最后更新: 2025-05-31 14:39 查看: 1709 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

双曲线的定义与标准方程

## 双曲线的引入

**定义** 平面上到两个定点 $F_1, F_2$ 的距离之差的绝对值为正常数 (小于 $\left|F_1 F_2\right|$ ) 的点的轨迹叫作**双曲线**. 这两个定点 $F_1, F_2$ 叫作双曲线的**焦点**, 两个焦点之间的距离 $\left|F_1 F_2\right|$叫作双曲线的**焦距**.

实验演示：如图, 把一条拉开一部分的拉链分成一长一短两条边, 将拉开的两头固定在 $F_1$ 和 $F_2$ 处 (拉链两边的长度之差小于 $F_1, F_2$ 间的距离), 将铅笔尖放在拉链张开处 $P$ 点, 慢慢拉开拉链, 使铅笔尖慢慢移动, 画出图形的一部分; 再把拉链的两边交换位置分别固定在 $F_1$ 和 $F_2$ 处, 用同样的方法可以画出图形的另一部分.
 ![图片](/uploads/2024-09/5783a0.jpg)
 从画图过程可以发现, $F_1, F_2$ 两点的位置保持不变, 动点 $P$ 到两定点 $F_1$ 和 $F_2$的距离之差始终保持不变, 等于拉链原长短边的长度之差.

通过实验画出的图形就是双曲线,。

## 双曲线的基本定义

平面内的一个点 $P$，它到两个定点$F_1, F_2$的差为固定值（$2a$）的轨迹就是双曲线。

根据定义，双曲线用集合表示就是，参考下图

$S=\left\{P:|| P F_2|-| P F_1 \|=2 a\right\}$

双曲线的标准方程为：

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0) .$

![图片](/uploads/2023-05/e47b97.svg)

## 双曲线的标准方程
平面内到两定点距离的差的绝对值等于常数（常数小于两定点间的距离）的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做焦距．根据双曲线的定义，我们来求它的方程：
 ![图片](/uploads/2024-05/2d53d1.jpg)

设$F_1$、$F_2$是双曲线的两个焦点，取射线$F_1F_2$的方向作为$x$轴的正方向，$\overline{F_1F_2}$的垂直平分线作为$y$轴（图6.6）．
若$\overline{F_1F_2}=2c$, 则两焦点的坐标分别为$F_1(-c,0)$, $F_2(c,0)$.

再设$P(x,y)$是双曲线上任一点，则由双曲线的定义有
 $|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a $
因$\overline{PF_1}=\sqrt{(x+c)^2+y^2}$,
$\overline{PF_2}=\sqrt{(x-c)^2+y^2}$, 
代入上式，得方程
 $\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm 2a $
去根号，整理得
$$
    (a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2) ...(6.1)
$$
这个式子和[椭圆方程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=155)在外形上完全一样，
这里，由双曲线的定义$2c>2a$, 即 $ c > a $
所以$a^2-c^2<0$, 故设$a^2-c^2=-b^2\; (b>0)$, 代入(6.1)
式得
 $-b^2x^2+a^2y^2=-a^2b^2 $
两边同除$-a^2b^2$得

$$
\boxed{
    {\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1} ...(6.5)
    }
$$

这就是**双曲线的标准方程**,它所表示的双曲线的焦点在$x$轴上，焦点是$F_1(-c,0)$、$F_2(c,0)$．这里$c^2=a^2+b^2$.

如果取$F_1$、$F_2$的连线作为$y$轴，取$F_1F_2$的垂直平分
线作为$x$轴，在这一坐标系中，仿上面的方法可得双曲线的
方程为
$$
\boxed{
   {\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1} ...(6.6)
   }
$$

它表示双曲线的焦点在$y$轴上，焦点是$F_1(0,-c)$, $F_2(0,c)$

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：椭圆的周长和面积

下一篇：双曲线离心率

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)