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解析几何(圆锥曲线)
双曲线
双曲线的定义
日期:
2023-11-14 08:09
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双曲线的定义
## 双曲线的基本定义 平面内的一个点 $P$,它到两个定点$F_1, F_2$的差为固定值($2a$)的轨迹就是双曲线。 根据定义,双曲线用集合表示就是,参考下图 $S=\left\{P:|| P F_2|-| P F_1 \|=2 a\right\}$ 双曲线的标准方程为: $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0) .$ ![图片](/uploads/2023-05/e47b97.svg) ## 证明 如下图建立$xOy$坐标系, ![图片](/uploads/2023-05/image_2023052568a6962.png) 设 $P(x, y)$ 是双曲线上一点, 则 ||$P F_1 \mid-$ $\left|P F_2\right| \mid=2 a$, 因为 $\left|P F_1\right|=\sqrt{(x+c)^2+y^2}, \left|P F_2\right|=\sqrt{(x-c)^2+y^2}$ , 所以 $$ \sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}= \pm 2 a . $$ 得 $$ \frac{(x+c)^2+y^2-\left[(x-c)^2+y^2\right]}{\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}}= \pm 2 a, $$ 整理得 $$ \sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}= \pm \frac{2 c}{a} x . $$ 两式相加整理得 $$ \sqrt{(x+c)^2+y^2}= \pm\left(a+\frac{c}{a} x\right), $$ 将上式平方, 再整理得 $$ \frac{c^2-a^2}{a^2} x^2-y^2=c^2-a^2 . $$ 因为 $c>a>0$, 所以 $c^2-a^2>0$, 设 $$ c^2-a^2=b^2 $$ 且 $b>0$, 则上式可化为 $$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0) . $$ 这就是双曲线的标准方程。 ## 双曲线 $a,b,c$ 的定义 下图显示的是标准双曲线(紫色) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \quad(a>0, b>0) \cdot \cdot \cdot (1)$ 的图形。 ![图片](/uploads/2023-11/image_202311131513ec2.png) 在上面标准方程里,在方程(1)中, 令 $y=0$, 得 $x=-a$ 或 $x=a$, 可知双曲线 $C$ 与 $x$ 轴有两个交点, 可以记作 $A_1(-a, 0), A_2(a, 0)$; 令 $x=0$, 得 $-\frac{y^2}{b^2}=1$, 这个方程无实数解, 可知双曲线 $C$ 与 $y$ 轴没有交点. 双曲线 $C$ 与它的对称轴共有 2 个交点, 即 $A_1, A_2$, 这两个点都称为双曲线的顶点, 如上图 所示. 习惯上, 称线段 $A_1 A_2$ 为双曲线的实轴. 若记 $B_1(0,-b), B_2(0, b)$,则称线段 $B_1 B_2$ 为双曲线的虚轴. 显然, 双曲线的两个焦点在它的实轴所在的直线上, 而且双曲线的实轴长为 $2 a$, 虚轴长为 $2 b$. 于是, $a, b$ 分别是双曲线的半实轴长和半虚轴长. $F_1F_2$是椭圆的焦点长度,记做 $2c$, 有上一节双曲线推导过程知道 $$ a^2+b^2=c^2 $$ 如果把$a,b,c$画在一起,则其结构图如下 ![图片](/uploads/2023-11/c23472.svg) 特别地, 实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线. 所有双曲线都有共同的特征,由两条曲线组成,每条曲线都有一个顶点和一个焦点。双曲线的横轴是穿过顶点和焦点的轴,双曲线的共轭轴与之垂直。我们可以在下图中看到双曲线方程的标准形式的图形。如果给定双曲线的方程不是标准形式,那么我们需要完成平方,使其成为标准形式。 我们可以在下面给出的标准方程的双曲线图形中观察到双曲线的不同部分。 ![图片](/uploads/2023-11/d8a289.jpg)
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