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高中数学
第十章：解析几何与圆锥曲线
双曲线的第二定义
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2025-05-31 15:02
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双曲线的第二定义
## 双曲线的第二定义 平面上到定点 $F$ 的距离与到定直线 $l$ 的距离之比 $e$ 为常数，且 $e>1$ 的点的集合。 现在根据双曲线的第二定义，推导双曲线的标准方程,参考下图。 {width=400px} 为了与已经学习的双曲线的标准方程保持一致，坐标系中心点为$M$，设定点为 $F_1 (c, 0), F_2(-c,0)$ ，定直线为 $l_1: =\frac{a^2}{c} ,l_2: =-\frac{a^2}{c}$ ， 动点 $P (x, y)$ 到 $F_1$ 与 $l_1$ 的距离之比为常数 $e=\frac{c}{a}(c>a)$ 。 由上述距离间的比例关系可得： $$ \frac{\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}}{\left|x-\frac{a^2}{c}\right|}=\frac{c}{a} $$ 化简后得：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1$ 由于 $c>a$ ，令 $c^2-a^2=b^2(b>0)$ ，就可以得到双曲线的标准方程： $$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, \quad b>0) $$ 点 $F (c, 0)$ 是椭圆的一个焦点，直线 $l: x=\frac{a^2}{c}$ 叫做椭圆的准线。 ## 有用的结论 设$M$为双曲线上一点，根据定义则有如下结论： 当 $M\left(x_0, y_0\right)$ 在右支上时，$\left|M F_1\right|=e x_0+a,\left|M F_2\right|=e x_0-a$ ． 当 $M\left(x_0, y_0\right)$ 在左支
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