最后更新: 2024-09-18 22:02 ● 参与者查看: 420 次纠错分享参与项目词条搜索

双曲线的定义

## 双曲线的引入
我们知道, 平面上到两个定点 $F_1, F_2$ 的距离之和为常数 (大于 $\left|F_1 F_2\right|$ ) 的点的轨迹是椭圆. 那么, 平面上到两个定点 $F_1, F_2$ 的距离之差为常数的点的轨迹又是什么曲线呢?

先通过实验将这样的曲线画出来, 观察它的形状.
实验 如图所示, 把一条拉开一部分的拉链分成一长一短两条边, 将拉开的两头固定在 $F_1$ 和 $F_2$ 处 (拉链两边的长度之差小于 $F_1, F_2$ 间的距离), 将铅笔尖放在拉链张开处 $P$ 点, 慢慢拉开拉链, 使铅笔尖慢慢移动, 画出图形的一部分; 再把拉链的两边交换位置分别固定在 $F_1$ 和 $F_2$ 处, 用同样的方法可以画出图形的另一部分.
 ![图片](/uploads/2024-09/5783a0.jpg)
 从画图过程可以发现, $F_1, F_2$ 两点的位置保持不变, 动点 $P$ 到两定点 $F_1$ 和 $F_2$的距离之差始终保持不变, 等于拉链原长短边的长度之差.

平面上到两个定点 $F_1, F_2$ 的距离之差的绝对值为正常数 (小于 $\left|F_1 F_2\right|$ ) 的点的轨迹叫作双曲线. 这两个定点 $F_1, F_2$ 叫作双曲线的焦点, 两个焦点之间的距离 $\left|F_1 F_2\right|$叫作双曲线的焦距.

通过实验画出的图形就是双曲线, 它由两条曲线组成, 其中每一条叫作双曲线的一支. 双曲线由这两支共同组成.

## 双曲线的基本定义

平面内的一个点 $P$，它到两个定点$F_1, F_2$的差为固定值（$2a$）的轨迹就是双曲线。

根据定义，双曲线用集合表示就是，参考下图

$S=\left\{P:|| P F_2|-| P F_1 \|=2 a\right\}$

双曲线的标准方程为：

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0) .$

![图片](/uploads/2023-05/e47b97.svg)

## 双曲线的标准方程和形状
**定义**：平面内到两定点距离的差的绝对值等于常数（常数小于两定点间的距离）的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做焦距．

根据双曲线的定义，我们来求它的方程：
 ![图片](/uploads/2024-05/2d53d1.jpg)
 
 设$F_1$、$F_2$是双曲线的两个焦点，取射线$F_1F_2$的方向作为$X$轴的正方向，$\overline{F_1F_2}$的垂直平分线作为$Y$轴（图6.6）．
若$\overline{F_1F_2}=2c$, 则两焦点的坐标分别为$F_1(-c,0)$, $F_2(c,0)$.

再设$P(x,y)$是双曲线上任一点，则由双曲线的定义有
 $|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a $
因$\overline{PF_1}=\sqrt{(x+c)^2+y^2}$,
$\overline{PF_2}=\sqrt{(x-c)^2+y^2}$, 
代入上式，得方程
 $\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm 2a $
去根号，整理得
$$
    (a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)
$$
这个式子和上节得到的椭圆方程(6.1)在外形上完全一样，
这里，由双曲线的定义$2c>2a$, 即 $ c > a $
所以$a^2-c^2<0$, 故设$a^2-c^2=-b^2\; (b>0)$, 代入(6.1)
式得
 $-b^2x^2+a^2y^2=-a^2b^2 $
两边同除$-a^2b^2$得
 $$
    {\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1} ...(6.5)
$$

由上述推导过程说明，凡在双曲线上的点，它的坐标一定满足方程(6.5); 反过来，设$P_1(x_1,y_1)$的坐标满足方程(6.5), 则
 $$
 \begin{split}
    \frac{x^2_1}{a^2}-\frac{y^2_1}{b^2}&=1\\
    \overline{P_1F_1}&=\sqrt{(x_1+c)^2+y_1^2}
\end{split} 
$$

但
 $y^2_1=b^2\left(\frac{x_1^2}{a^2}-1\right)=(c^2-a^2)\left(\frac{x_1^2}{a^2}-1\right) $
代入上式，化简可得
 $$
    \overline{P_1F_1}=\left|\frac{c}{a}x_1+a\right|
  $$
同理可求
$$
    \overline{P_1F_2}=\left|\frac{c}{a}x_1-a\right|
$$

