最后更新: 2025-02-08 15:12 查看: 210 次反馈刷题

平面的基本性质

下面我们来学习有关平面的几条重要事实．观察下图长方体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 的各条棱和各个面的相互关系：
 ![图片](/uploads/2025-02/8f99c1.jpg)

点 $A, B$ 在平面 $A B C D$ 内，而整条直线 $A B$ 都在平面 $A B C D$内；点 $A, B$ 在平面 $A B B^{\prime} A^{\prime}$ 内，而整条直线 $A B$ 都在平面 $A B B^{\prime} A^{\prime}$ 内。
下面给出平面的几个基本性质。

## 平面的基本性质

### 基本性质1
**如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线就被包含在这个平面内。**

如图 1.19(1) 所示, 若点 $A \in$ 平面 $\alpha$, 点 $B \in$ 平面 $\alpha$, 则直线 $A B \subset$ 平面 $\alpha$.

这时，我们也称直线 $A B$ 在平面 $\alpha$ 内或平面 $\alpha$ 通过直线 $A B$ 。

![图片](/uploads/2025-02/07ef36.jpg)
 
 
###  基本性质2
**如果两个不同的平面有一公共点, 那么它们相交于过这个点的一条直线.** (参考下图)
 ![图片](/uploads/2024-11/7a3812.jpg)
例如一个长方体相邻的两个面, 在长方体的顶点处交于一点, 且交于过这个顶点的一条直线.

**推论** 
**如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．**

用符号语言描述上述基本事实，即为
若 $P \in \alpha$ ，且 $P \in \beta$ ，则 $\alpha \cap \beta=l$ ，且 $P \in l$ ．
上述基本事实告诉我们，如果两个不重合的平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 有一个公共点 $P$ ，那么这两个平面就一定有一条过点 $P$ 的公共直线，且这样的直线只有一条

![图片](/uploads/2025-02/b3c8b0.jpg)

### 基本性质 3
**经过不在同一直线上三点, 有且只有一个平面.** (图1.21(1))

这条基本性换个说法就是："经过不在同一条直线上的任意三点，可以作一个平面, 且只可以作一个平面", 也可以说: "不共线三点确定一个平面".

例如, 一扇门当在门框安上两个合页 (如 $A 、 B$ 两个点) 门可以自由转动,但再锁上一把锁之后（如 $C$ 点），门就被固定了，这就是利用了上述平面的基本性质. (图 1.21(2))
 ![图片](/uploads/2024-11/cad3b2.jpg)
 
 
 ### 推论
1. 一直线与线外一点确定一个平面．
2. 两条相交直线确定一个平面．
3. 两条平行直线确定一个平面．

![图片](/uploads/2024-11/345d55.jpg)

> 上述三条性质是人们经过长期的观察和实践总结出来的，是几何推理的基本依据，也是我们进一步研究空间图形的基础．

## 定义
具有下列性质的空间的一个点集 $\pi$ 叫做平面。
1. $\pi$ 是空间 $V$ 的一个真子集, 即 $\pi \subset V$.
2. 至少存在不共线三点 $A 、 B 、 C$ 属于 $\pi$.
3. 若点 $M \in \pi$, 点 $N \in \pi$, 则有直线 $M N \subset \pi$.

有了平面的定义, 我们就可以判定空间的一个点的集合是否是平面了.

**提示** 这里的平面叫$\pi$和圆周率的$\pi$没有任何关系。

`例` 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. (图 1.24)
已知: 直线 $\ell_1, \ell_2, \ell_3$ 且 $\ell_1 \cap \ell_2=A, \ell_2 \cap \ell_3=B, \ell_1 \cap \ell_3=C$.
求证: 直线 $\ell_1, \ell_2, \ell_3$ 共面.

![图片](/uploads/2024-11/59e3e6.jpg)
 
 证明: $\because \quad \ell_1 \cap \ell_2=A$
$\therefore \quad \ell_1$ 和 $\ell_2$ 确定一个平面 $\pi$
$\because \quad B \in \ell_2, \quad C \in \ell_1$
$\therefore \quad \ell_3 \subset$ 平面 $\pi$
$\therefore \quad \ell_1, \ell_2, \ell_3 \subset \pi$
即 $\ell_1, \ell_2, \ell_3$ 共面.

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

上一篇：点、直线、平面得集合表示法

下一篇：空间里直线与直线的位置关系

本文对您是否有用？有用 (1) 无用 (0)