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第十三章：立体几何
空间两点间的距离
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更新:
2024-11-06 20:32
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空间两点间的距离
## 空间两点间的距离 对于空间任意两点 $A\left(x_1, y_1, z_1\right), B\left(x_2, y_2, z_2\right)$, 我们以 $A B$ 为对角线在空间直角坐标系 $O-x y z$ 中作长方体，且长方体的所有棱分别与坐标轴平行，如图  设长方体的三条棱分别为 $A C, C D$ 和 $D B$, 则点 $C$ 的坐标为 $\left(x_1, y_2, z_1\right)$, 点 $D$ 的坐标为 $\left(x_2, y_2, z_1\right)$, 于是有 $$ \begin{aligned} & |A C|=\left|y_2-y_1\right|,|C D|=\left|x_2-x_1\right|,|D B|=\left|z_2-z_1\right| . \\ & \text { 由 }|A B|=\sqrt{|A C|^2+|C D|^2+|D B|^2} \text { 可得 } \end{aligned} $$ ### 空间两点距离公式 $$ \boxed{ |A B|=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2} . } $$ 这就是空间**两点间的距离公式**. 特别地, 原点 $O$ 到空间中任意一点 $P(x, y, z) $ 的距离为 $$ |O P|=\sqrt{x^2+y^2+z^2} . $$ `例`求证：以 $M_1(4,3,1), M_2(7,1,2), M_3(5,2,3)$ 三点为顶点的三角形是等腰三角形。 证明 因为 $\left|M_1 M_2\right|=\sqrt{(7-4)^2+(1-3)^2+(2-1)^2}=\sqrt{14}$, $$ \begin{aligned} & \left|M_1 M_3\right|=\sqrt{(5-4)^2+(2-3)^2+(3-1)^2}=\sqrt{6} \\ & \left|M_2 M_3\right|=\sqrt{(5-7)^2+(2-1)^2+(3-2)^2}=\sqrt{6} \end{aligned} $$ 所以 $$ \left|M_1 M_3\right|=\left|M_2 M_3\right| $$ 因此 $\triangle M_1 M_2 M_3$ 是等腰三角形。
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