最后更新: 2024-11-17 21:42 查看: 1532 次反馈刷题

椭圆中点弦斜率与方程

## 椭圆中点弦斜率
如图$AB$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上不平行于对称轴的弦, ${M}\left({x}_0, {y}_0\right)$ 为 弦${AB}$的中点, 则 $K_{O A} \cdot K_{A B}=\dfrac{b^2}{a^2}$, 
即 $K_{A B}=-\dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$.
此即为椭圆中点弦斜率。
 ![图片](/uploads/2024-09/7fd3e4.jpg){width=300px}

**证法1**：设 $A\left(x_A, y_A\right), B\left(x_B, y_B\right)$, 中点 $M\left(x_0, y_0\right)$

根据中点弦定理，可知 ${x}_0=\dfrac{x_A+x_B}{2}, {y}_0=\dfrac{y_A+y_B}{2}$

所以${K}_{OM} \cdot {K}_{AB}=\dfrac{y_A+y_B}{x_A+x_B} \cdot \dfrac{y_A-y_B}{x_A-x_B}=\dfrac{y_{A^2}-y_{B^2}}{x_{A^2}-x_{B^2}}$ ... ①

又 $\dfrac{x_{A^2}}{a^2}+\dfrac{y_{A^2}}{b^2}=1, \dfrac{x_{B^2}}{a^2}+\dfrac{y_{B^2}}{b^2}=1$,

则 $\dfrac{x_{A^2}-x_{B^2}}{a^2}=-\dfrac{y_{A^2}-y_{B^2}}{b^2}$

移项的

$\dfrac{x_{A^2}-x_{B^2}}{y_{A^2}-y_{B^2}}=-\dfrac{b^2}{a^2}$...②

比较①②，所以 $K_{O M} \cdot K_{A B}=-\dfrac{b^2}{a^2}$

即 $K_{A B}=-\dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$。

**证法2(设而不求法)**: $A,B$两点带入椭圆方程：
$\left\{\begin{array}{l}\dfrac{x_1^2}{a^2}+\dfrac{y_1^2}{b^2}=1 \\ \dfrac{x_2^2}{a^2}+\dfrac{y_2^2}{b^2}=1\end{array}\right.$, 两式相减并整理得

$\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\dfrac{b^2}{a^2} \dfrac{x_1+x_2}{y_1+y_2}$, 是 $k_{A B}=-\dfrac{b^2}{a^2} \dfrac{x_0}{y_0}$

>中点弦常用设而不求的点差法（例如上面证法2），这种方法过程较为固定，没有太大变化，平方差公式变形出来两部分，一部分是两点斜率，一部分是中点关系。

### 推广
上述证明方法也称之为点差法, 对于双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$, 则 $k_{A B}=\frac{b^2}{a^2} \frac{x_0}{y_0}$;
对于抛物线 $y^2=2 p x(p>0)$, 则 $k_{A B}=\frac{p}{y_0} 。$

## 例题

`例`(武汉高二期末考试) 已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的一条弦所在的直线方程是 $x-y+3=0$,弦的中点坐标是 $M(-2,1)$, 则椭圆的离心率是（）

A、 $\frac{1}{2}$
B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$
分析: 本题中弦的斜率 $k_{A B}=1$ 且
$k_{O M}=-\frac{1}{2}$, 根据定理有 $\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{2}$,
即 $\frac{a^2-c^2}{a^2}=1-e^2=\frac{1}{2}$, 解得 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$， 选B

`例` 设直线 $y=2 x-3$ 与椭圆 $x^2+4 y^2=4$ 相交于不同的 $A, B$ 两点, 求弦 $A B$ 中点 $C$ 的坐标.
 解: 设点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$, 则 $x_1, x_2$ 是方程组 $\left\{\begin{array}{l}y=2 x-3 \\ x^2+4 y^2=4\end{array}\right.$ 的解。
 
 消去 $x$ 所得方程 $17 x^2-48 x+32=0$ 的两个实数根. 
 根据韦达定理(根与系数的关系)，故可得 $x_1+x_2=\frac{48}{17}$. 
 
 进而有 $y_1+y_2=2\left(x_1+x_2\right)-6=-\frac{6}{17}$.
 
 所以, 弦 $A B$ 中点 $C$ 的坐标为 $C\left(\frac{24}{17},-\frac{3}{17}\right)$.

