最后更新: 2025-07-20 09:40 查看: 487 次反馈同步训练

空间里直线与直线的位置关系

## 空间里直线与直线的位置关系

我们知道，同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系，那么空间中两条直线的位置关系有哪些？如图，
 ![图片](/uploads/2025-02/89d47e.jpg)

观察长方体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 的棱 $A B$ 与棱 $C C^{\prime}$ 所在的直线，可以发现直线 $A B$ 和直线 $C C^{\prime}$ 既不相交，又不平行，因而它们也不同在任何一个平面内．我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作**异面直线**．图中的直线 $A B$ 与 $C C^{\prime}$ 是异面直线．显然，两条异面直线既不相交，也不平行．

继续观察，可以发现，直线 $A B$ 与 $A^{\prime} B^{\prime}$ 共面且没有公共点，直线 $A B$与 $A D$ 共面且只有一个公共点。

由此可知，空间两条直线的位置关系有且只有以下三种：
（1）**相交**——在同一个平面内，两条直线有且只有一个公共点；
（2）**平行—**—在同一个平面内，两条直线没有公共点；
（3）**异面** 一两条直线不同在任何一个平面内，没有公共点．

### 异面直线表示法
平面中，两条直线有相交、平行和重合三种情况，在空间里，既不平行也不相交的直线交异面直线，如下图

![图片](/uploads/2024-11/d15292.jpg)
 
 用集合的语言表示两条直线的关系，可以定义为
1. 空间两条直线 $\ell_1$ 和 $\ell_2$ 相交 $\Longleftarrow \ell_1 \cap \ell_2=P$ ( $P$ 是 $\ell_1$ 与 $\ell_2$ 的唯一公共点)
2. 空间两条直线 $\ell_1$ 和 $\ell_2$ 平行 $\left(\ell_1 / / \ell_2\right) \Longleftarrow \ell_1$ 和 $\ell_2$ 共面且 $\ell_1 \cap \ell_2=\emptyset$或 $\ell_1=\ell_2$ （重合）
3. 空间两条直线 $\ell_1$ 和 $\ell_2$ 异面 $\Longleftarrow \ell_1$ 和 $\ell_2$ 不共面.

### 平行于同一条直线的二条直线平行 
"如果三条直线 $a, b, c$ 中, $a / / c, b / / c$, 那么 $a / / b$ " 当 $a 、 b 、 c$ 共面时是成立的, 如果 $a, b, c$ 不共面时, 这个命题是否还成立呢?

## 直线平行定理
平行于第三条直线的两条直线互相平行.

已知：如图 1.27 不在同一平面上的三条直线 $a, b, c$ 中, $a / / b, c / / b$.求证: $a / / c$.
 ![图片](/uploads/2024-11/5bbaa7.jpg)
 
 证明: $\because a / / b, c / / b$
$\therefore \quad a, b$ 确定一个平面 $\pi_1$,
$\because \quad b, c$ 确定一个平 $\pi_2$, 设 $P \in c$, 则 $P, a$ 确定一个平面 $\pi_3$. 设 $\pi_2 \cap \pi_3=c^{\prime}$,那么

$$
\begin{aligned}
c^{\prime} \cap \pi_1 & =\left(\pi_2 \cap \pi_3\right) \cap \pi_1 \\
& =\left(\pi_2 \cap \pi_3 \cap \pi_1\right) \cap \pi_1 \\
& =\left(\pi_2 \cap \pi_1\right) \cap\left(\pi_3 \cap \pi_1\right) \\
& =b \cap a=\emptyset
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \therefore \quad c^{\prime} \cap b=\emptyset, \quad c^{\prime} \cap a=\emptyset \\
& \therefore \quad c^{\prime} / / b, \quad c^{\prime} / / a
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \text { 又 } \because \quad c / / b \text { 且 } c \cap c^{\prime}=P, \quad c, c^{\prime}, b \subset \pi_2 \\
& \because \quad c=c^{\prime}, \quad c^{\prime} / / a \\
& \therefore \quad a / / c
\end{aligned}
$$

上述定理可简写作：

若 $a / / b, c / / b$, 则 $a / / c$.

如下图  在一个平面内，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．进一步思考，在空间中如果两个角的两条边对应平行，上述结论是否仍然成立呢？

![图片](/uploads/2025-02/9a65b5.jpg)

### 定理
**如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边, 并且方向相同, 那么这两个角相等。**

已知: $\angle A O B$ 和 $\angle A^{\prime} O^{\prime} B^{\prime}$ 中, $A O / / A^{\prime} O^{\prime}, B O / / B^{\prime} O^{\prime}$ 并且方向相同. (图 1.29)

求证: $\angle A O B=\angle A^{\prime} O^{\prime} B^{\prime}$.
 ![图片](/uploads/2024-11/cfb508.jpg)
 证明: 假定 $O A=O^{\prime} A^{\prime}, O B=O^{\prime} B^{\prime}$, 连结 $O O^{\prime}, B B^{\prime}, A A^{\prime}, A B$ 和 $A^{\prime} B^{\prime}$

$$
\because \quad A O / / A^{\prime} O^{\prime}, \quad A O=A^{\prime} O^{\prime}
$$

$\therefore A A^{\prime} O^{\prime} O$ 是平行四边形,
又 $\because B O / / B^{\prime} O^{\prime}, \quad B O=B^{\prime} O^{\prime}$
$\therefore B B^{\prime} O^{\prime} O$ 是平行四边形

$$
\begin{array}{ll}
\therefore & A A^{\prime} \underline{\|} O O^{\prime}, \quad B B^{\prime} \stackrel{\|}{=} O O^{\prime} \\
\therefore & A A^{\prime} \stackrel{\|}{=} B B^{\prime}
\end{array}
$$

$\therefore A A^{\prime} B^{\prime} B$ 是平行四边形

$$
\begin{array}{ll}
\therefore & A B=A^{\prime} B^{\prime} \\
\therefore & \triangle A O

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