因为$c>a$, $|x|\ge a$, 所以$\left|\frac{c}{a}x_1\right|>a$，
$\frac{c}{a}x_1+a$及$\frac{c}{a}x_1-a$与$\frac{c}{a}x_1$同号．

当$x_1>0$时
 $\overline{P_1F_1}=\frac{c}{a}x_1+a,\qquad \overline{P_1F_2}=\frac{c}{a}x_1-a $
因此，
 $\overline{P_1F_1}-\overline{P_1F_2}=2a $

当$x_1<0$时，
 $\overline{P_1F_1}=-\left(\frac{c}{a}x_1+a\right),\qquad \overline{P_1F_2}=-\left(\frac{c}{a}x_1-a\right) $
因此，
 $\overline{P_1F_1}-\overline{P_1F_2}=-2a $

这就证明了，凡坐标适合方程(6.5)的点都在双曲线上，由以上证明，所以方程(6.5)是所求的双曲线的方程.

我们把
$$
 {\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1} 
$$
叫做**双曲线的标准方程**,它所表示的双曲线的焦点在$X$轴上，焦点是$F_1(-c,0)$、$F_2(c,0)$．这里$c^2=a^2+b^2$.

如果取$F_1$、$F_2$的连线作为$Y$轴，取$F_1F_2$的垂直平分
线作为$X$轴，在这一坐标系中，仿上面的方法可得双曲线的
方程为
$$
   {\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1}
$$
只要将方程(6.5)中的$x$与$y$对调就可得到方程(6.8), 这一方程也叫做双曲线的标准方程，它表示双曲线的焦点在$Y$轴上，焦点是$F_1(0,-c)$, $F_2(0,c)$, $c^2=a^2+b^2$.

##  双曲线的标准方程研究它的几何形状．

首先，与椭圆方程一样，方程(6.5)中只含有$x$、$y$的平方，故把其中一个坐标变号，对于方程没有影响，这就表明，如果点$M(x,y)$在双曲线上，那么$M_1(x,-y)$、$M_2(-x,-y)$、$M_3(-x,y)$等也都在双曲线上，所以，双曲线是以$X$轴或$Y$轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，对称中心又叫做双曲线的中心，其次，由方程(6.5)得
 $\frac{x^2}{a^2}\ge 1,\qquad x^2\ge a^2 $
则$x\ge a$或$x\le -a$．这说明双曲线在两条直线$x=a$, $x=-a$所夹平面区域的外侧，最后我们讨论双曲线在第I象限内的性态，在第I象限，方程(6.5)可写为
 $y=\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}\qquad (x\ge a) $
 
 
当$x=a$时，$y=0$, 当$x$由$a$递增且趋向$\infty$, $y$也由0递
增趋向，方程的轨迹趋向无穷远（图6.7），但由于
 $y=\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}=\frac{b}{a}x\sqrt{1-\left(\frac{a}{x}\right)^2}<\frac{b}{a}x $
即
 $\frac{b}{a}x-\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}>0 $
所以，当$x$由$a$趋向$\infty$时，相应的$y$值愈来愈接近$\frac{b}{a}x$, 而
又不会大于$\frac{b}{a}x$，
这说明，双曲线在第I象限的部分永远在射线$y=\frac{b}{a}x\; (x\ge 0)$的下方并且逐渐接近于射线$y=\frac{b}{a}x\; (x\ge 0)$. 由对称性，可推知双曲线在其它象限的性态（图6.7）．
 ![图片](/uploads/2024-05/d5ff63.jpg)
 
直线$y=\frac{b}{a}x$和$y=-\frac{b}{a}x$叫做**双曲线的渐近线**．

令$y=0$, $x=\pm a$, 点$A_1(-a,0)$, $A_2(a,0)$叫做双曲线的顶点，$\overline{A_1A_2}$叫做双曲线的**实轴**，它的长等于
$2a$, $a$叫做双曲线的实半轴长．

令$x=0$, $y=\pm b\sqrt{-1}$, 这说明双曲线和$Y$轴没有
交点．在$Y$轴上作$B_1(0,-b)$, $B_2(0,b)$, $\overline{B_1B_2}$叫做双
曲线的**虚轴**，它的长等于$2b$, $b$叫做双曲线虚半轴长（图6
.7）．实轴和虚轴等长的双曲线叫做**等轴双曲线**

以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴所得到的双曲
线叫做原双曲线的**共轭双曲线**．由这个定义可知，双曲线
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$与$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$
是互为共轭双曲线（图6.8）．
 ![图片](/uploads/2024-05/b4cac4.jpg)
作为练习，请同学证明：双曲线和它的共轭双曲线有相
词的渐近线．

