最后更新: 2025-08-13 05:48 查看: 127 次反馈同步训练

异面直线

##  两条异面直线所成的角

由异面直线的定义可知，我们不能把两条异面直线置于同一平面内，因而画异面直线时，一般画成图 4．3－7 这样，以显示出它们不共面的特点．

![图片](/uploads/2025-02/b5158f.jpg)

`例`如图 4．3－8，已知 $a \subset \alpha, A \notin \alpha, B \in \alpha, B \notin a$ ．
求证：直线 $A B$ 与 $a$ 是异面直线．
 ![图片](/uploads/2025-02/8c1502.jpg)

证明 假设直线 $A B$ 与 $a$ 在同一个平面内，那么这个平面一定经过点 $B$ 和直线 $a$ ．

因为 $B \notin a$ ，经过点 $B$ 与直线 $a$ 只有一个平面 $\alpha$,
所以直线 $A B$ 与 $a$ 应在平面 $\alpha$ 内。
所以 $A \in \alpha$ ，这与已知 $A \notin \alpha$ 矛盾．
所以直线 $A B$ 与 $a$ 是异面直线．

由此可得判断两条直线为异面直线的一种方法：

**与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线．**

### 异面直线的夹角
设 $a, b$ 是两条异面直线 (图1.30(1)), 在空间任取一点 $P$, 过 $P$ 分别引直线 $a^{\prime}, b^{\prime}$, 使 $a^{\prime} / / a, b^{\prime} / / b$, 则 $a^{\prime} 、 b^{\prime}$ 所成的锐角或直角便称作这两条异面直线 $a 、 b$ 所成的角. (图 1.30(2) )
 ![图片](/uploads/2024-11/7ad647.jpg)
 
 在上述定义中, 两条异面直线 $a, b$ 的夹角的大小与 $P$ 点的取法是无关的,它仅由 $a, b$ 的位置唯一确定. 
 
 这是因为, 如果在 $a, b$ 上确定了方向, $a^{\prime}$ 和 $b^{\prime}$也取相同的方向，由上一小节的 "等角定理" 可知，不管 $P$ 点取在什么地方， $a^{\prime}, b^{\prime}$ 所成角的大小总是相等不变的. 这就是说 $a^{\prime}, b^{\prime}$ 所成锐角或直角的大小完全被直线 $a, b$ 唯一确定. 因此 $a^{\prime}$ 和 $b^{\prime}$ 所成的角反映了 $a, b$ 的相互位置关系。
由于在上述定义中, $P$ 点的位置可任意选取, 所以 $P$ 点可以取在 $a$ 上, 也可以取在 $b$ 上. 图 1.31 中, 我们把 $P$ 点取在 $b$, 过 $P$ 引 $a^{\prime} / / a$, 那么 $a^{\prime}$ 和 $b$所成的角就是异面直线 $a, b$ 所成的角.
 ![图片](/uploads/2024-11/5f7c77.jpg)
 
 如果两条异面直线所成的角是直角，那么就说这两条异面直线**互相垂直**．

`例`在长方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$A B=B C=1, A A_1=\sqrt{3}$ ，则异面直线 $A D_1$ 与 $D B_1$ 所成角的余弦值为 
A．$\frac{1}{5}$
B．$\frac{\sqrt{5}}{6}$
C．$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D．$\frac{\sqrt{2}}{2}$

【解析】法一 如图，补上一相同的长方体 $C D E F-C_1 D_1 E_1 F_1$ ，连接 $D E_1, B_1 E_1$ ．易知 $A D_1 / / D E_1$ ，则 $\angle B_1 D E_1$ 为异面直线 $A D_1$ 与 $D B_1$ 所成角．因为在长方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中， $A B=B C=1, A A_1=\sqrt{3}$ ，所以 $D E_1=\sqrt{D E^2+E E_1}$ $=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$ ， $D B_1=\sqrt{1^2+1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{5}, B_1 E_1=\sqrt{A_1 B_1^2+A_1 E_1^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$ ，在 $\triangle B_1 D E_1$ 中，由余弦定理，

得 $\cos \angle B_1 D E_1=\frac{2^2+(\sqrt{5})^2-(\sqrt{5})^2}{2 \times 2 \times \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，即异面直线 $A D_1$ 与 $D B_1$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

![图片](/uploads/2025-07/71f63c.jpg)
 
 
 法二 如图，连接 $B D_1$ ，交 $D B_1$ 于 $O$ ，取 $A B$ 的中点 $M$ ，连接 $D M, O M$ ，易知 $O$ 为 $B D_1$ 的中点，所以 $A D_1 / / O M$ ，则 $\angle M O D$ 为异面直线 $A D_1$ 与 $D B_1$ 所成角．因为在长方体 $A B C D-$ $A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$A B=B C=1, A A_1

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