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第十一章:解析几何与圆锥曲线
椭圆的周长和面积
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更新:
2024-09-18 18:12
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椭圆的周长和面积
## 椭圆的周长和面积 本节内容仅供了解 ### 椭圆的面积 椭圆所包围的面积是 $\pi a b$ ,这里的 $a$ ,和 $b$ ,是半长轴和半短轴。在圆的情况下 $a=b$ ,表达式简化为 $\pi a^2$ 。 ### 椭圆的周长 椭圆的周长是 $4 a E\left(\frac{c}{a}\right)$ ,这里的函数 $E$ 是第二类完全椭圆积分。 周长为: $C=4 a \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\left(\frac{c}{a}\right)^2 \sin ^2 \theta} \mathrm{d}$ 琙者 $C=4 a \int_0^1 \frac{\sqrt{1-\left(\frac{c}{a}\right)^2 t^2}}{\sqrt{1-t^2}} \mathrm{~d} t$. 精确的无穷级数为: $$ C=2 \pi a\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^2 \frac{c^2}{a^2}-\left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \frac{c^4}{3 a^4}-\left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\right)^2 \frac{c^6}{5 a^6}-\ldots\right] $$ 或: $$ C=-2 \pi a \sum_{n=0}^{\infty}\left\{\left[\prod_{m=1}^n\left(\frac{2 m-1}{2 m}\right)\right]^2 \frac{c^{2 n}}{a^{2 n}(2 n-1)}\right\} $$ 拉马努金给出一较为接近的式子: $$ C \approx \pi[3(a+b)-\sqrt{(3 a+b)(a+3 b)}] $$ 它还可以写为: $$ C \approx 3 a \pi\left[1+\sqrt{1-\left(\frac{c}{a}\right)^2}\right]-a \pi \sqrt{\left[3+\sqrt{1-\left(\frac{c}{a}\right)^2}\right]\left[\left\llcorner+3 \sqrt{1-\left(\frac{c}{a}\right)^2}\right]\right.} $$ 还有一条近似很高的公式: $$ C \approx \pi(a+b)\left[1+\frac{3\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2}{10+\sqrt{4-3\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2}}\right]\left[1+\left(\frac{22}{7 \pi}-1\right)\left(\frac{a-b}{a}\right)^{33} \sqrt[1000]{\left(\frac{a-b}{a}\right)^{697}}\right] $$ ## 渐开线及其导数 $$ \begin{aligned} &\left\{\begin{array}{l} x=a \cos t+\frac{a b E\left(t, \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right) \sin t}{\sqrt{a^2 \sin ^2 t+b^2 \cos ^2 t}} \\ y=b \sin t+\frac{b^2 E\left(t, \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right) \cos t}{\sqrt{a^2 \sin ^2 t+b^2 \cos ^2 t}} \end{array}\right. \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} &\left\{\begin{array}{l} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{dt}}=\frac{\left[b^2 \sin 2 t-2 b^2 \sin t \cdot E\left(t, \frac{\sqrt{a^2-r^2}}{a}\right)\right]\left(a^2 \sin ^2 t+b^2 \cos ^2 t\right)-a b\left(a^2-b^2\right) \sin 2 t \cdot E\left(t, \frac{\sqrt{a^2-r^2}}{a}\right) \sin t}{2\left(a^2 \sin ^2 t+b^2 \cos ^2 t\right) \sqrt{a^2 \sin ^2 t+b^2 \cos ^2 t}}-a \sin t \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{dt}}=\frac{\left[b^3 \sin 2 t-2 a b^2 \sin t \cdot E\left(t, \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{\Omega}\right)\right]\left(a^2 \sin ^2 t+b^2 \cos ^2 t\right)-a b^2\left(\Omega^2-b^2\right) \sin 2 t \cdot E\left(t, \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right) \sin t}{2 a\left(a^2 \sin ^2 t+b^2 \cos ^2 t\right) \sqrt{a^2 \sin ^2 t+b^2 \cos ^2 t}}+b \cos t \\ \end{array}\right.\\ &\text { 有了椭圆渐开线的导数,可以计算它的长度,其中 } E\left(t, \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right) \text { 是第二类完全椭圆积分。 } \end{aligned} $$
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