最后更新: 2025-02-08 08:45 查看: 607 次反馈刷题

双曲线的定义与标准方程

## 双曲线的引入
平面上到两个定点 $F_1, F_2$ 的距离之差为常数的点的轨迹又是什么曲线呢?先通过实验将这样的曲线画出来, 观察它的形状.

实验如图所示, 把一条拉开一部分的拉链分成一长一短两条边, 将拉开的两头固定在 $F_1$ 和 $F_2$ 处 (拉链两边的长度之差小于 $F_1, F_2$ 间的距离), 将铅笔尖放在拉链张开处 $P$ 点, 慢慢拉开拉链, 使铅笔尖慢慢移动, 画出图形的一部分; 再把拉链的两边交换位置分别固定在 $F_1$ 和 $F_2$ 处, 用同样的方法可以画出图形的另一部分.
 ![图片](/uploads/2024-09/5783a0.jpg)
 从画图过程可以发现, $F_1, F_2$ 两点的位置保持不变, 动点 $P$ 到两定点 $F_1$ 和 $F_2$的距离之差始终保持不变, 等于拉链原长短边的长度之差.

平面上到两个定点 $F_1, F_2$ 的距离之差的绝对值为正常数 (小于 $\left|F_1 F_2\right|$ ) 的点的轨迹叫作**双曲线**. 这两个定点 $F_1, F_2$ 叫作双曲线的**焦点**, 两个焦点之间的距离 $\left|F_1 F_2\right|$叫作双曲线的**焦距**.

通过实验画出的图形就是双曲线, 它由两条曲线组成, 其中每一条叫作双曲线的一支. 双曲线由这两支共同组成.

## 双曲线的基本定义

平面内的一个点 $P$，它到两个定点$F_1, F_2$的差为固定值（$2a$）的轨迹就是双曲线。

根据定义，双曲线用集合表示就是，参考下图

$S=\left\{P:|| P F_2|-| P F_1 \|=2 a\right\}$

双曲线的标准方程为：

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0) .$

![图片](/uploads/2023-05/e47b97.svg)

## 双曲线的标准方程和形状
平面内到两定点距离的差的绝对值等于常数（常数小于两定点间的距离）的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做焦距．根据双曲线的定义，我们来求它的方程：
 ![图片](/uploads/2024-05/2d53d1.jpg)

设$F_1$、$F_2$是双曲线的两个焦点，取射线$F_1F_2$的方向作为$x$轴的正方向，$\overline{F_1F_2}$的垂直平分线作为$y$轴（图6.6）．
若$\overline{F_1F_2}=2c$, 则两焦点的坐标分别为$F_1(-c,0)$, $F_2(c,0)$.

再设$P(x,y)$是双曲线上任一点，则由双曲线的定义有
 $|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a $
因$\overline{PF_1}=\sqrt{(x+c)^2+y^2}$,
$\overline{PF_2}=\sqrt{(x-c)^2+y^2}$, 
代入上式，得方程
 $\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm 2a $
去根号，整理得
$$
    (a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2) ...(6.1)
$$
这个式子和[椭圆方程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=155)在外形上完全一样，
这里，由双曲线的定义$2c>2a$, 即 $ c > a $
所以$a^2-c^2<0$, 故设$a^2-c^2=-b^2\; (b>0)$, 代入(6.1)
式得
 $-b^2x^2+a^2y^2=-a^2b^2 $
两边同除$-a^2b^2$得

$$
\boxed{
    {\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1} ...(6.5)
    }
$$

这就是**双曲线的标准方程**,它所表示的双曲线的焦点在$x$轴上，焦点是$F_1(-c,0)$、$F_2(c,0)$．这里$c^2=a^2+b^2$.