> 本题的核心是无需解出$x_1,x_2$,采用整体带入

## 椭圆中点弦方程

![图片](/uploads/2024-09/7fd3e4.jpg){width=300px}

证明: 由上面的结论得:${K}_{AB}=-\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$,

$\therefore$ 弦 ${AB}$ 方程为 ${y}-{y}_0=-\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}\left({x}-{x}_0\right)$,

即
$$
\boxed{
\dfrac{x_0 x}{a^2}+\dfrac{y_0 y}{b^2}=\dfrac{x_0{ }^2}{a^2}+\dfrac{y_0{ }^2}{b^2}
}
$$

`例`过椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ 内一点 $M(2,1)$ 引一条弦, 使弦被 $M$ 点平分, 求这条弦所在直线的方程.

解：设直线与椭圆的交点为 $A\left(x_1, y_1\right) 、 B\left(x_2, y_2\right)$,
$M(2,1)$ 为 $A B$ 的中点, $\therefore x_1+x_2=4, y_1+y_2=2$.
又 $A 、 B$ 两点在椭圆上, 则 $x_1{ }^2+4 y_1{ }^2=16, x_2{ }^2+4 y_2{ }^2=16$,
两式相减得 $\left(x_1^2-x_2^2\right)+4\left(y_1^2-y_2^2\right)=0$ 。
于是 $\left(x_1+x_2\right)\left(x_1-x_2\right)+4\left(y_1+y_2\right)\left(y_1-y_2\right)=0$ ，

$$
\therefore \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\frac{x_1+x_2}{4\left(y_1+y_2\right)}=-\frac{4}{4 \times 2}=-\frac{1}{2}
$$

即 $k_{A B}=-\frac{1}{2}$, 故所求直线的方程为 $y-1=-\frac{1}{2}(x-2)$, 即 $x+2 y-4=0$.

## 进一步探讨中点弦

**问题引入1**：已知点 $M$ 为椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上任意一点，过原点的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点, 试判定直线 $A M$与 $B M$ 的斜率之积是否为定值？如是请求出定值；如不是，请说明理由.

解：我们先用电脑模拟一下，如下图，可以看到结果是定值。
 ![1.gif](/uploads/2024-09/0340e5.gif){width=350px}
 
  令 点 $M$ 的坐标为 $(x, y)$, 点 $A\left(x_0, y_0\right)$,
则点 $B$ 的坐标为 $\left(-x_0,-y_0\right)$
从而 $\boldsymbol{k}_{A M}=\frac{y-y_0}{x-x_0}, \boldsymbol{k}_{B M}=\frac{y+y_0}{x+x_0}$
则 $\boldsymbol{k}_{A M} \cdot \boldsymbol{k}_{B M}=\frac{y^2-y_0^2}{x^2-x_0^2}=\frac{b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)-b^2\left(1-\frac{x_0^2}{a^2}\right)}{x^2-x_0^2}=-\frac{b^2}{a^2}$.

**问题引入2**：已知直线 (与椭圆 C: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 相交于 $A, B$两点，若点 $M$ 为 $A B$ 中点，试判断直线 $O M$ 与直线 $l$ 的斜率之积是否为定值？如是，请求出定值；如不是，请说明理由.
解: 先看电脑模拟。
 ![2.gif](/uploads/2024-09/30d5e0.gif){width=350px}
令点 A 的坐标为 $\left(x_1, y_1\right)$, 点 B 的坐标为 $\left(x_2, y_2\right)$,点 $M$ 的坐标为 $\left(x_0, y_0\right)$.

则 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1 \\ \frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1\end{array}\right.$, 两式相减, 得: $\frac{x_1^2-x_2^2}{a^2}=-\frac{y_1^2-y_2^2}{b^2}$,整理得： $\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} \cdot \frac{y_1+y_2}{x_1+x_2}=-\frac{b^2}{a^2} \Rightarrow \frac{\mathrm{y}_1-y_2}{x_1-x_2} \cdot \frac{y_0}{x_0}=-\frac{b^2}{a^2}$.即 $\boldsymbol{k}_{A M} \cdot \boldsymbol{k}_{B M}=-\frac{b^2}{a^2}$ 。

其实，进一步分析下两个引入的关系，如果在引入②中，按照下图做个点A关于原点的对称点，引入①和引入②本质上其实是一样的。
 ![图片](/uploads/2024-09/7e0e56.jpg){width=350px}
 
 ### 记忆方法
 
 椭圆中定值：
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ，令 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$ ，得: $\left(\frac{y}{x}\right)^2=-\frac{b^2}{a^2}$

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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