+s \neq 0$

`例` 如图 18－2，在 $\triangle A B C$ 中，$D, E$ 分别是 $A B$ ，

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