最后更新: 2025-02-08 15:12 查看: 419 次反馈同步训练

平面的基本性质

下面我们来学习有关平面的几条重要事实．观察下图长方体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 的各条棱和各个面的相互关系：
 ![图片](/uploads/2025-02/8f99c1.jpg)

点 $A, B$ 在平面 $A B C D$ 内，而整条直线 $A B$ 都在平面 $A B C D$内；点 $A, B$ 在平面 $A B B^{\prime} A^{\prime}$ 内，而整条直线 $A B$ 都在平面 $A B B^{\prime} A^{\prime}$ 内。
下面给出平面的几个基本性质。

## 平面的基本性质

### 基本性质1
**如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线就被包含在这个平面内。**

如图 1.19(1) 所示, 若点 $A \in$ 平面 $\alpha$, 点 $B \in$ 平面 $\alpha$, 则直线 $A B \subset$ 平面 $\alpha$.

这时，我们也称直线 $A B$ 在平面 $\alpha$ 内或平面 $\alpha$ 通过直线 $A B$ 。

![图片](/uploads/2025-02/07ef36.jpg)
 
 
###  基本性质2
**如果两个不同的平面有一公共点, 那么它们相交于过这个点的一条直线.** (参考下图)
 ![图片](/uploads/2024-11/7a3812.jpg)
例如一个长方体相邻的两个面, 在长方体的顶点处交于一点, 且交于过这个顶点的一条直线.

**推论** 
**如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．**

用符号语言描述上述基本事实，即为
若 $P \in \alpha$ ，且 $P \in \beta$ ，则 $\alpha \cap \beta=l$ ，且 $P \in l$ ．
上述基本事实告诉我们，如果两个不重合的平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 有一个公共点 $P$ ，那么这两个平面就一定有一条过点 $P$ 的公共直线，且这样的直线只有一条

![图片](/uploads/2025-02/b3c8b0.jpg)

### 基本性质 3
**经过不在同一直线上三点, 有且只有一个平面.** (图1.21(1))

这条基本性换个说法就是："经过不在同一条直线上的任意三点，可以作一个平面, 且只可以作一个平面", 也可以说: "不共线三点确定一个平面".

例如, 一扇门当在门框安上两个合页 (如 $A 、 B$ 两个点) 门可以自由转动,但再锁上一把锁之后（如 $C$ 点），门就被固定了，这就是利用了上述平面

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：点、直线、平面的集合表示法

下一篇：空间里直线与直线的位置关系

本文对您是否有用？有用 (1) 无用 (0)