最后更新: 2025-05-31 14:39 查看: 930 次反馈同步训练

双曲线的定义与标准方程

## 双曲线的引入

**定义** 平面上到两个定点 $F_1, F_2$ 的距离之差的绝对值为正常数 (小于 $\left|F_1 F_2\right|$ ) 的点的轨迹叫作**双曲线**. 这两个定点 $F_1, F_2$ 叫作双曲线的**焦点**, 两个焦点之间的距离 $\left|F_1 F_2\right|$叫作双曲线的**焦距**.

实验演示：如图, 把一条拉开一部分的拉链分成一长一短两条边, 将拉开的两头固定在 $F_1$ 和 $F_2$ 处 (拉链两边的长度之差小于 $F_1, F_2$ 间的距离), 将铅笔尖放在拉链张开处 $P$ 点, 慢慢拉开拉链, 使铅笔尖慢慢移动, 画出图形的一部分; 再把拉链的两边交换位置分别固定在 $F_1$ 和 $F_2$ 处, 用同样的方法可以画出图形的另一部分.
 ![图片](/uploads/2024-09/5783a0.jpg)
 从画图过程可以发现, $F_1, F_2$ 两点的位置保持不变, 动点 $P$ 到两定点 $F_1$ 和 $F_2$的距离之差始终保持不变, 等于拉链原长短边的长度之差.

通过实验画出的图形就是双曲线,。

## 双曲线的基本定义

平面内的一个点 $P$，它到两个定点$F_1, F_2$的差为固定值（$2a$）的轨迹就是双曲线。

根据定义，双曲线用集合表示就是，参考下图

$S=\left\{P:|| P F_2|-| P F_1 \|=2 a\right\}$

双曲线的标准方程为：

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0) .$

![图片](/uploads/2023-05/e47b97.svg)

## 双曲线的标准方程
平面内到两定点距离的差的绝对值等于常数（常数小于两定点间的距离）的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做焦距．根据双曲线的定义，我们来求它的方程：
 ![图片](/uploads/2024-05/2d53d1.jpg)

设$F_1$、$F_2$是双曲线的两个焦点，取射线$F_1F_2$的方向作为$x$轴的正方向，$\overline{F_1F_2}$的垂直平分线作为$y$轴（图6.6）．
若$\overline{F_1F_2}=2c$, 则两焦点的坐标分别为$F_1(-c,0)$, $F_2(c,0)$.

再设$P(x,y)$是双曲线上任一点，则由双曲线的定义有
 $|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a $
因$\overline{PF_1}=\sqrt{(x+c)^2+y^2}$,
$\overline{PF_2}=\sqrt{(x-c)^2+y^2}$, 
代入上式，得方程
 $\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm 2a $
去根号，整理得
$$
    (a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2) ...(6.1)
$$
这个式子和[椭圆方程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=155)在外形上完全一样，
这里，由双曲线的定义$2c>2a$, 即 $ c > a $
所以$a^2-c^2<0$, 故设$a^2-c^2=-b^2\; (b>0)$, 代入(6.1)
式得
 $-b^2x^2+a^2y^2=-a^2b^2 $
两边同除$-a^2b^2$得

$$
\boxed{
    {\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1} ...(6.5)
    }
$$

这就是**双曲线的标准方程**,它所表示的双曲线的焦点在$x$轴上，焦点是$F_1(-c,0)$、$F_2(c,0)$．这里$c^2=a^2+b^2$.

如果取$F_1$、$F_2$的连线作为$y$轴，取$F_1F_2$的垂直平分
线作为$x$轴，在这一坐标系中，仿上面的方法可得双曲线的
方程为
$$
\boxed{
   {\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1} ...(6.6)
   }
$$

它表示双曲线的焦点在$y$轴上，焦点是$F_1(0,-c)$, $F_2(0,c)$ 的双曲线，这里 $c^2=a^2+b^2$.如下图
 ![图片](/uploads/2025-02/0d40af.jpg){width=300px}

### 总结
 ![图片](/uploads/2025-05/8d4820.jpg)
 
 ![图片](/uploads/2025-05/f97e6b.jpg)
 
  ![图片](/uploads/2025-05/732a00.jpg)

##  双曲线的性质
### 双曲线的对称性
首先，与椭圆方程一样，双曲线方程 ${\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1}$只含有$x$、$y$的平方，故把其中一个坐标变号，对于方程没有影响，这就表明，如果点$M(x,y)$在双曲线上，那么$M_1(x,-y)$、$M_2(-x,-y)$、$M_3(-x,y)$等也都在双曲线上，所以，双曲线是以$x$轴或$y$轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，对称中心又叫做双曲线的中心。

### 双曲线的范围
其次，由${\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1}$方程得
 $\dfrac{x^2}{a^2}\ge 1,\qquad x^2\ge a^2 $
则$x\ge a$或$x\le -a$．这说明双曲线在两条直线$x=a$, $x=-a$所夹平面区域的外侧。

### 双曲线的形态
 最后我们讨论双曲线在第I象限内的性态，在第I象限，方程${\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1}$可写为
 
 $y=\dfrac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}\qquad (x\ge a) $
 
 
当$x=a$时，$y=0$, 当$x$由$a$递增且趋向$\infty$, $y$也由0递增趋向，方程的轨迹趋向无穷远（图6.7），

但由于
 $y=\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}=\frac{b}{a}x\sqrt{1-\left(\frac{a}{x}\right)^2}<\frac{b}{a}x $
即
 $\frac{b}{a}x-\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}>0 $

所以，当$x$由$a$趋向$\infty$时，相应的$y$值愈来愈接近$\frac{b}{a}x$, 而又不会大于$\frac{b}{a}x$，
这说明，双曲线在第I象限的部分永远在射线$y=\frac{b}{a}x\; (x\ge 0)$的下方并且逐渐接近于射线$y=\frac{b}{a}x\; (x\ge 0)$. 由对称性，可推知双曲线在其它象限的性态（图6.7）．
 ![图片](/uploads/2024-05/d5ff63.jpg)

### 双曲线的渐近线
从上面分析知道，双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 处于两条相交直线 $y= \pm \frac{b}{a} x$ 所围成的，包含 $x$ 轴在内的两个区域中．从图象上看，双曲线的两支向两端无限延伸，越来越接近于这两个区域的边界直线 $y= \pm \frac{b}{a} x$ ．
直线$y=\frac{b}{a}x$和$y=-\frac{b}{a}x$叫做**双曲线的渐近线**．

过双曲线的两个顶点 $A_1(-a, 0), A_2(a, 0)$ 分别作 $y$ 轴的平行线 $x= \pm a$ ，经过 $B_1(0,-b), B_2(0, b)$ 分别作 $x$ 轴的平行线 $y=

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