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第十一章：解析几何(圆锥曲线)
双曲线
双曲线的第二定义
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2024-09-18 22:09
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双曲线的第二定义
## 双曲线的第二定义 到一个焦点的距离和到一条直线（称为准线）的距离的比例是大于1的常数的点的轨迹，就是双曲线。而这个常数称为双曲线的离心率。  对于任意一点 $P$ 对于双曲线来说，到一个焦点的距离和到相应准线的距离的商(见图表)等于偏心率: $$ \frac{\left|P F_1\right|}{\left|P l_1\right|}=\frac{\left|P F_2\right|}{\left|P l_2\right|}=e=\frac{c}{a} . $$ 这一对的证据 $F_1, l_1$ 源于这样一个事实 $\left|P F_1\right|^2=(x-c)^2+y^2,\left|P l_1\right|^2=\left(x-\frac{a^2}{c}\right)^2$ 和 $y^2=\frac{b^2}{a^2} x^2-b^2$ 满足等式 $$ \left|P F_1\right|^2-\frac{c^2}{a^2}\left|P l_1\right|^2=0 $$ 整理后，即可得到 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1.$
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