如果取$F_1$、$F_2$的连线作为$y$轴，取$F_1F_2$的垂直平分
线作为$x$轴，在这一坐标系中，仿上面的方法可得双曲线的
方程为
$$
\boxed{
   {\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1} ...(6.6)
   }
$$

它表示双曲线的焦点在$y$轴上，焦点是$F_1(0,-c)$, $F_2(0,c)$ 的双曲线，这里 $c^2=a^2+b^2$.如下图
 ![图片](/uploads/2025-02/0d40af.jpg){width=300px}

##  双曲线的性质
### 双曲线的对称性
首先，与椭圆方程一样，双曲线方程 ${\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1}$只含有$x$、$y$的平方，故把其中一个坐标变号，对于方程没有影响，这就表明，如果点$M(x,y)$在双曲线上，那么$M_1(x,-y)$、$M_2(-x,-y)$、$M_3(-x,y)$等也都在双曲线上，所以，双曲线是以$x$轴或$y$轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，对称中心又叫做双曲线的中心。

### 双曲线的范围
其次，由${\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1}$方程得
 $\dfrac{x^2}{a^2}\ge 1,\qquad x^2\ge a^2 $
则$x\ge a$或$x\le -a$．这说明双曲线在两条直线$x=a$, $x=-a$所夹平面区域的外侧。

### 双曲线的形态
 最后我们讨论双曲线在第I象限内的性态，在第I象限，方程${\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1}$可写为
 
 $y=\dfrac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}\qquad (x\ge a) $
 
 
当$x=a$时，$y=0$, 当$x$由$a$递增且趋向$\infty$, $y$也由0递增趋向，方程的轨迹趋向无穷远（图6.7），

但由于
 $y=\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}=\frac{b}{a}x\sqrt{1-\left(\frac{a}{x}\right)^2}<\frac{b}{a}x $
即
 $\frac{b}{a}x-\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}>0 $

所以，当$x$由$a$趋向$\infty$时，相应的$y$值愈来愈接近$\frac{b}{a}x$, 而又不会大于$\frac{b}{a}x$，
这说明，双曲线在第I象限的部分永远在射线$y=\frac{b}{a}x\; (x\ge 0)$的下方并且逐渐接近于射线$y=\frac{b}{a}x\; (x\ge 0)$. 由对称性，可推知双曲线在其它象限的性态（图6.7）．
 ![图片](/uploads/2024-05/d5ff63.jpg)

### 双曲线的渐近线
从上面分析知道，双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 处于两条相交直线 $y= \pm \frac{b}{a} x$ 所围成的，包含 $x$ 轴在内的两个区域中．从图象上看，双曲线的两支向两端无限延伸，越来越接近于这两个区域的边界直线 $y= \pm \frac{b}{a} x$ ．
直线$y=\frac{b}{a}x$和$y=-\frac{b}{a}x$叫做**双曲线的渐近线**．

过双曲线的两个顶点 $A_1(-a, 0), A_2(a, 0)$ 分别作 $y$ 轴的平行线 $x= \pm a$ ，经过 $B_1(0,-b), B_2(0, b)$ 分别作 $x$ 轴的平行线 $y= \pm b$ ，这四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在的直线就是双曲线的两条渐近线 $y= \pm \frac{b}{a} x$ ．

![图片](/uploads/2025-02/6c3640.jpg){width=350px}

### 双曲线的实轴与虚轴
令$y=0$, $x=\pm a$, 点$A_1(-a,0)$, $A_2(a,0)$叫做双曲线的顶点，$\overline{A_1A_2}$叫做双曲线的**实轴**，它的长等于$2a$, $a$叫做双曲线的实半轴长．

令$x=0$, $y=\pm b\sqrt{-1}$, 这说明双曲线和$y$轴没有交点．在$Y$轴上作$B_1(0,-b)$, $B_2(0,b)$, $\overline{B_1B_2}$叫做双曲线的**虚轴**，它的长等于$2b$, $b$叫做双曲线虚半轴长．实轴和虚轴等长的双曲线叫做**等轴双曲线**

双曲线$a,b,c$关系如下
$a$:实轴长
$b$:虚轴长(图中未标出)
$c$:双曲线焦距长
关系：$a^2+b^2=c^2$
 ![图片](/uploads/2025-02/830fab.jpg){width=400px}

### 共轭双曲线
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴所得到的双曲线叫做原双曲线的**共轭双曲线**．

由这个定义可知，双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$与$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=-1$
是互为共轭双曲线．
 ![图片](/uploads/2024-05/b4cac4.jpg)

