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高中数学
第十章：解析几何与圆锥曲线
椭圆焦点三角形面积
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2025-05-31 12:01
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椭圆焦点三角形面积
## 椭圆焦点三角形 参考下图 {width=300px} 椭圆上的点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 与两焦点构成的 $\triangle P F_1 F_2$ 叫做焦点三角形．如图所示，设 $\angle F_1 P F_2=\theta$ ． （1）当 $P$ 为短轴端点时，$\theta$ 最大，$S_{\triangle F_1 P F_2}$ 最大． （2）$S_{\triangle F_1 P F_2}=\frac{1}{2}\left|P F_1\right|\left|P F_2\right| \sin \theta=b^2 \tan \frac{\theta}{2}=c|y 0|$ ． （3）$\left|P F_1\right|_{\max }=a+c,\left|P F_1\right|_{\min }=a-c$ ． （4）$\left|P F_1\right| \cdot\left|P F_2\right| \leqslant\left(\frac{\left|P F_1\right|+\left|P F_2\right|}{2}\right) 2=a^2$ ． （5） $4 c^2=\left|P F_1\right|^2+\left|P F_2\right|^2-2\left|P F_1\right|\left|P F_2\right| \cos \theta$ ． （6）焦点三角形的周长为 $2(a+c)$ ． 关于（1）-（6）的结论，可以自己证明一下，下面给出 （2）的证明。 ### 证明 设 $\left|P F_1\right|=r_1,\left|P F_2\right|=r_2$, 则 $S=\frac{1}{2} r_1 r_2 \sin \theta$. 又 $\left|F_1 F_2\right|=2 c$,由余弦定理有 $(2 {c})^2=r_1{ }^2+r_2{ }^2
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