## 双曲线离心率

和定义椭圆的离心率$e$一样，对于双曲线，比值
 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^2} $
也叫做双曲线的离心率，因为$c>a$, 所以双曲线的离心率
$e>1$, 容易看出，$\frac{b}{a}$越大，$e$越大；反之，$e$越大，
$\frac{b}{a}$也越大，渐近线$y=\pm \frac{b}{a}x$的斜率的绝对值也越大，这时双曲线的开口增大越快．

`例` 设双曲线两焦点间的距离等于8, 顶点间的距离等于6, 实轴在$X$轴上，求双曲线的标准方程，离心率，渐近线方程并画草图．
解：依题意$2c=8$, $2a=6$, 所以$c=4$, $a=3$,
 $    b^2=c^2-a^2=16-9=7,\qquad  b=\sqrt{7} $
    所求双曲线方程为
 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1 $
离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{4}{3}$，渐近线方程为
 $y=\frac{\sqrt{7}}{3}x,\qquad y=-\frac{\sqrt{7}}{3}x $

作图：如图6.9所示
 在$X$轴上作$A_1(-3,0)$, $A_2(3,0)$, 在$Y$轴上作$B_1(0,-\sqrt{7})$、$B_2(0,\sqrt{7})$, 过$A_1$、$A_2$、$B_1$、$B_2$作矩形$ABCD$, 直线$OA$, $OB$为双曲线的渐近线．
算出一些满足所求双曲线方程的点的坐标：
 ![图片](/uploads/2024-05/488a17.jpg)
 描点连线，使曲线与渐近线逐渐接近，就可得到双曲线的草图
  ![图片](/uploads/2024-05/44a5ad.jpg)
  
 `例` 证明：双曲线上任一点到两条渐近线的距离的乘积等于常数$\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}$
  解：   已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，它的两条渐近线方程为
 $\ell_1:\; bx+ay=0,\qquad \ell_2:\; bx-ay=0 $
设$P(x_1,y_1)$为双曲线上任一点，$P$到$\ell_1$的距离记为$d_1$，$P$
到$\ell_2$的距离记为$d_2$，则：
 $d_1=\frac{|bx_1+ay_1|}{\sqrt{a^2+b^2}},\qquad d_2=\frac{|bx_1-ay_1|}{\sqrt{a^2+b^2}} $
 $d_1\cdot d_2=\frac{|bx_1+ay_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot \frac{|bx_1-ay_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|b^2x^2_1-a^2y^2_1|}{{a^2+b^2}} $
但
 $|b^2x^2_1-a^2y^2_1|=a^2b^2 $
所以
 $d_1\cdot d_2=\frac{a^2b^2}{a^2+b^2} $

## 双曲线 $a,b,c$ 的定义

下图显示的是标准双曲线（紫色） $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \quad(a>0, b>0) \cdot  \cdot \cdot (1)$ 的图形。

![图片](/uploads/2023-11/image_202311131513ec2.png)

在上面标准方程里，在方程(1)中, 令 $y=0$, 得 $x=-a$ 或 $x=a$, 可知双曲线 $C$ 与 $x$ 轴有两个交点, 可以记作 $A_1(-a, 0), A_2(a, 0)$;

令 $x=0$, 得 $-\frac{y^2}{b^2}=1$, 这个方程无实数解, 可知双曲线 $C$ 与 $y$ 轴没有交点.

双曲线 $C$ 与它的对称轴共有 2 个交点, 即 $A_1, A_2$, 这两个点都称为双曲线的顶点, 如上图 所示.

习惯上, 称线段 $A_1 A_2$ 为双曲线的实轴. 若记 $B_1(0,-b), B_2(0, b)$,则称线段 $B_1 B_2$ 为双曲线的虚轴. 显然, 双曲线的两个焦点在它的实轴所在的直线上, 而且双曲线的实轴长为 $2 a$, 虚轴长为 $2 b$. 于是, $a, b$ 分别是双曲线的半实轴长和半虚轴长.

$F_1F_2$是椭圆的焦点长度，记做 $2c$, 有上一节双曲线推导过程知道

$$
a^2+b^2=c^2
$$

如果把$a,b,c$画在一起，则其结构图如下

![图片](/uploads/2023-11/c23472.svg)

特别地, 实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线.

所有双曲线都有共同的特征，由两条曲线组成，每条曲线都有一个顶点和一个焦点。双曲线的横轴是穿过顶点和焦点的轴，双曲线的共轭轴与之垂直。我们可以在下图中看到双曲线方程的标准形式的图形。如果给定双曲线的方程不是标准形式，那么我们需要完成平方，使其成为标准形式。

我们可以在下面给出的标准方程的双曲线图形中观察到双曲线的不同部分。

![图片](/uploads/2023-11/d8a289.jpg)

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