作为练习，请同学证明：双曲线和它的共轭双曲线有相词的渐近线．

### 双曲线 $a,b,c$ 的定义
如果把$a,b,c$画在一起，则其结构图如下

![图片](/uploads/2023-11/c23472.svg)

所有双曲线都有共同的特征，由两条曲线组成，每条曲线都有一个顶点和一个焦点。双曲线的横轴是穿过顶点和焦点的轴，双曲线的共轭轴与之垂直。我们可以在下图中看到双曲线方程的标准形式的图形。如果给定双曲线的方程不是标准形式，那么我们需要完成平方，使其成为标准形式。

我们可以在下面给出的标准方程的双曲线图形中观察到双曲线的不同部分。

![图片](/uploads/2023-11/d8a289.jpg)

## 双曲线离心率
和定义椭圆的离心率$e$一样，对于双曲线，比值
 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^2} $
也叫做**双曲线的离心率**，因为$c>a$, 所以双曲线的离心率
$e>1$, 容易看出，$\frac{b}{a}$越大，$e$越大；反之，$e$越大，
$\frac{b}{a}$也越大，渐近线$y=\pm \frac{b}{a}x$的斜率的绝对值也越大，这时双曲线的开口增大越快．

> 双曲线的离心率反映了双曲线开口的大小，离心率越大，双曲线开口越大。

## 例题

`例` 设双曲线两焦点间的距离等于8, 顶点间的距离等于6, 实轴在$X$轴上，求双曲线的标准方程，离心率，渐近线方程．

解：依题意$2c=8$, $2a=6$, 所以$c=4$, $a=3$,
 $b^2=c^2-a^2=16-9=7,\qquad  b=\sqrt{7} $

所求双曲线方程为 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1 $
离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{4}{3}$，
渐近线方程为  $y=\frac{\sqrt{7}}{3}x,\qquad y=-\frac{\sqrt{7}}{3}x $

作图：如图6.9所示
 在$X$轴上作$A_1(-3,0)$, $A_2(3,0)$, 在$Y$轴上作$B_1(0,-\sqrt{7})$、$B_2(0,\sqrt{7})$, 过$A_1$、$A_2$、$B_1$、$B_2$作矩形$ABCD$, 直线$OA$, $OB$为双曲线的渐近线．
双曲线在渐近线范围内，就可得到其草图如下
  ![图片](/uploads/2024-05/44a5ad.jpg)
  
  
  
  
 `例`已知双曲线的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，虚半轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，离心率为 3 ，求该双曲线的标准方程．

解 由于双曲线的焦点在 $x$ 轴上，故可设它的标准方程为

$$
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)
$$

根据已知有

$$
\left\{\begin{array}{l}
b=2 \sqrt{2} \\
\frac{c}{a}=3 \\
a^2+b^2=c^2
\end{array}\right.
$$

解之得

$$
a^2=1, \quad b^2=8
$$
  
 故所求双曲线的标准方程为

$$
x^2-\frac{y^2}{8}=1
$$

`例` 证明：双曲线上任一点到两条渐近线的距离的乘积等于常数$\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}$
  解： 已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，它的两条渐近线方程为
 $\ell_1:\; bx+ay=0,\qquad \ell_2:\; bx-ay=0 $
设$P(x_1,y_1)$为双曲线上任一点，$P$到$\ell_1$的距离记为$d_1$，$P$
到$\ell_2$的距离记为$d_2$，则：
 $d_1=\frac{|bx_1+ay_1|}{\sqrt{a^2+b^2}},\qquad d_2=\frac{|bx_1-ay_1|}{\sqrt{a^2+b^2}} $
 $d_1\cdot d_2=\frac{|bx_1+ay_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot \frac{|bx_1-ay_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|b^2x^2_1-a^2y^2_1|}{{a^2+b^2}} $
但
 $|b^2x^2_1-a^2y^2_1|=a^2b^2 $
所以
 $d_1\cdot d_2=\frac{a^2b^2}{a^2+b^2} $

刷题

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