最后更新: 2025-05-31 16:45 查看: 351 次反馈同步训练

直线与平面的位置关系

## 墙角原理
观察教室，可以发现，墙面和地面的相交线在地面上，相邻两墙面的相交线和地面只相交于一点，而墙面和天花板的相交线无论怎么延伸都与地面没有交点。这些现象反映出直线和平面之间存在着不同的位置关系。

空间中一条直线和一个平面的位置关系，有且只有以下三种：

![图片](/uploads/2025-02/da9466.jpg)

## 直线和平面的三种位置关系
一条直线和一个平面的位置关系有以下三种情况．
1. 直线在平面内——有二个以上的公共点（即有无数个公共点）．
2. 直线和平面相交——只有一个公共点．
3. 直线和平面平行——没有公共点．
如图 1.32 的 (1)、(2)、(3) 所示，是当平面 π 在水平位置时，直线 ℓ 和 π 三种位置关系图的一般画法．

![图片](/uploads/2024-11/ee3e14.jpg)
 
 使用集合符号, 直线与平面的三种位置关系可定义如下:
### 定义
1. 直线 $\ell$ 在平面 $\pi$ 内 $\Longleftrightarrow \ell \cap \pi=\ell$.
2. 直线 $\ell$ 在平面 $\pi$ 平行 $\Longleftrightarrow \ell \cap \pi=\emptyset$.
3. 直线 $\ell$ 在平面 $\pi$ 相交 $\Longleftrightarrow \ell \cap \pi=P .(P$ 是 $\ell$ 与 $\pi$ 的唯一公共点)

当直线 $\ell$ 与平面 $\pi$ 平行时, 也记作 $\ell / / \pi$ (或 $\pi / / \ell$ ).

## 线面平行的判定定理和性质定理

![图片](/uploads/2025-05/e205a9.jpg)
 
 ### 结论
 
 1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 $a \perp \alpha, ~ a \perp \beta$ ，则 $\alpha / / \beta$ ．
2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若 $\alpha / / \beta, ~ \beta / / \gamma$ ，则 $\alpha / / \gamma$ ．
3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即 $a \perp \alpha, ~ b \perp \alpha$ ，则 $a / / b$ ．
4．若 $\alpha / / \beta$ ，$a \subset \alpha$ ，则 $a / / \beta$ ．

`例` 平面 $\alpha / /$ 平面 $\beta$ 的一个充分条件是
A．存在—条直线 $a, ~ a / / \alpha, ~ a / / \beta$
B．存在一条直线 $a, a \subset \alpha, a / / \beta$
C．存在两条平行直线 $a, b, a \subset \alpha, b \subset

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