最后更新: 2025-04-14 20:13 查看: 672 次反馈刷题

双曲线的第二定义

## 双曲线的第二定义为
平面上到定点 F 的距离与到定直线 $l$ 的距离之比 $e$ 为常数，且 $e>1$ 的点的集合。

现在根据双曲线的第二定义，推导双曲线的标准方程。
为了与已经学习的双曲线的标准方程保持一致，设定点为 $F (c, 0)$ ，定直线为 $l: x=\frac{a^2}{c}$ ，动点 $M (x, y)$ 到 F 与 $l$ 的距离之比为常数 $e=\frac{c}{a}(c>a)$ 。

由上述距离间的比例关系可得：$\frac{\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}}{\left|x-\frac{a^2}{c}\right|}=\frac{c}{a}$
化简过程与椭圆类似，化简后得：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1$
由于 $c>a$ ，令 $c^2-a^2=b^2(b>0)$ ，就可以得到双曲线的标准方程：

$$
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, \quad b>0)
$$

点 $F (c, 0)$ 是椭圆的一个焦点，直线 $l: x=\frac{a^2}{c}$ 叫做椭圆的准线。
双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 共有两组焦点和准线，分别为左焦点 $F _1(-c, 0)$ 和左准线 $l_1: x=-\frac{a^2}{c}$ ，以及右焦点 $F _2(c, 0)$ 和右准线 $l_2: x=\frac{a^2}{c}$ 。利用其中任意一组焦点和准线，都可以画出同一个完整的双曲线的两个半支。

下面是一个双曲线与它的两组焦点和准线。

![图片](/uploads/2025-04/124640.jpg)

如果双曲线的两个焦点对称分布在 $y$ 轴上，其方程为：

$$
\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1 \quad(a>0, \quad b>0)
$$

那么该双曲线的两条准线与 $x$ 轴平行，分别为上焦点 $(0, c)$ 和上准线 $y=\frac{a^2}{c}$ ，下焦点 $(0,-c)$ 和下准线 $y=-\frac{a^2}{c}$ 。

综上，按照第二定义，椭圆，双曲线，抛物线的几何定义统一了起来，都是到定点（焦点 F ）的距离与到定直线（准线 $l$ ）的距离的比值为定值（离心率 $e$ ）的点构成的图形，其中：

如果 $0<e<1$ ，图形为椭圆。如果 $e>1$ ，图形为双曲线。如果 $e=1$ ，图形为抛物线。

椭圆，双曲线，抛物线的焦点和准线的定义和公式也都相同，区别只是 $a$ 与 $c$ 之间的大小关系不同。（对于抛物线，可以看作是 $a=c$ ，由此可得：$\frac{p}{2}=c=\frac{a^2}{c}$ ）

## 双曲线的第二定义
到一个焦点的距离和到一条直线（称为准线）的距离的比例是大于1的常数的点的轨迹，就是双曲线。而这个常数称为双曲线的离心率。

![图片](/uploads/2023-11/42bc00.svg)

对于任意一点 $P$ 对于双曲线来说，到一个焦点的距离和到相应准线的距离的商(见图表)等于偏心率:

$$
\frac{\left|P F_1\right|}{\left|P l_1\right|}=\frac{\left|P F_2\right|}{\left|P l_2\right|}=e=\frac{c}{a} .
$$

这一对的证据 $F_1, l_1$ 源于这样一个事实 $\left|P F_1\right|^2=(x-c)^2+y^2,\left|P l_1\right|^2=\left(x-\frac{a^2}{c}\right)^2$ 和 $y^2=\frac{b^2}{a^2} x^2-b^2$ 满足等式

$$
\left|P F_1\right|^2-\frac{c^2}{a^2}\left|P l_1\right|^2=0
$$

整理后，即可得到 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1.$

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