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解析几何(圆锥曲线)
椭圆
椭圆中点弦斜率与方程
日期:
2023-11-03 22:11
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椭圆中点弦斜率与方程
**椭圆中点弦斜率:** $\mathrm{AB}$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的不平行于对称轴的弦, $\mathrm{M}\left(\mathrm{x}_0, \mathrm{y}_0\right)$ 为 $\mathrm{AB}$的中点, 则 $K_{O A} \cdot K_{A B}=\frac{b^2}{a^2}$, 即 $K_{A B}=\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$. ![图片](/uploads/2023-11/image_20231103030b81f.png) 证明:设 $A\left(x_k, y_A\right), B\left(x_B, y_B\right)$, 中点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 可知 $\mathrm{x}_0=\frac{x_A+x_B}{2}, \mathrm{y}_0=\frac{y_A+y_B}{2}$ $\mathrm{K}_{O \mathrm{M}} \cdot \mathrm{K}_{\mathrm{AB}}=\frac{y_A+y_B}{x_A+x_B} \cdot \frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}=\frac{y_{A^2}-y_{B^2}}{x_{A^2}-x_{B^2}}$又 $\frac{x_{A^2}}{a^2}+\frac{y_{A^2}}{b^2}=1, \frac{x_{B^2}}{a^2}+\frac{y_{B^2}}{b^2}=1$, 则 $\frac{x_{A^2}-x_{B^2}}{a^2}=-\frac{y_{A^2}-y_{B^2}}{b^2}$ 所以 $K_{0 X} \cdot K_{A B}=-\frac{b^2}{a^2}, K_{A B}=$ 即 $K_{A B}=\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$, **椭圆中点弦方程** ![图片](/uploads/2023-11/image_20231103e3d7b4a.png) 证明: 由上面的结论得: $\mathrm{K}_{0 \mathrm{x}} \cdot \mathrm{K}_{\mathrm{AB}}=-\frac{b^2}{a^2}, \mathrm{~K}_{\mathrm{AB}}=-\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$, $\therefore$ 弦 $\mathrm{AB}$ 方程为 $\mathrm{y}-\mathrm{y}_0=-\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}\left(\mathrm{x}-\mathrm{x}_0\right)$, 即 $\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}=\frac{x_0{ }^2}{a^2}+\frac{y_0{ }^2}{b^2}$;
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