最后更新: 2025-02-08 08:56 查看: 741 次反馈刷题

双曲线离心率

## 双曲线离心率的定义

双曲线的半焦距与半实轴长之比$e=\frac{c}{a}$称为双曲线的离心率。
这里
双曲线$a,b,c$关系如下
$a$:实轴长
$b$:虚轴长(图中未标出)
$c$:双曲线焦距长
关系：$a^2+b^2=c^2$

如果把$a,b,c$画在一起，则其结构图如下

![图片](/uploads/2023-11/c23472.svg)
 
## 根据第二定义查看离心率
![图片](/uploads/2023-11/9ef186.svg)

因为 $c>a>0$, 所以双曲线离心率 $e>1$.  双曲线的离心率反映了双曲线开口的程度，离心率越小，则开口越小，离心率越大则开头越大。

![图片](/uploads/2023-05/021952.svg)

## 例题
`例`(多选)双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的离心率为 $e _1$ ，双曲线 $\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$ 的离心率为 $e _2$ ，则 $e _1+ e _2$ 的值不可能是

A． 3
B． $2 \sqrt{2}$
C．$\frac{14}{5}$
D．$\frac{5}{2}$
【解析】 $\because\left( e _1+ e _2\right)^2= e _1^2+ e _2^2+2 e _1 e _2=\frac{a^2+b^2}{a^2}+\frac{a^2+b^2}{b^2}+2 \times \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a} \times \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{b}$

$$
=2+\frac{b^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}+2 \sqrt{\frac{a^4+b^4+2 a^2 b^2}{a^2 b^2}}=2+\frac{b^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}+2 \sqrt{\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+2} \geqslant 2+2+2 \sqrt{2+2}=8
$$

当且仅当 $\frac{b^2}{a^2}=\frac{a^2}{b^2}$ 即 $a=b$ 时取等号，所以 $e _1+ e _2 \geqslant 2 \sqrt{2}$ ，故选：$C D$ ．

双曲线有两个小公式：
① 设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左，右焦点分别是 $F _1, ~ F_2$ ，点 P 为双曲线上的任意一点，若 $\angle PF _2 F_1=\alpha, \angle PF _1 F_2=\beta$ ，那么双曲线的离心率秒杀公式为：

$$
e=\frac{\sin (\alpha+\beta)}{|\sin \alpha-\sin \beta|^{\circ}}
$$

`例` 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左，右焦点分别是 $F_1, ~ F_2$ ，过 $F_1$ 作倾斜角为 $30^{\circ}$ 的直线交双曲线右支于 P 点，若 $PF _2$ 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为

解： $\because \angle PF _2 F_1=90^{\circ}, \angle PF _1 F_2=30^{\circ}$ ，
$\therefore$ 由秒杀公式得：$e=\frac{\sin \left(30^{\circ}+90^{\circ}\right)}{\left|\sin 90^{\circ}-\sin 30^{\circ}\right|}=\sqrt{3}$

②设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左，右焦点分别是 $F _1, ~ F_2$ ，点 P 为双曲线上的任意一点，则双曲线的离心率秒杀公式为：$e=\frac{\left|F_1 F_2\right|}{\left|\left|P F_1\right|-\left|P F_2\right|\right|}{ }^{\circ}$

`例`设 $F _1, F_2$ 分别是双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左，右焦点，若双曲线上存在点 A ，使 $\angle F _1 AF _2=90^{\circ},\left| AF _1\right|=3\left| AF _2\right|$ ，则双曲线的离心率为 $\qquad$
解：

$$
\begin{aligned}
& \because\left|AF_1\right|=3\left|AF_2\right| \\
& \text { 设 }\left|AF_1\right|=1, \therefore\left|AF_2\right|=3, \\
& \therefore\left|F_1 F_2\right|=\sqrt{3^2+1}=\sqrt{10} \\
& \therefore e=\frac{\left|F_1 F_2\right|}{\left|\left|A F_1\right|-\left|A F_2\right|\right|}=\frac{\sqrt{10}}{|3-1|}=\frac{\sqrt{10}}{2}
\end{aligned}
$$

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