最后更新: 2024-09-18 18:12 查看: 214 次反馈同步训练

椭圆的周长和面积

## 椭圆的周长和面积

本节内容仅供了解

### 椭圆的面积
椭圆所包围的面积是 $\pi a b$ ，这里的 $a$ ，和 $b$ ，是半长轴和半短轴。在圆的情况下 $a=b$ ，表达式简化为 $\pi a^2$ 。

### 椭圆的周长

椭圆的周长是 $4 a E\left(\frac{c}{a}\right)$ ，这里的函数 $E$ 是第二类完全椭圆积分。
周长为: $C=4 a \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\left(\frac{c}{a}\right)^2 \sin ^2 \theta} \mathrm{d}$ 琙者 $C=4 a \int_0^1 \frac{\sqrt{1-\left(\frac{c}{a}\right)^2 t^2}}{\sqrt{1-t^2}} \mathrm{~d} t$.
精确的无穷级数为:

$$
C=2 \pi a\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^2 \frac{c^2}{a^2}-\left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \frac{c^4}{3 a^4}-\left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\right)^2 \frac{c^6}{5 a^6}-\ldots\right]
$$

或：

$$
C=-2 \pi a \sum_{n=0}^{\infty}\left\{\left[\prod_{m=1}^n\left(\frac{2 m-1}{2 m}\right)\right]^2 \frac{c^{2 n}}{a^{2 n}(2 n-1)}\right\}
$$

拉马努金给出一较为接近的式子:

$$
C \approx \pi[3(a+b)-\sqrt{(3 a+b)(a+3 b)}]
$$

它还可以写为:

$$
C \approx 3 a \pi\left[1+\sqrt{1-\left(\frac{c}{a}\right)^2}\right]-a \pi \sqrt{\left[3+\sqrt{1-\left(\frac{c}{a}\right)^2}\right]\left[\left\llcorner+3 \sqrt{1-\left(\frac{c}{a}\right)^2}\right]\right.}
$$

还有一条近似很高的公式:

$$
C \approx \pi(a+b)\left[1+\frac{3\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2}{10+\sqrt{4-3\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2}}\right]\left[1+\left(\frac{22}{7 \pi}-1\right)\left(\frac{a-b}{a}\right)^{33} \sqrt[1000]{\left(\frac{a-b}{a}\right)^{697}}\right]
$$

## 渐开线及其导数

$$
\begin{aligned}
&\left\{\begin{array}{l}
x=a \cos t+\

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