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第十一章：解析几何与圆锥曲线
双曲线的渐近线与共轭双曲线
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更新:
2025-02-08 08:59
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双曲线的渐近线与共轭双曲线
### 双曲线的渐近线 对于标准双曲线，如果令右侧其值为0，则可以得到其渐近线方程为 $y=\frac{b}{a} x$ 与直线 $y=-\frac{b}{a} x$ 双曲线的渐近线决定了双曲线开口的程度，**如果两个双曲线渐近线相同，则可以设置 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=k$**  `例`双曲线 $C$ 与双曲线 $\frac{y^2}{2}-x^2=1$ 有共同的渐近线, 且过点 $(\sqrt{2},-\sqrt{2})$. 求双曲线 $C$ 的方程; 解：设双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{y^2}{2}-x^2=\lambda$, 把点 $(\sqrt{2},-\sqrt{2})$ 代入 $C$ 中, 即 $\frac{\sqrt{2}^2}{2}-(-\sqrt{2})^2=\lambda$, 解得 $\lambda=-1$, 所以双曲线 $C$ 的方程为 $x^2-\frac{y^2}{2}=1$. ## 共轭双曲线 {width=300px} 当双曲线 $S^{\prime}$ 的实轴是双曲线 $S$ 的虚轴，且双曲线 $S^{\prime}$ 的虚轴是双曲线 $S$ 的实轴时，称双曲线 $S^{\prime}$ 与双曲线 $S$ 为共轭双曲线。若 $S$ 的方程为 $$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1, $$ 则 $S^{\prime}$ 的方程为 $$ \frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 . $$ 双曲线及其共轭可能有共轭的直径。在狭义相对论这样的直径可以代表时间和空间的轴，其中一条双曲线代表事件在离目标给定的空间距离处中心,另一个表示距中心相应时间距离处的事件。 共轭双曲线特点为: 1. 共渐近线，与渐近线平行的直线和双曲线有且只有一个交点。 2. 焦距相等。 3. 两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于 1 。
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